Chủ đề này có 20 trả lời

[ngocson52]

[size=22]Những phát minh trong toán học
(Trích từ cuốn sách ìThế giới phát minh” (Le Livre mondial des Inventions), tập III. Sách gồm 4 tập, do Valérie-Anne Giscard d’Estaing chủ biên, NXB Khoa học và Kỹ thuật, HN, 1994).

LÝ THUYẾT SỐ
Hệ đếm (thiên kỷ III trước CN)
Như các bảng bằng đất sét tìm thấy ở Sure và Uruk (hiện nay là Warka, Irac) hoặc muộn hơn nhiều, ở Nippur (Babilon, 2200-13550) cho thấy, hệ đếm đã được ghi chép lại vào thiên kỷ III trước CN. Hệ đếm Babilon thông minh là một hệ đếm cơ số 60. Cách tính thời gian của chúng ta là bắt nguồn từ đó. Không tồn tại số không, những đơn vị vắng mặt (thiếu), đơn giản được biểu thị bằng một chỗ khuyết.
Còn hệ đếm cổ của người Maya là một hệ thống cơ số 20 theo 10 ngón tay và 10 ngón chân. Hệ thống của họ đã là một hệ đếm theo vị trí và có một số không ở đầu cùng vốn không phải là một toán tử.
Vào thế kỷ V trước CN, người Hy lạp đã sử dụng các chữ trong bảng chữ cái. Đối với các số hàng nghìn người ta lấy lại chín chữ cái đầu tiên kèm theo một dấu phẩy bên trái các chữ cái đó (a có giá trị là 1 và ,a có giá trị là 1000). Hệ đếm này, vốn không có số không, đã được sử dụng suốt một thiên kỷ. Người Hêbrơ và người Arap đã làm cho hệ thống đếm này phù hợp với bảng chữ cái của họ. lúc bấy giờ các tính toán được thực hiện với các bàn tính, dụng cụ gảy bằng tay gồm nhiều hàng. Ở đó các chữ số biểu thị bằng những viên sỏi (từ ìtính toán” bắt nguồn từ calculus, có nghĩa là viên sỏi).

Hệ đếm hiện nay (thế kỷ V)
Chính vào thế kỷ V sau CN, ở Ấn Độ đã xuất hiện hệ đếm thập phân, sử dụng mười chữ số từ 0 đến 9 như chúng ta đã biết hiện nay. Năm 829, nhà bác học M.ibn Musa Khwarizm’i (780-850) đã xuất bản một cuốn sách đại số, ở đó ông đã chấp nhận hệ đếm thập phân. Tu sĩ xứ Auvergne là Gorbert đã bắt đầu tìm hiểu các chữ số ìArap” trong chuyến du ngoạn (980) tới Cordoue ở Tây Ban Nha và đã có thể bắt đầu truyền bá những ký hiệu đó khi đã trở thành Giáo hoàng Sylvestre II vào tháng 4 năm 999. Nhưng phải chờ tới L. Fibonacci, còn gọi là Léonard de Pise, mà nhờ có tác phẩm Liber Abaci của ông viết năm 1202, thì khoa học Arập mới được truyền bá ở châu Âu. Vào năm 1440, với ự phát minh ra nghề in thì mười chữ số mới có được hình dạng cố định cuối cùng.

Số không (thế kỷ IV trước CN)
Hệ đếm Babilon được hoàn thiện vào thế kỷ IV trước CN bở sự xuất hiện của số không trong các văn bản toán học, hoặc ở đầu một con số, hoặc ở giữa, nhưng không bao giờ ở cuối. Từ số không (zero) bắt nguồn từ từ Synya, có nghĩa là ìkhông có gì” trong tiếng Phạn; nó trở thành sifr trong tiếng Arap và được L. Fibonacci La tinh hoa thành zephirum. Nó được gọi là số không (zero) vào năm 1491 trong một khảo luận ở Florence.

[ngocson52]

Số nguyên tố (thế kỷ II trước CN)
Sau Euclide, vốn vào thế kỷ II trước CN đã chứng minh rằng tập hợp số nguyên tố và vô hạn, thì sàng Ératosthène (khoảng 284-192) là phương pháp đầu tiên được sử dụng trong việc tìm các số nguyên tố trong một giới hạn nào đó.
Nhưng chính từ ìđịnh lý nhỏ” của Fermat (1640) mà E. Lucas người Pháp, vào năm 1876 đã hiệu chỉnh một số phương pháp nghiên cứu tính số nguyên tố của một số số lớn. Số nguyên tố lớn nhất đã biết là (2 ^216091 – 1) - khoảng 65050 chữ số (đây là con số lớn nhất vào thời điểm cuốn sách này ra đời, hiện nay người ta đã tìm được những số nguyên tố lớn hơn thế nhiều – ngocson52), nó được một nhóm nhà kỹ thuật của hãng dầu mỏ Chevron ở Houston (Taxas), khám phá ra một cách ngẫu nhiên vào năm 1985. Trong khi thử một siêu máy tính họ đã phát hiện ra số nguyên tố mới đó: phải mất vài chục trang sách mowis viết hết con số đó.

Số thập phân (thế kỷ XVI)
Cho đến cuối thế kỷ XVI người ta mới chỉ phát triển cơ số 10 cho phần nguyên của một số, phần thập phân chỉ được biểu thị dưới dạng phân số hoặc trong hệ cơ số 60 trong các đơn vị thời gian và góc.
Năm 1579 F. Viète đã tuyên bố rằng trái với các phần nghìn, phầm trăm, phần chục, các phần sáu mươi chỉ được sử dụng ít và S. Stevin năm 1582 đã đề nghị sử dụng các số thập phân trong các tính toán; nhưng các cách viết vẫn rất khác nhau trong suốt thế kỷ XVII.
Nhà toán học và vật lý xứ Flandre là S. Stevin (1548-1620) cũng đã đề nghị sự phân chia thập phân các đơn vị đo lường. Nhưng phải chờ mãi tới Cách mạng Pháp mới có được hệ mét thập phân (20/12/1799).

Số vô tỉ (thế kỷ IV trước CN)
Trong khi chứng minh không thể viết sqrt(2) dưới dạng một phân số thì Aristote (thế kỷ IV trước CN) đã tìm ra các số vô tỉ (mà Pythagore đã linh cảm được), được gọi tạm là số ìvô ước”.
Người ta đã phân biệt được số đại số như sqrt(2) và số siêu việt như pi và ìe” vào thế kỷ XVII. Năm 1872 Ch. Hermite người Pháp đã chứng minh tính sieu việt của e và năm 1882 F. Lindemann người Đức đã chứng minh tính siêu việt của pi.

Số pi (thế kỷ II trước CN)
Sử dụng các đa giác 96 cạnh nội tiếp và bàng tiếp đường tròn, nhà bác học Hy lạp Archimède (287-212 trước CN) đã chứng minh rằng số pi nằm giữa (3 + 10/71) và (3 + 10/70). Vậy nên khi Ptôlémée (nhà toán học Hy lạp thế kỷ II sau CN) lấy giá trị 3,1416 cho số pi, ông đã biện minh rằng nó gần với giá trị trung bình của hai giá trị cận của Archimède. Năm 1874, W. Schanks, người Anh, đã tính được 707 chữ số thập phân của số pi, đã được khắc ở Cung Phát Minh (Palais de Découverte) ở Paris. 527 chữ số đầu tiên là chính xác còn những chữ số tiếp theo là sai. Từ đó nhờ có các máy tính người ta đã tính được hàng nghìn chữ số thập phân của số pi.

[ngocson52]

Số hoàng kim (thế kỷ III trước CN)
Số hoàng kim, nghiệm của phương trình 1/x = x/(1+x), bằng (1+sqrt(5))/2 ~ 1,618 và tồn tại trong phép phân chia không đối xứng mà tỷ số giữa phần lớn và phần nhỏ bằng tỷ số giữa hai phần và phần lớn. Người ta tìm thấy số đó trước Euclide, nhưng chính Euclide vào thế kỷ III trước CN đã biến nó thành bài toán nổi tiếng khi tìm cách chia một đoạn thẳng sao cho phàn lớn là trung bình tỉ lệ của phần nhỏ và đoạn thẳng hoặc ìphép chia hoàng kim”. Tính hài hòa dựa trên số hoàng kim đã được nghiên cứu ở nhiều bộ môn nghệ thuật: trong kiến trúc (Phidias với nhà thờ Parthénon ở thế kỷ V trước CN, Alberti ở thế kỷ XV, Le Corbusier ở thế kỷ XX); trong âm nhạc (sự nghiên cứu theo thuyết Pythagore về quãng âm); trong hội họa (L. de Vinci, Raphael).

Số Fractan (1962)
Được B. Mandelbrot, một người Pháp gốc Ba Lan, phát minh ra ra năm 1962. Các số fractan có khả năng trở thành một công cụ toán học để rút ra những quy luật tổ chức của tự nhiên.
Khái niệm fractan đặc biệt có ích trong việc mô tả những cấu trúc mà mỗi bộ phận của nó cho dù kích thước như thế nào đi nữa thì vẫn tương tự với toàn cấu trúc. Ví dụ: phải chăng mỗi cành của một cái cây không đại diện cho toàn bộ cả cái cây?
Các số fractan mới xuất hiện trong toán học có cơ sở ở hai định luật: định luật tương tự (autosimilarité), bộ phận tương tự với toàn thể); định luật số chiều fractan nói rằng các tập hợp số fractan có số chiều phân đoạn (không nguyên) và mảnh nọ tương ứng với mảnh kia. Một trong những áp dụng gây ấn tượng mạnh nhất của các số fractan liên quan đến sự tổng hợp các hình ảnh nhờ máy tính.

Số ìkhông thể có” (thế kỷ XVIII)
Chính nhờ có nhà toán học Italia R. Bombelli (1526-1573) mà ta có định nghĩa đầu tiên về số phức, lúc đó được gọi là số ìkhông thể có” hoặc ìsố ảo” trong công trình Đại số (Bologne, 1572) công bố ít lâu trước khi ông mất. Ông đã định nghĩa các số đó khi nghiên cứu các phương trình bậc ba và đã đưa ra căn bậc hai c]ủa -1.
Cho tới năm 1746 người ta đã sử dụng các số ảo mà không biết nhiều về cấu trúc của chúng. Nhưng chính nhà toán học Pháp D’Alembert vào năm đó đã xác định được dạng tổng quát ìa+b*sqrt(-1) của chúng, đông thời chấp nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm của một phương trình bậc n. Nhà toán học Thụy Sĩ L. Euler (1707-1783) đã đưa ra ký hiệu ìi” để chỉ căn bậc hai của -1, năm 1801 Gauss đã dùng lại ký hiệu đó.

Tập hợp số thực (thế kỷ XIX)
Vào thế kỷ VI trước CN, nhà toán học và thiên văn học Hy lạp Eudoxe đã thử viết ra một tập hợp không chỉ gồm số hữu tỷ mà ông cảm thấy chưa đủ. Nhưng ông đã không thành công cũng như một số nhà toán học thời cổ vốn tỏ thái độ rất ngập ngừng đối với số vô tỷ. mãi vào thế kỷ XIX, nà toán học Nga G. Cantor (1845-1918) mới nghiên cứu các đại lượng vô tỷ và ìtính liên tục”, khái niệm giải thích cái vẻ liên tục của đoạn thẳng được tạo nên bởi vô hạn các điểm phân biệt, mỗi điểm biểu thị một số. Chính khi đó đã xuất hiện nhiều nghịch lý đặt lại vấn đề về các khái niệm trực giác.
Cantor ý thức được sự đối đầu với lương tri truyền thống, đã phải tiến hành một cuộc đấu tranh nhiều năm để thuyết phục những người cùng thời với mình. Khi ông mất vào 6/1/1918, sự nghiệp của ông trở nên phổ cập rộng.

[ngocson52]

HÌNH HỌC
Định lý Thalès (thế kỷ VII-VI trước CN)
Trước Thales mỗi nhân viên đo đạc hoặc nhà hình học đều phải tìm những ìkỹ xảo” để đo các khoảng cách, các bề mặt v.v… Nhà triết học và toán học Hy lạp thuộc trường phái Ioni là Thales de Milet (thế kỷ VII-VI) đã có ý tưởng tài tình đo các chiều cao nhờ dùng bóng vaod lúc mà ìbóng bằng với vật”, nghĩa là vào lúc các tia nắng chiếu xuyên một góc 450. Để đo chiều cao của Đại Kim tự tháp ông đã cải tiến phương pháp của mình bằng cách sử dụng các tia nắng ở bất kỳ lúc nào. Và ông đã có thể dừng lại ở đó, song toàn bộ giá trị cồn việc của ông là muốn xuất phát từ thực nghiệm để xây dựng nên một lý thuyết: việc sử dụng các tia sáng mặt trời đã cho phép ông nghiên cứu các đường thẳng song song và mối liên hệ giữa độ dài hình chiếu và độ dài ban đầu. Rồi ông đã phát biểu một địng lý mà từ đó được gọi là Định lý Thales: ìCác đường thẳng song song chiếu những đoạn dài tỷ lệ từ đường thẳng này lên đường thẳng khác”. Như vậy là ông đã rút ra hình học từ cuốn sổ ghi chép các kỹ thuật băng cách đưa vào đó quan điểm suy diễn và chứng minh của toán học.

Định lý Pythagore (thế ky VI trước CN)
Xuất phát từ các công trình của Thales về các đường thẳng song song và cũng với tinh thần chứng minh, Pythagore, nhà triết học và toán học Hy lạp ở thế kỷ VI trước CN đã quan tâm đến hình chiếu vuông góc và đã chứng minh được định lý mang tên ông. Định lý đó thiết lập được mối liên hệ giữa chiều dài các cạnh của một tam giác vuông. Mối quan hệ đó đã được biết đến từ thời có các nhân viên đo đạc, song chính Pythagore là người đầu tiên đã chứng minh được nó.

[ngocson52]

Tiên đề Euclide (thế kỷ III trước CN)
Nhà toán học Hy lạp là Euclide (thế kỷ III trước CN) chủ yếu đã tổng hợp các công trình của người đi trước trong tác phẩm ìNguyên lý” ông đã hệ thống các kiến thức của thời đại mình, đồng thời chứng minh lại toàn bộ xuất phát từ năm tiên đề được coi như đúng dù rằng không được chứng minh. Tiên đề cơ bản và quen thuộc nhất là: ìQua một điểm bên ngoài một đường thẳng, chỉ có thể kẻ một đường thẳng song song với đường thẳng đó”. Điều trái ngược với tiên đề này đã được Aristote xem xét trong tác phẩm ìNhững phép phân tích khác”, song với một quan điểm hoàn toàn mang tính chất giáo huấn.
Cho đến thế kỷ XIX, các nhà toán học vẫn nghĩ rằng có thể chứng minh được tiên đề đó. Bởi vậy ở thế kỷ thứ XVIII nhiều nhà toán học đã uổng công thử chứng minh nó bằng phản chứng; đã xuất hiện hai điều phủ định khả dĩ: ìTồn tại ít nhất một điểm qua đó không có một đường thănngr nào song song với đường thẳng đã cho đi qua” và ìTồn tại ít nhất một điểm qua đó ít nhất có hai đường thẳng song song khác nhau đi qua”. Việc giải thích rõ ràng hai điều ngược lại đó đã làm nảy sing hai loại hình học mới ở thế kỷ sau đó.

Lượng giác (thế kỷ III-II trước CN)
Trong thời Cổ Đại lượng giác đã phát triển như một kỹ thuật phụ của thiên văn học. vậy nên chính những nhà thiên văn Hy Lạp Asistarque de Samos (thế kỷ III trước CN) và Hipparque de Nicée (thế kỷ II trước CN) là những nhà lượng giác học tiên phong. Người Hy Lạp ở thành Alexandria là C. Ptolémée (khoảng 80-160 sau CN) đã tập hợp tất cả các tri thức của thời đó trong khảo luận gọi là ìSách thiên văn” (Almageste) của mình.
Chính nhờ người Arập ở thế kỷ IX mà lượng giác đã phát triển thành một bộ môn khoa học tách riêng hoàn toàn. Al Khwârizmi (780-850) đã lập được các bảng số sin đầu tiên, Habasch và al Hasib đã lập được các bảng tang. Sách thiên văn hoàn thiện (Perfectionnement de l’Almageste) của al Bâttâmi (877-925) là một công trình thực sự về lượng giác hiện đại, hoàn hảo hơn nhiều so với Sách thiên văn của Ptolémée. Những công trình đó được những nhà toán học Đức J. Muller (1436-1476) và G. Rhaeticus (1514-1576) sửa lại và phát triển. A. de Moivre (1667-1754) và L. Euler (1707-1783) đã gắn mỗi số phức tương ứng với một tia và một góc; bởi vậy cho phép khảo sát lượng giác nhờ hàm phức; nhờ thế chính lượng giác biến thành một lý thuyết đại số.

[ngocson52]

Mặt cônic (thế kỷ III trước CN)
Các mặt cônic đã được nghiên cứu theo những cách rất khác nhau qua các thời đại, chính điều đó cho thấy roc hình học đã tiến triển từ thời cổ đại đến thời chúng ta như thế nào. Trong khảo luận của mình về các tiết diện cônic, A. de Perga (khoảng 262-130 trước CN) đã nghiên cứu những mặt cắt khác nhau của một hình nón. Khi đó ông đã chứng minh rằng có thể thu được các hình Parabol, Hypecbol và Elip.
Vào thế kỷ thứ XVII, Descartes đã thể hiện các mặt cônic dưới dạng các phương trình và chỉ ra rằng có thể thu được các mặt cônic từ các phương trình bậc hai.
B. Pascal (1623-1662) đã tạo nên quan niệm hiện đại bằng cách tiếp cận mặt cônic theo quan điểm giải tích. Ở thế kỷ XX, các mặt cônic là một phần của lý thuyết tổng quát hơn về các dạng toàn phương.

Tọa độ (thế kỷ XVII)
Việc sử dụng các số để xác định một cách đơn tính vị trí của một điểm trên một bề mặt đã được biết đến từ thời Archimede (thế kỷ III trước CN). Nhưng mãi tới thế kỷ XVII thì tọa độ mới được sử dụng một cách có hệ thống đối với các bài toán hình học. Có truyền thuyết rằng nhà triết học và toán học người Pháp R. Descartes (1596-1650) đã nảy ra ý tưởng về tọa độ khi ông nhìn thấy một con côn trùng bay trước những ô kính cửa sổ của mình. Khám phá đó đã cho phép khảo sát các bài toán hình học theo phương pháp đại số; rồi nhờ có nhà toán học Pháp P. de Fermat (1601-1665) đã bắt đầu xuất hiện hình học giải tích trong đó các phương trình và đường cong có liên quan với nhau.

Vectơ (1798)
Nhag hình học Đan Mạch C. Wessel, năm 1798 và J. R. Argand, năm 1806 đã viết hai báo cáo về các số phức. Cả hai người đều có ý tưởng không chỉ biểu diễn các số phức thông qua một điểm A trên mặt phẳng mà còn đồng nhất chúng với vectơ gốc ở O và điểm mút A trong một hệ tọa độ Descartes trên mặt phẳng. Vậy là nảy sinh khái niệm vectơ , như vậy tìm tổng của hai số phức tức là dựng tổng của hai vecto là những đối tượng hình học mà đối với chúng tồn tại các phép toán rất gần với các phép toán quen thuộc trong tập hợp các số.

[ngocson52]

Cấu trúc không gian của vecto (1844)
Vào thế kỷ XIX, khi nghiên cứu cấu trúc của các tập hợp vận dụng được các phép toán thì người ta mới rõ rằng cấu trúc của tập hợp các vecto trong mặt phẳng có thể áp dụng được cho những tập hợp khác, như tập hợp các ma trận chẳng hạn. Vậy nên trong ìLý thuyết mở rộng” của mình vào năm 1844, nhà toán học Đức H. Grassmann (1809-1877) đã định nghĩa các không gian vecto có số chiều lớn hơn ba. Trong khi nghiên cứu các quatecnion, W. Hamilton (1805-1865) cũng đã xây dựng nên những hệ thống vecto đầu tiên. Những định nghĩa đã rất có ích cho vật lý học khi xây dựng lý thuyết tương đối trong đó không thời gian được xem như một không gian vecto bốn chiều.

Hình học phi Euclide (thế kỷ XVIII)
Vào thế kỷ XVIII, G. G. Saccheri, J. H. Lambert, Taurinus, Reid và nhiều nhà toán học khác đã thử gán các hệ quả logic cho những sự phủ định tiên đề Euclide, nhưng họ đã không thực sự tin vào chuyện đó và đã không đi đến những lý thuyết hoàn hảo. Vào đầu thế kỷ XIX, những lý thuyết đó bắt đầu hình thành và quy về hai loại hình học khác nhau song đều khả dĩ và có thể xem xét cụ thể được.

Hình học Hypecbolic (thế kỷ XIX)
Nhà toán học Hungari J. Bolyai (1802-1860) và nhà toán học Nga N. I. Lobatchevski (1792-1856) đã xây dựng nên một loại hình học trong đó mặt phẳng là một bề mặt Hypecbolic; để hình dung một bề mặt như thế, ta có thể so sánh nó với một mặt yên ngựa.

Hình học Eliptic (thế kỷ XIX)
Nhà vật lý và toán học Đức C. F. Gauss (1777-1855) đã xây dựng một hình học, trong đó mặt phẳng được xác định như bề mặt một hình cầu có bán kính vô hạn; có thể hình dung được khái niệm đó khi so sánh với mặt nước, bởi vì Trái Đất là hình cầu chứ không phải như Euclide đã tưởng. B. Riemann (1828-1866), người Đức, là học trò của Gauss ở Gottingen, đã tiếp tục các công trình của Gauss và đã đề nghị xét lại hình học cổ điển cho phép xem hình học Eliptic như một trường hợp của một lý thuyết tổng quát hơn.

[ngocson52]

Định nghĩa hình học (1872)
Những công trình khác nhau ở đầu thế kỷ XIX về các loại hình học phi Euclide đã làm nảy sinh những sự ham mê và những cuộc bút chiến rất mạnh mẽ; thực tế chúng đã cách mạng hóa triết ký về các tri thức nhiều hơn là bản thân môn hình học.
Bởi thế cần phải thống nhất và sáng tạo ra một lý thuyết rộng hơn, trong đó những thế giới hình học khác nhau có thể cùng tồn tại. Nhà toán học Đức Ch. F. Klein (1849-1925) trong bài phát biểu mở dầu Đại hội Erlangen (ìChương trình Erlangen” năm 1872) của mình đã định nghĩa hình học như bộ môn nghiên cứu các nhóm phép biến đổi khiến cho một số đối tượng hình học như đường trung tuyến hoặc đường cao trở nên bất biến. Chú ý đến cấu trúc của những nhóm đó, Ch. F. Klein đã gộp các loại hình học vào một lý thuyết đại số. Như vậy, là vào đầu thế kỷ XX không còn ìnhững toán học” nữa, mà chỉ có ìtoán học” trong đó đại số và hình học chỉ là một.

Phỏng đoán bốn màu (1976)
Năm 1976, K. Appel, W. Haken và J. Koch ở Đại học Illisois (Mỹ) đã đưa ra sự chứng minh về sự phỏng đoán bốn màu. Phỏng đoán này khẳng định rằng, toàn bộ bản đồ địa lý được vẽ trên một mặt phẳng hay một mặt cầu, mà mỗi lớp chiếm riêng một khoảnh (không có thuộc địa cũng không có nước khác lọt vào giữa), có thể được tô chỉ bằng bồn màu sao cho hai nước khác nhau có các màu khác nhau.
Việc chứng minh điều phỏng đoán đó đã được thực hiện nhờ tính toán 12000 giờ trên các máy tính mạnh nhất; vậy nên đầu óc con người không thể kiểm chứng được nó và nó đặt ra những câu hỏi về ìtính toán học” của nó. Nhất là nó đã kích thích các nghiên cứu về các lý thuyết đồ thị hiện đang chiếm một vị trí lớn trong giải tích tổ hợp.

[ngocson52]

ĐẠI SỐ

Nguồn gốc (thế kỷ III)
Từ đại số (algebra) xuất phát từ từ al-jabr trong tiếng Ảrập, có nghĩa là rút gọn. Nói chung người ta coi Diophante d’Alexandrie (thế kỷ III) giữ vai trò hàng đầu trong lịch sử đại số. Chính trong tác phẩm Mười ba quyển số học của ông, các nhà toán học Pháp P. de Fermat (1601-1665) và F. Viète (1540-1603) đã tìm thấy điểm xuất phát cho các công trìng của mình. Nhưng lại chính nhờ có F. Viète mà ta có được một phát minh đại số theo quan niệm hiện đại. Chính ông vào năm 1591 đã sáng tạo ra ngôn ngữ đại số ngày nay. Ông đã dùng các chữ cái để biểu thị không chỉ các ẩn mà cả các lượng bất định và với các chữ cái đó, ông đã tạo ra các từ, nghĩa là các biểu thức đại số mà ông vận dụng các phép toán với chúng.

Dấu đại số (thế kỷ XV-XVII)
Người Ai Cập vào năm 1700 trước CN đã sử dụng các dấu đại số, phép cộng được đánh dấu bằng hai cẳng chân nằm cùng chiều, còn phép trừ thì bằng hai cẳng chân nằm ngược chiều. Trái lại, người Hy Lạp lại chẳng dùng hệ ký hiệu nào, mỗi lập luận lại được diễn đạt toàn bằng lời, chính các nhà toán học vào thế kỷ XV, XVI và XVII đã đưa ra cách tính toán dùng các dấu.
Các dấu + và – của chúng ta, vốn xuất hiện năm 1489 trong một cuốn sách số học của J. W. d’Egr, người Đức, đã được M. Stifel người Đức, truyền bá trong một công trình về đại số của ông vào năm 1544. Dấu do C. Rudoff, người Đức, đưa ra năm 1526. Dấu x do W. Oughtred người Anh, sử dụng đầu tiên (1637). Các dấu ìlớn hơn”( >) và ìnhỏ hơn” (<) đều là của người Anh là T. Harriot đưa ra (1631).
Cuối cùng, vào năm 1637 nhà triết học Pháp R. Descartes đã sử dụng các chữ số ở số mũ để biểu thi lũy thừa và vào năm 1656 J. Vallis đã đưa ra ý tưởng về các số mũ âm.

[ngocson52]

Phương trình
Phương trình bậc nhất và bậc hai (năm 1700 trước CN)
Vào khoảng năm 1700 trước CN, trong một tác phẩm của người Ai Cập về các bài toán cụ thể đã có những ví dụ về giải phương trình bậc nhất và bậc hai. Ở Trung Quốc, trong tác phẩm ìChín chương về nghệ thuật tính toán” (khoảng năm 200 trước CN) đã có những ví dụ về giải hệ phương trình hai ẩn.
Lịch sử về các phương trình bậc hai bắt nguồn từ nền văn minh Babilon từ thiên kỷ II (năm 1800 trước CN). Người Babilon đã biết cách giải tất cả các phương trình bậc hai nhưng không diễn đạt trong tập hợp số thực. Người Hy Lạp ở thế kỷ III trước CN đã biến việc giải phương trình bậc hai thành cơ sở cho toàn bộ hình học của họ và để có thể làm việc trong tập hợp số thực, họ đã thay thế các tính toán của người Babilon bằng các phép dựng hình bằng thước và compa. Tuy nhiên, những nhà đại số Hy Lạp đã tính toán trong tập hợp số hữu tỷ dương, điều đó khiến cho nhiều phương trình không có lời giải. Phải chờ tới thế kỷ XVI khi xuất hiện các số phức mới giải được tất cả các phương trình bậc hai

Phương trình bậc ba và bậc bốn thế kỷ XVI
Chính trường phái Italia thế kỷ XVI đã tìm ra cách giải phương trình bậc ba và bậc bốn. Ba người đi tiên phong lần lượt là S. del Ferro, N. Fontana (khoảng 1500-1557) và G. Cardano (1501-1576). Lúc đó họ chạm trán nhau trong các cuộc thi toán học thường kết thúc bằng những cuộc chè chén.

Loga (1614)
Archimède (thế kỷ II trước CN) trong công trình Nghiên cứu về các hạt cát (tính số hạt cát cần thiết để lấp đầy vũ trụ), đã gần đi tới phát minh ra loga, N. Chuquet (1445-1500), người Pháp, đã phát minh ra cấp số cộng và cấp số nhân cũng như số mũ âm, nhưng chính J. Napier (1550-1617) trong khi tìm kiếm các phương pháp tính toán mới về số đã phát minh ra loga vào năm 1614. Hệ thống của ông đã cho phép thay thế các phép nhân bằng phép cộng và phép chia bằng phép trừ bằng cách sử dụng những số rất nhỏ. Nhưng các kết quả thu được đã không làm ông thỏa mãn, cùng với người bạn là H. Briggs, người Anh, ông đã phát minh ra loga thập phân.

[ngocson52]

Hàm số (thế kỷ XVII)
G. V. Leibniz (1646-1716) nhà triết học và toán học Đức, đã có ý tưởng khảo sát các bài toán nhờ phép tương tự; thực ra ông đã quan tâm đến những ìsự đồng dạng” của các bài toán khác nhau. Đặc biệt là trong những trao đổi thư từ với J. Bernoulli (xem thêm bài dưới đây), ông đã nhận xét rằng, một số biến số, chẳng hạn như khoảng cách và thời gian, có thể có liên quan và được biểu diễn qua nhau. Vậy nên ông đã sử dụng các hàm để biểu diễn chúng dưới dạng . Khám phá đó đã được thực hiện trong các nghiên cứu nhằm tìm những phương pháp tính toán mới phát triển ở thế kỷ tiếp sau dưới cái tên phép tính vi phân.

Phép tính vi phân (thế kỷ XVIII)
J. Bernoulli (1667-1748), giáo sư toán học ở Bâle, đã giải thích và giới thiệu các phương pháp tính toán của Leibniz và phổ biến chúng ở Pháp trong những năm 1691-1692. Đặc biệt ông đã là giáo sư của L. Euler (1707-1783), người đã sắp xếp lại và phát triển các công trình của những người đi trước ông. Euler đã đưa ra lý thuyết tổng quát đầu tiên về phép tính biến phân, làm chính xác thêm khái niệm hàm và tập hợp tất cả các kết quả trong các tác phẩm Mở đầu phép tính vi phân (1755) và Mở đầu phép tính tích phân (1768-1770).
Độc lập vơi Leibniz và Euler, nag Vật lý và toán học Anh I. Newton (1643-1727) đã xây dựng được lý thuyết về phép tính các ìfluction” vốn giải quyết chính xác cùng những bài toán đó. Như vậy, thực ra phéo tính vi phân đã xuất hiện đồng thời ở những cộng đồng khoa học khác nhau. Ở thế kỷ XIX, với các công trình của B. Riemann (1826-1866) thì phép tính tích phân đã phát triển mạnh.

[ngocson52]

Phép tính xác suất (1656)
Phép tính xác suất đã nảy sinh trong việc nghiên cứu các trò trơi may rủi (hasard) bắt nguồn từ az-zahr trong tiếng Ảrập nghĩa là ìchơi súc sắc”. Pascal và Fermat là những người đầu tiên trong các thư từ trao đổi của mình đã muốn ìtoán học hóa” các trò chơi may rủi. Nhà bác học Hà Lan Ch. Huygens (1629-1695), người đã biết được về các cuộc trao đổi thư từ đó, đã công bố vào năm 1656 bản thuyết trình đầy đủ đầu tiên về phép tính xác suất. Sau đó J. Bernoulli (1654-1705) đã viết một công trình trình bày môn xác suất một cách sâu sắc hơn nhiều so với Huygens. Cuối cùng, nhà toán học Pháp P. S. de Laplace (1749-1827) đã viết một công trình lớn về việc áp dụng giải tích toán học trong lý thuyết xác suất và nó còn mang tính chất triết học nữa.

Thống kê (1746)
Chính G. Achenwall, nhà kinh tế Đức, vào năm 1746 đã đưa ra thuật ngữ thống kê. Thực ra hoạt động thu nhập các dữ liệu đã có nguồn gốc từ thời Cổ đại xa xưa. Chẳng hạn, hoàng đế Trung Quốc Yao (hình như là vua Ngu Thuấn – ngocson52) vào năm 2238 trước CN đã tổ chức việc thống kê các sản phẩm nông nghiệp. Năm 1853, A. Quetelet, người Bỉ, là người đầu tiên đã nhận thức được rằng thống kê có thể được xây dựng dựa trên phép tính xác suất.
Việc xuất hiện các máy tính mạnh đã làm nảy sinh các phương pháp phân tích dữ liệu nhiều chiều hiện đang rất thịnh hành.

Ma trận (1858)
Việc nghiên cứu các hệ phương trình và các phép biến đổi tuyến tính đã dẫn nhà toán học Anh A. Cayley (1821-1895) tới việc thiết lập các bảng số, gọi là ma trận và định nghĩa các phép toán trên những bảng đó. Vậy là chính ông đã phát triển phép tính ma trận mà ông đã công bố trong một báo cáo khoa học vào năm 1858. Các công trình của ông đã cho phep nghiên cứu một cách sâu sắc hơn về các cấu trúc của nhóm các biến đổi tuyến tính và cung cấp các ý tưởng dẫn dắt F. Klein đến chương trình Erlangen của mình (xem định nghĩa hình học ở trên).

[ngocson52]

Cấu trúc nhóm (thế kỷ XIX)
Ở thế kỷ XIX, nhiều kiểu nhóm đã được nghiên cứu nhân các công trình về các phương trình khác nhau.
Nhà toán học Pháp A. Cauchy (1789-1857) cũng đã nghiên cứu các nhóm hoán vị nghiệm của các phương trình đại số. E. Galois (1811-1832) khi đào sâu các công trình đó đã phác họa nên lý thuyết nhóm song tiếc rằng chưa được hoàn thành. Thực ra ông đã bị giết trong một cuộc đọ súng ở tuổi 21. Mặc dù chỉ dưới những nét phác thảo, lý thuyết của ông đã có tác dụng hướng dẫn cho những nghiên cứu về sau này.
Trong thời kỳ 1870-1880, nhà toán học Na Uy S. Lie (1842-1899) đã xây dựng nên lý thuyết nhóm liên tục các phép biến đổi hay ìnhóm Lie”, nhất là để nghiên cứu các phương trình vi phân. Các nhóm đó đã được Klein sử dụng trong chương trình Erlangen của mình (1872), chính điều đó đã quy hình học về lý thuyết nhóm.
Từ đấy, cấu trúc nhóm này đã được sử dụng trong bộ môn toán học hiện đại cũng như vật lý ở các lĩnh vực nghiên cứu cấu trúc nguyên tử.

Lôgic toán (1854)
Người Anh tự học G. Boole (1815-1864) là người sáng tạo ra logic ký hiệu. Năm 1847, ông đã công bố một cuốn sách nhỏ trong đó ông đã khẳng định rằng, logic phải gắn với toán học chứ không phải với triết học. Năm 1854, trong khảo luận ìNghiên cứu về các quy luật của tư duy”, ông đã trình bày những ý tưởng của mình. Như vậy là đã xuất hiện cái mà ngay nay ta gọi là đại số Boole, chỉ chấp nhận các giá trị bằng số 0 và 1. Nhờ có G. Frege, mà logic hiện đại đã bắt đầu hình thành vào năm 1879, song mãi năm 1903 các công trình của ông mới được nhà triết học B. Russell phát hiện và công bố.

[ngocson52]

(Phần này một vài ký hiệu toán học tớ không đánh được nên để tạm những ký hiệu tương tự - ngocson52)

Lý thuyết tập hợp (thế kỷ XIX-XX)
Từ thời Leibniz đã có nhu cầu xây dựng các ký pháp và ký hiệu để hệ thống hóa logic học. Trong đại số của mình, G. Boole đã đặt phép hợp và phép giao các tập hợp, một mặt tương ứng với phép cộng và phép nhân; và mặt khác với phép ìhoặc” và phép ìvà”; vậy là song song với ký hiệu logic đã xuất hiện các ký hiệu (dấu) và một lý thuyết về các tập hợp. Vào năm 1895 nhà toán học và logic học Italia G. Pean (1858-1932) đã đưa ra ký hiệu để chỉ ìthuộc”,U để chỉ phép hợp hai tập hợp và ^ để chỉ phép giao tập hợp. Năm 1877, Schroder, người Đức, đã đưa ra ký hiệu ( để chỉ sự bao hàm. Cùng với các công trình của Canto về tập hợp các số thực đã xuất hiện các nghịch lý khiến cho Peano phải định nghĩa bản số của một tập hợp. Nhà toán học Pháp E. Borel (1871-1956) đã đưa ra khái niệm về phép hợp đếm được, vốn đã dẫn đến các nghiên cứu về topo và lý thuyết về độ đo ở thế kỷ XX.

Topo (thế kỷ XIX-XX)
Topo là một phần toán học vốn nghiên cứu các khái niệm, thoạt đầu mang tính trực giác về tính liên tục và giới hạn. Cho tới đầu thế kỷ XIX, các nhà toán học sử dụng những khái niệm đó mà không định nghĩa chúng một cách chính xác. Nhà toán học Đức. D. Hilbert (1862-1943) đã tìm cách tiên đề hóa chúng và đưa ra khái niệm ìlân cận”. Ở đầu thế kỷ XX M. Fréchet, người Pháp, và F. Riesz, người Hungari đã định nghĩa lần lượt các khái niệm ìmetric” và ìtopo”. Cuối cung, khoảng năm 1940, định nghĩa các ìbộ lọc” của nhà toán học Pháp H. Cartan đã kết thúc lịch sử khái niêm giới hạn. H. Poincaré (1854-1912), người anh em họ của tổng thống Pháp R. Poincaré, được coi như người phát minh ra topo đại số và topo vi phân.

[ngocson52]

Lý thuyết đo độ (1931-1935)
Mặc dù theo kinh nghiệm thì khái niệm độ đo tồn tại từ những buổi đầu của các nền văn minh, nhưng phải tới thế kỷ XX người ta mới diễn đạt được một lý thuyết phù hợp về độ đo. Sử dụng các tiến bộ của thế kỷ trước về tập hợp số thực, tích phân Riemann và về đại số của các tập hợp, nhà toán học Pháp H. Lebesgue (1875-1941) đã xây dựng nên độ đo Lebesgue, vốn chấp nhận sự tồn tại có vẻ nghịch lý các tập hợp chứa vô hạn điểm và tuy vậy vẫn có độ đo bằng không. Ông đã công bố các kết quả của mình ìvề độ đo các đại lượng” trong tác phầm ìDạy toán” (1931-1935).

Trường phái Bourbaki (1939-1960)
Với cùng tinh thần như Euclide đã soạn thảo tác phẩm ìNguyên lý”, nhóm các cựu sinh viên Đại học Sư phạm (Pháp) đã tập hợp lại vào năm 1933 để soạn thảo tập thể công trình tổng hợp các kiến thức của thế kỷ XX. Sau khi trình bày các tiên đề mà xuất phát từ đó có thể chứng minh được tất cả, họ đã thống nhất lại để tạo ra kiến thức của thế kỷ này. Các tài liệu xuất bản của họ - Các nguyên lý của toán học (1939) và Các nguyên lý của lịch sử toán học (1960) – đã được ký tên là Nicolas Bourbaki. Cái tên đó xuất phát từ một lời nói đùa của họ khi còn học tập ở Đại học Sư phạm, đồng thời tạo nên một Bourbaki tưởng tượng chung.

Thuật toán Karmarkar (1984)
Nhà toán học Ấn Độ N. Karmarkar lúc 28 tuổi đã thực hiện một bước đột phá đáng chú ý trong việc giải các hệ phương trình thường là rất phức tạp đối với những máy tính mạnh nhất.
Các nhà toán học đã làm sáng tỏ được những bài toán như những bài toán về hình học không gian. Cho đến nay, thuật toán ìSimplexe” do nhà toán học J. B. Dantzig nghĩ ra năm 1947, đã vượt ra khỏi khuôn khổ của cố thể để hướng tới giải pháp tối ưu mà không cần phải thăm dò kỹ tất cả các khả năng. Phương pháp này đã thành công khi số biến không quá 20 000. Thuật toán Karmarkar mà ý tưởng chung của nó là uốn cong cố thể một cách liên tục, dẫn đến giải pháp tối ưu nhanh hơn. Các biến đổi đó dựa trên một kỹ thuật hình học xạ ảnh. Phương pháp của N. Karmarkar có thể áp dụng cho những bài toán quy hoạch tuyến tính trong những lĩnh vực hoạt động khác nhau.

[Yagami Raito]

Ngày nay, từ lớp Một, học sinh đã biết một số kì hiệu phép tính toán học như cộng (+), trừ (-), bằng nhau ( = ),…Nhưng nhân loại phải mất hàng nghìn năm mới có được các kí hiệu đơn giản mà cần thiết đó.
Trước khi có các kì hiệu phép tính, người ta đã phải dùng lời, dùng chữ để diễn tả quan hệ số lượng và hình dạng. Ví dụ, để diễn ta (a + b) – c người ta phải biết : ” a cộng với b, rồi lấy kết quả trừ đi c”. Đây là cách mà người Hi Lạp còn dùng mãi về sau.

Người Ai Cập vào những năm 1700 trước Công nguyên dùng cách đánh dấu bằng hai cẳng chân nằm cùng điều để chỉ phép cộng và hai cẳng chân nằm khác chiều để chỉ phép trừ.

Người Hi Lạp cổ đại và người Ấn Độ cổ đại đều coi việc viết hai số liền nhau là phép cộng, ví dụ có nghĩa là 3 cộng

Người Hindu thì phép cộng được thể hiện bằng cách ghép, còn phép trừ thể hiện bằng việc đặt một chấm lên số bị trừ.

Nhà toán học Lý Thiện Lan nhười Trung Hoa đã dùng kí hiệu và để chỉ phép cộng và phép trừ.
L. Pasoli ( cuối thế kỉ XV) người Italia, đã dùng kí hiệu chữ Latinh p từ chữ plus (nghĩa là cộng), ví dụ 5 p 3, nghĩa là 5 cộng 3 và chữ m, từ chữ minus ( nghĩa là trừ) thay cho phép trừ, ví dụ 7 m 5, nghĩa là 7 trừ 5.

Cuối thời Trung Cổ, thương nghiệp ở châu Âu phát triển, một số nhà buôn thường vạch dấu ” +” và dấu ” – ì lên thùng hàng để đánh dấu ìtrọng lượng hơi thừa” và ìtrọng lượng hơi thiếu”

Thời Phục Hưng (thế kỉ XV – XVI), Leonardo de Vinci (1452 – 1519) người Italia bậc thầy của nghệ thuật, nhất là hội họa, nhưng rất mê toán, đã dùng kí hiệu ì+” và ì-” trong một số tác phẩm của mình.

Năm 1489, trong một cuốn sách số học của J. W d’Eges người Đức, xuất hiện dấu ” +” và dấu ” -” để chỉ phép cộng và phép trừ. Sau đó đến năm 1514, nhà toán học Van der Hoecker người Hà Lan, năm 1524 Christoffel Rudofl( khoảng 1500 – 1545), đã dùng kí hiệu ì+” và ” -” thay cho phép cộng và phép trừ.

Về sau, nhờ đóng góp tích cực của nhà toán học Fracois Viete( người Pháp, 1540 – 1603, được biết đến ở chương trình phổ thông với định lí Viete về nghiệm của phương trình bậc 2) thì dấu ” +” và ” -” mới được phổ cập và đến năm 1630 mới được mọi người công nhận. Do vậy ông được cho là ông tổ của kí hiệu toán học.

Đối với phép nhân, người Hindu đã dùng cách viết bha( âm đầu của từ bhavita là tích) sau các nhân tử. Năm 1631 William Oughtred(1574 – 1660) người Anh, đã dùng dấu ìx” trong các tác phẩm của mình và người ta đã dùng nó cho đến ngày nay.

Dấu ì.” thay cho phép nhân đã được Thomas Harriot (1560 – 1621) dùng nhưng sau đó người ta ít dùng, chỉ đến khi (năm 1684) Gottfried Wilhelm Leibnizt ( 1646 – 1716) người Đức chấp nhận nó thì người ta mới dùng nhiều. Hiện nay dấu ì.” vẫn được dùng cho phép nhân trong SGK của một số nước.

Dấu ì” được G. W. Leibnizt dùng cho phép nhân và ngày nay dấu này được dùng để chỉ phép giao trong tập hợp.

Đối với phép chia, người Hindu thể hiện bằng cách viết số chia dưới số bị chia. Nhà toán học Mohammed Ibn Musa Al – Khowarizmi ( khoảng 780 – khoảng 850) người Uzbekistan,đã dùng để chỉ 3:4

Đến năm 1630, John Pell ( 1610 – 1685) người Anh đã dùng dấu ”: ” và sau đó năm 1659 Johann Heirich Rahn (1622 – 1676) người Thụy Sĩ, năm 1684 G.W. Leibnizt cũng dùng dấu ” :” để chỉ phép chia.
Đối với phép khai căn, trước khi có dấu thì người ta dùng R.q thay cho , R.c thay cho . :sqrt[3]{a}

Người Hindu thể hiện phép khai căn bằng cách viết ka (âm tiết đầu của từ karana là vô tỉ) trước đại lượng lấy căn.

Đến năm 1525, trong cuốn ìDie Coss”, Ch.Rudolff đã đưa ra dấu . sở dỉ được ông kí hiệu như vậy vì có lẽ nó giống chữ r trong từ radical là dấu căn.

Tất nhiên còn nhiều kí hiệu phép tính toán học nữa, như tích phân

File gửi kèm

•  untitled.bmp   1.74K   510 Số lần tải
•  untitled.bmp   1.46K   396 Số lần tải
•  untitled.bmp   1.18K   364 Số lần tải
•  untitled.bmp   1.43K   381 Số lần tải
•  untitled.bmp   1.28K   382 Số lần tải

[tay du ki]

Sau đây là cách chứng minh định lí goldbach của mình 

giả sư đúng với a; a+1 ta cần chứng minh đúng với a+ 2 

a = p _x+p_y

Ta gọi p_n là số nguyên tố  gần p_x nhất 

phân tích ra p_x = 2^x₁ 3^x₂....p_n^x_n+2^y₁ 3^y₂....p_n^y_n 

với xn khác 0  nên  yn= 0 

và ngược lại 

_{Tương tự như trên}  : Ta có p _{y =}2^m₁ 3^m₂....p_n^m_n+2^z₁ 3^z₂....p_n^z_n 

$\Rightarrow$ a=2^x₁ 3^x₂....p_n^x_n+2^y₁ 3^y₂....p_n^{y_{n +}}2^m₁ 3^m₂....p_n^m_n+2^z₁ 3^z₂....p_n^z_n 

Đúng với a+1 = 2^x₁ 3^x₂....p_n^x_n+2^y₁ 3^y₂....p_n^{y_{n +}}2^m₁ 3^m₂....p_n^m_n+2^z₁ 3^z₂....p_n^z_n +1  

ta cần chứng minh đúng với n + 2 = (2^x₁ 3^x₂....p_n^x_n+2^y₁ 3^y₂....p_n^y_n )+( 2^m₁ 3^m₂....p_n^m_n+1) +(2^z₁ 3^z₂....p_n^z_n +1  )

Theo giả thi ta có (2^x₁ 3^x₂....p_n^x_n+2^y₁ 3^y₂....p_n^y_n )là số nguyên tố còn 

2^m₁ 3^m₂....p_n^m_n+1 thì theo cách chứng minh của ơ clit về có vô hạn  số nguyên tố từ đây ta có số này là số nguyên tố 

Tương tự với 2^z₁ 3^z₂....p_n^z_n +1

p/s : không biết có đúng không nữa , khả năng sai là rất cao     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tay du ki: 15-10-2016 - 18:15

[Gokai Silver]

Sau đây là cách chứng minh định lí goldbach của mình 

giả sư đúng với a; a+1 ta cần chứng minh đúng với a+ 2 

a = p _x+p_y

Ta gọi p_n là số nguyên tố  gần p_x nhất 

phân tích ra p_x = 2^x₁ 3^x₂....p_n^x_n+2^y₁ 3^y₂....p_n^y_n 

với xn khác 0  nên  yn= 0 

và ngược lại 

_{Tương tự như trên}  : Ta có p _{y =}2^m₁ 3^m₂....p_n^m_n+2^z₁ 3^z₂....p_n^z_n 

$\Rightarrow$ a=2^x₁ 3^x₂....p_n^x_n+2^y₁ 3^y₂....p_n^{y_{n +}}2^m₁ 3^m₂....p_n^m_n+2^z₁ 3^z₂....p_n^z_n 

Đúng với a+1 = 2^x₁ 3^x₂....p_n^x_n+2^y₁ 3^y₂....p_n^{y_{n +}}2^m₁ 3^m₂....p_n^m_n+2^z₁ 3^z₂....p_n^z_n +1  

ta cần chứng minh đúng với n + 2 = (2^x₁ 3^x₂....p_n^x_n+2^y₁ 3^y₂....p_n^y_n )+( 2^m₁ 3^m₂....p_n^m_n+1) +(2^z₁ 3^z₂....p_n^z_n +1  )

Theo giả thi ta có (2^x₁ 3^x₂....p_n^x_n+2^y₁ 3^y₂....p_n^y_n )là số nguyên tố còn 

2^m₁ 3^m₂....p_n^m_n+1 thì theo cách chứng minh của ơ clit về có vô hạn  số nguyên tố từ đây ta có số này là số nguyên tố 

Tương tự với 2^z₁ 3^z₂....p_n^z_n +1

p/s : không biết có đúng không nữa , khả năng sai là rất cao     

phục bác v~

[quanghshshs]

Ngày nay, từ lớp Một, học sinh đã biết một số kì hiệu phép tính toán học như cộng (+), trừ (-), bằng nhau ( = ),…Nhưng nhân loại phải mất hàng nghìn năm mới có được các kí hiệu đơn giản mà cần thiết đó.
Trước khi có các kì hiệu phép tính, người ta đã phải dùng lời, dùng chữ để diễn tả quan hệ số lượng và hình dạng. Ví dụ, để diễn ta (a + b) – c người ta phải biết : ” a cộng với b, rồi lấy kết quả trừ đi c”. Đây là cách mà người Hi Lạp còn dùng mãi về sau.

Người Ai Cập vào những năm 1700 trước Công nguyên dùng cách đánh dấu bằng hai cẳng chân nằm cùng điều để chỉ phép cộng và hai cẳng chân nằm khác chiều để chỉ phép trừ.

Người Hi Lạp cổ đại và người Ấn Độ cổ đại đều coi việc viết hai số liền nhau là phép cộng, ví dụ có nghĩa là 3 cộng

Người Hindu thì phép cộng được thể hiện bằng cách ghép, còn phép trừ thể hiện bằng việc đặt một chấm lên số bị trừ.

Nhà toán học Lý Thiện Lan nhười Trung Hoa đã dùng kí hiệu và để chỉ phép cộng và phép trừ.
L. Pasoli ( cuối thế kỉ XV) người Italia, đã dùng kí hiệu chữ Latinh p từ chữ plus (nghĩa là cộng), ví dụ 5 p 3, nghĩa là 5 cộng 3 và chữ m, từ chữ minus ( nghĩa là trừ) thay cho phép trừ, ví dụ 7 m 5, nghĩa là 7 trừ 5.

Cuối thời Trung Cổ, thương nghiệp ở châu Âu phát triển, một số nhà buôn thường vạch dấu ” +” và dấu ” – ì lên thùng hàng để đánh dấu ìtrọng lượng hơi thừa” và ìtrọng lượng hơi thiếu”

Thời Phục Hưng (thế kỉ XV – XVI), Leonardo de Vinci (1452 – 1519) người Italia bậc thầy của nghệ thuật, nhất là hội họa, nhưng rất mê toán, đã dùng kí hiệu ì+” và ì-” trong một số tác phẩm của mình.

Năm 1489, trong một cuốn sách số học của J. W d’Eges người Đức, xuất hiện dấu ” +” và dấu ” -” để chỉ phép cộng và phép trừ. Sau đó đến năm 1514, nhà toán học Van der Hoecker người Hà Lan, năm 1524 Christoffel Rudofl( khoảng 1500 – 1545), đã dùng kí hiệu ì+” và ” -” thay cho phép cộng và phép trừ.

Về sau, nhờ đóng góp tích cực của nhà toán học Fracois Viete( người Pháp, 1540 – 1603, được biết đến ở chương trình phổ thông với định lí Viete về nghiệm của phương trình bậc 2) thì dấu ” +” và ” -” mới được phổ cập và đến năm 1630 mới được mọi người công nhận. Do vậy ông được cho là ông tổ của kí hiệu toán học.

Đối với phép nhân, người Hindu đã dùng cách viết bha( âm đầu của từ bhavita là tích) sau các nhân tử. Năm 1631 William Oughtred(1574 – 1660) người Anh, đã dùng dấu ìx” trong các tác phẩm của mình và người ta đã dùng nó cho đến ngày nay.

Dấu ì.” thay cho phép nhân đã được Thomas Harriot (1560 – 1621) dùng nhưng sau đó người ta ít dùng, chỉ đến khi (năm 1684) Gottfried Wilhelm Leibnizt ( 1646 – 1716) người Đức chấp nhận nó thì người ta mới dùng nhiều. Hiện nay dấu ì.” vẫn được dùng cho phép nhân trong SGK của một số nước.

Dấu ì” được G. W. Leibnizt dùng cho phép nhân và ngày nay dấu này được dùng để chỉ phép giao trong tập hợp.

Đối với phép chia, người Hindu thể hiện bằng cách viết số chia dưới số bị chia. Nhà toán học Mohammed Ibn Musa Al – Khowarizmi ( khoảng 780 – khoảng 850) người Uzbekistan,đã dùng để chỉ 3:4

Đến năm 1630, John Pell ( 1610 – 1685) người Anh đã dùng dấu ”: ” và sau đó năm 1659 Johann Heirich Rahn (1622 – 1676) người Thụy Sĩ, năm 1684 G.W. Leibnizt cũng dùng dấu ” :” để chỉ phép chia.
Đối với phép khai căn, trước khi có dấu thì người ta dùng R.q thay cho , R.c thay cho . :sqrt[3]{a}

Người Hindu thể hiện phép khai căn bằng cách viết ka (âm tiết đầu của từ karana là vô tỉ) trước đại lượng lấy căn.

Đến năm 1525, trong cuốn ìDie Coss”, Ch.Rudolff đã đưa ra dấu . sở dỉ được ông kí hiệu như vậy vì có lẽ nó giống chữ r trong từ radical là dấu căn.

Tất nhiên còn nhiều kí hiệu phép tính toán học nữa, như tích phân

Còn lũy thừa thì sao

[Ngo Huong]

HÌNH HỌC
Định lý Thalès (thế kỷ VII-VI trước CN)
Trước Thales mỗi nhân viên đo đạc hoặc nhà hình học đều phải tìm những ìkỹ xảo” để đo các khoảng cách, các bề mặt v.v… Nhà triết học và toán học Hy lạp thuộc trường phái Ioni là Thales de Milet (thế kỷ VII-VI) đã có ý tưởng tài tình đo các chiều cao nhờ dùng bóng vaod lúc mà ìbóng bằng với vật”, nghĩa là vào lúc các tia nắng chiếu xuyên một góc 450. Để đo chiều cao của Đại Kim tự tháp ông đã cải tiến phương pháp của mình bằng cách sử dụng các tia nắng ở bất kỳ lúc nào. Và ông đã có thể dừng lại ở đó, song toàn bộ giá trị cồn việc của ông là muốn xuất phát từ thực nghiệm để xây dựng nên một lý thuyết: việc sử dụng các tia sáng mặt trời đã cho phép ông nghiên cứu các đường thẳng song song và mối liên hệ giữa độ dài hình chiếu và độ dài ban đầu. Rồi ông đã phát biểu một địng lý mà từ đó được gọi là Định lý Thales: ìCác đường thẳng song song chiếu những đoạn dài tỷ lệ từ đường thẳng này lên đường thẳng khác”. Như vậy là ông đã rút ra hình học từ cuốn sổ ghi chép các kỹ thuật băng cách đưa vào đó quan điểm suy diễn và chứng minh của toán học.

Định lý Pythagore (thế ky VI trước CN)
Xuất phát từ các công trình của Thales về các đường thẳng song song và cũng với tinh thần chứng minh, Pythagore, nhà triết học và toán học Hy lạp ở thế kỷ VI trước CN đã quan tâm đến hình chiếu vuông góc và đã chứng minh được định lý mang tên ông. Định lý đó thiết lập được mối liên hệ giữa chiều dài các cạnh của một tam giác vuông. Mối quan hệ đó đã được biết đến từ thời có các nhân viên đo đạc, song chính Pythagore là người đầu tiên đã chứng minh được nó.

Em chào a, em đang tìm hiểu về lịch sử ra đời của định lý Thales và tam giác đồng dạng, và cả bài viết về mặt conic, thấy bài viết của a, em muốn xin tài liệu gốc được không ạ? em cảm ơn a nhiều ạ