Chủ đề này có 1 trả lời

[dinhhieu@89]

Tìm số nguyên dương $n$ bé nhất thỏa mãn tính chất sau không tồn tại bất cứ 1 cấp số cộng nào gồm 1999 số hạng mà cấp số cộng đó chưa đúng $n$ số nguyên.

[chanhquocnghiem]

Tìm số nguyên dương $n$ bé nhất thỏa mãn tính chất sau không tồn tại bất cứ 1 cấp số cộng nào gồm 1999 số hạng mà cấp số cộng đó chưa đúng $n$ số nguyên.

Với $n=1$ ta dễ dàng tìm được cấp số cộng gồm $1999$ số hạng và chứa đúng $1$ số hạng nguyên (ví dụ cấp số cộng có số hạng đầu là số nguyên và công sai $d$ thỏa mãn $0< d< \frac{1}{1998}$).Vì vậy từ đây trở xuống ta chỉ xét trường hợp $n> 1$.

Trước hết nhận xét rằng nếu tồn tại cấp số cộng $A$ (có công sai $d_A$) gồm 1999 số hạng và có đúng $n$ số hạng nguyên thì $n$ số hạng đó có thể xếp thành một cấp số cộng tăng có công sai $\delta$ là số nguyên dương và khi đó cũng tồn tại cấp số cộng $B$ tăng (có công sai $d_B$) gồm 1999 số hạng có đúng $n$ số hạng nguyên, cũng là $n$ số nguyên liên tiếp (chỉ cần chọn $d_B=\frac{\left | d_A \right |}{\delta }$)

Điều đó tương đương với mệnh đề sau (tạm gọi là mệnh đề $X$)

"Nếu không tồn tại cấp số cộng $B$ tăng gồm 1999 số hạng có đúng $n$ số hạng nguyên và là $n$ số nguyên liên tiếp thì cũng không tồn tại cấp số cộng $A$ gồm 1999 số hạng có đúng $n$ số hạng nguyên"

Bây giờ ta xét một cấp số cộng tăng có công sai $d$ gồm 1999 số hạng và có đúng $n$ số hạng nguyên, cũng là $n$ số nguyên liên tiếp k ; k+1 ; ... ; k+n-1

Gọi các số hạng của cấp số cộng là $u_1,u_2,...,u_a,...,u_z,...,u_{1999}$ với ($u_a=k$ ; $u_z=k+n-1$)

Đặt $m=\left [ \frac{1998}{n-1} \right ]\Rightarrow d=\frac{1}{m}$

Vì $u_a-u_1< 1\Rightarrow p=\frac{u_a-u_1}{d}< m$

Tương tự $u_{1999}-u_z< 1\Rightarrow q=\frac{u_{1999}-u_z}{d}< m$

($m\in \mathbb{N}^*$ và $p,q\in \mathbb{N}$)

Đặt $1998=m(n-1)+r\Rightarrow r=p+q$

Vì $p< m$ và $q< m$ suy ra $r< 2m-1$

Như vậy điều kiện cần để không tồn tại cấp số cộng tăng gồm 1999 số hạng có đúng $n$ số hạng nguyên và là $n$ số nguyên liên tiếp là $r\geqslant 2m-1$

trong đó $m=\left [ \frac{1998}{n-1} \right ]$ và $r$ là số dư của phép chia 1998 cho n-1

$r\geqslant 2m-1\Rightarrow n\geqslant 64$ (vì nếu $n< 64$ thì $r< 62$ còn $m\geqslant 32$)

Dễ dàng tìm thấy $n=70$ là giá trị nhỏ nhất để $r\geqslant 2m-1$ (khi đó $m=28$ ; $r=66$)

Với $n=70$ thì không tồn tại cấp số cộng tăng gồm 1999 số hạng có đúng $70$ số hạng nguyên và là $70$ số nguyên liên tiếp và theo mệnh đề $X$ ở trên thì cũng không tồn tại cấp số cộng gồm 1999 số hạng có đúng $70$ số hạng nguyên.

Trả lời : Giá trị nhỏ nhất của $n$ cần tìm là $70$.