Chủ đề này có 3 trả lời

[mathsbeginner]

1. Những nhà số học bất đắc dĩ

Ve sầu (cicadas) nói chung thường có vòng đời khoảng từ 2 đến 8 năm. Có một số loại ve sầu đặc biệt gọi là ve sầu định kì. Loại ve sầu này xuất hiện và biến mất đồng loạt ở một nơi nào đó. Vòng đời của loại ve sầu định kì này là 13 hoặc 17 năm (có 3 loại ve sầu định kì 13 năm và 3 loại định kì 17 năm). Những con ve sầu phát triển dưới lòng đất, hút nhựa cây để lớn lên. Trong vòng gần 13 hay 17 năm ở một nơi, hầu như hoàn toàn không thấy một con ve trưởng thành nào của loại ve sầu này. Rồi chúng đột nhiên xuất hiện đồng loạt, tìm bạn đời, sinh đẻ rồi chết chỉ sau vài tuần.

Điều làm các nhà sinh học ngạc nhiên là tại sao loài ve sầu này lại có vòng đời dài như vậy. Và lạ lùng hơn nữa vòng đời của chúng lại là những số nguyên tố !
Phải chăng chỉ là sự trùng hợp ngẫu nhiên? Hay chúng chỉ là những nhà toán học nghiệp dư thích chơi đùa với những con số? Dường như chẳng có mối liên hệ gì giữa những con ve gần như cả đời ở dưới lòng đất với những số nguyên tố vốn rất được các nhà toán học quan tâm bởi chúng chính là những "nguyên tử" cấu tạo nên toàn bộ thế giới số tự nhiên tươi đẹp.

Nhưng tự nhiên chưa bao giờ là kẻ thích đưa ra những quyết định vô lí. Các nhà khoa học hiểu vậy và cố gắng tìm cách giải thích mỗi quyết định của tự nhiên. Và có lẽ họ đã tìm ra. Mỗi loài vật luôn có những kẻ thù khó đội trời chung: những loài ăn thịt, những kẻ kí sinh...Để bảo vệ chính mình chúng phải chọn cách tốt nhất là tránh mặt những kẻ thù đó. Loài ve ém mình hầu suốt cả cuộc đời trong lòng đất, chỉ xuất hiện một thời gian ngắn trên mặt đất trước khi sinh sản rồi chết, nghĩ ra một cách thật đặc biệt để tránh các kẻ thù: sử dụng chính vòng đời của mình, cố làm sao cho lệch với vòng đời của loài thiên địch. Nếu kẻ thù của chúng có vòng đời là 2 chẳng hạn, chúng sẽ phải cố tránh vòng đời là bội của 2 để khỏi gặp kẻ thù thường xuyên. Nếu vòng đời của chúng là 3 thì hai loài sẽ gặp nhau với chu kì 6 năm, còn vòng đời 17 năm thì có thể kéo dài thời gian này đến 34 năm. Lẽ dĩ nhiên kẻ thù của chúng cũng sẽ cố biến đổi sao cho gặp được chúng nhiều nhất. Với những số nguyên tố như 17 thì những gã săn mồi này sẽ chỉ đạt hiệu quả lớn nhất khi có vòng đời 1 năm hoặc một số năm là bội số của 17. Tuy nhiên những biến đổi này là dần dần nên để đạt đến vòng đời 17 năm loài thiên địch này phải trải qua chu kì 16 năm, mà kết quả là chu kì gặp nhau của 2 loài lên đến 16 x 17 = 262 năm ---> đủ cho loài thiên địch này...chết đói

Và thế là cuộc đuổi bắt vô tận của tự nhiên đã sinh ra những nhà số học bất đắc dĩ: những con ve sầu có vòng đời nguyên tố

[ngocson52]

Số nguyên tố, những điều lý thú

Cặp song sinh cảm nhận được số nguyên tố
Cặp song sinh John và Michael được coi là hai người "đần độn bác học” – từ được các nhà khoa học dùng để chỉ những trường hợp bệnh nhân có các trục trực về thần kinh như tự kỷ, thiểu năng trí tuệ, nhưng lại có một khẳ năng đặc biệt trong một lĩnh vực nào đó như âm nhạc, hội họa, toán, v.v. Cả hai, năm nay đã 27 tuổi, đều có một trí nhớ tuyệt vời đối với các chi tiết của một ngày bất kỳ, hoặc những việc đã làm hoặc chứng kiến trong quá khứ. Nhưng họ còn có một khả năng đặc biệt hơn đó là nhận ra các số nguyên tố.

Trong một buổi nói chuyện với John và Michael, nhà thần kinh học Oliver Sacks làm rơi một bao diêm và ngay lập tức, cả hai anh em đều kêu lên: "111”. Sau đó, John nói:"37”, Michael cũng nói: "37” và John nhắc lại "37”. Oliver rất ngạc nhiên bèn đếm lại số diêm bị rơi và kết quả ông thu được là 111. Ông hỏi hai anh em: "Làm thế nào mà hai bạn đếm số diêm nhanh đến như vậy?” Hai anh em trả lời: "Chúng tôi không đếm. Chúng tôi đã cảm nhận được số 111”. Oliver hỏi tiếp: "Tại sao các bạn nhắc lại ba lần số 37?” Họ lại đồng thanh: "37, 37, 37, 111”.

Có trí nhớ tuyệt vời nhưng cả John và Michael đều có chỉ số IQ rất thấp (chỉ khoảng 60, so với 100 ở người bình thường) và họ còn không thể thực hiện các phép tính đơn giản như nhân, chia. Nhưng điều này không ngăn cản được họ có niềm say mê những con số vì họ cảm nhận được chúng. Trong trường hợp các que diêm bị rơi, mặc dù không hề biết số nguyên tố là gì, nhưng trong tiềm thức họ đã nhanh chóng phát hiện thấy rằng số 111 có thể được chia thành ba phần bằng nhau (37+37+37=111). Có lần, Oliver còn bắt gặp hai anh em ngồi trong một góc nhà và vui vẻ cùng nhau đọc con số gồm sáu chữ số. Sau khi kiểm tra, ông thấy đây đều là những số nguyên tố. Hôm sau, ông quyết định thử khả năng nhận biết số của John và Michael bằng cách đọc cho họ một vài con số gồm 8, 10, 12, thậm chí 20 chữ số. Sau 30 giây tập trung cao độ, cả John và Michael đều nhận ra đâu là số nguyên tố.

Vậy khi đọc một con số bất kỳ, chẳng hạn như 167 988 556 314 760 475 137, mà bạn thấy bị kích thích thì hãy thông báo ngay cho một nhà toán học. Rất có thể bạn có năng khiếu đặc biệt giống như John và Michael đấy!

Sống còn nhờ chu kỳ sống theo số nguyên tố
Hiện nay, ở miền Đông nước Mỹ có ba dòng ve sầu Magicicada có cách sống rất kỳ lạ. Sau khi giao phối, ve sầu chui xuống đất đẻ trứng vào gốc cây to rồi bỏ đi. Ấu trùng ve sầu ở lì lại đó suốt 13 hoặc 17 năm liền. Sau một thời gian dài sống nhờ rễ cây như vậy, ấu trùng nở thành ve sầu và chui lên mặt đất, cặp đôi, đẻ trứng rồi chết đi... Và thế hệ con lại tiếp tục chu kỳ 17 hoặc 13 năm của mình.

Theo một số nhà nghiên cứu, chu kỳ 13 và 17 năm (hai số nguyên tố) là yếu tố sống còn của một số loại ve sầu. Lập luận của họ như sau: chim và động vật ăn mồi thích ve sầu có chu kỳ sống khoảng 2 đên 5 năm; với chu kỳ sống 13 hoặc 17 năm, rất lâu sau ve sầu mới phải sống cùng thời gian phát triển đông nhất của kẻ thù ăn thịt mình. Ví dụ, cứ 17 x 3 = 51 năm, hoặc 13 x 5 = 65 năm thì mới trùng nhau. Như vậy, một "chu kỳ sống nguyên” giúp ve sầu giảm nguy cơ phải sống cùng kẻ thù của mình.

Để có được khả năng này, chắc chắn ve sầu phải trải qua một quá trình tiến hóa dài. Sau nhiều thế hệ, chỉ có những ve sầu có chu kỳ sống là một số nguyên tố mới có khả năng tồn tại đến ngày hôm nay.


Một con ve sầu Magicicada thoát ra khỏi bọc nhộng sau 17 năm phát triển ấu trùng

Mật mã
Trong suốt nhiều thế kỷ, kỹ thuật mã hóa dựa theo phương pháp cổ truyền: sử dụng một mật mã (có thể là một từ, một văn bản đối chiếu, một dãy số...) để bảo mật thông tin. Người nhận, được người gửi cho biết mật mã, chỉ cần áp dụng quá trình ngược lại là có thể hiểu được thông tin bị mã hóa.

Theo các chuyên gia, đây là phương pháp hai chiều, tức là sử dụng một mật mã để làm hai việc là mã hóa và giải mã. Kỹ thuật này có một nhược điểm là độ bí mật tuyệt đối của mật mã không được đảm bảo. Vì trên thực tế, người gửi phải thông báo cho người nhận mật mã thông qua một hình thức nào đó. Ví dụ, nếu ta muốn chuyển một thông tin mã hóa nào đó cho một người ở rất xa thì ta phải chuyển văn bản chứa đựng thông tin được mã hóa và mật mã cho người đó bằng thư, điện thoại, hoặc Internet và chính vì thế mật mã của bạn (không được mã hóa) sẽ dễ bị người khác biết.
Để đảm bảo độ bí mật, người ta đã áp dụng nguyên lý số nguyên tố. Như chúng ta biết, số nguyên tố rất đặc biệt vì chúng là một số nguyên chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Ta dễ dàng thực hiện phép nhân giữa các số nguyên tố với nhau.

Ví dụ, ai cũng có thể nhân được 319489 x 242483 = 774707470337. Nhưng quá trình ngược lại lại rất phức tạp. Ví dụ để kiểm tra xem số 267281174273 có phải là số nguyên tố hay không, ta phải mất rất nhiều thời gian với hàng loạt phép tính mới có thể phát hiện được số này là kết quả của phép nhân giữa 274177 với 974849. Mà đây mới chỉlà những số có ít chữ số. Các bạn hình dung nếu kết quả ban đầu là một số có 20, 30 hay 50 chữ số thì khối lượng các phép toán sẽ khổng lồ đến mức nào!

Ngược lại với các phương pháp hai chiều hay còn gọi là đối xứng, mô hình số nguyên tố cho phép dễ dàng mã hóa thông tin nhưng dường như là không thực hiện được quá trình ngược lại. Ví dụ, chúng ta có thể chọn hai số nguyên tó p và q bất kỳ sau đó nhân chúng với nhau để thu được kết quả N. N chính là mật mã và ai cũng có thể biết được mật mã này và sử dụng nó để khóa một thông tin ai đó gửi cho bạn nhưng không ai biết được kết quả N là phép nhân hai số p và q (hai yếu tố không thể thiếu để giải mã và chỉ có bạn biết) nên không thể đọc được thông tin mã hóa của bạn. Phương pháp này vừa dễ thực hiện mà độ bảo mật lại rất cao.

Dựa trên nguyên tắc này, các nhà lập trình và quản lý mạng máy tính đã nghĩ ra một hệ thống mã hóa đáp ứng được hai yêu cầu cơ bản là dễ sử dụng và độ bảo mật cao của các thông tin trên mạng Internet mang tên RSA (RSA là tên viết tắt của các thành viên sáng lập: Rivest, Shamir và Adleman). Năm 1991, Phil Zimmermann cũng đã nghĩ ra một phiên bản khác hiệu quả hơn đặt tên là PGP (Pretty Good Privacy). Tất cả mọi người đều có thể truy cập vào PGP thông qua Internet để khóa thông tin của mình.

Nguồn: S&V Junior (Theo Tạp chí Tia Sáng 12. 2002)
---------------------------------------------------
Các bạn có thể xem thêm bài Ứng dụng toán học trong mật mã hoá RSA tại đây: http://www.diendanto...p?showtopic=166 (ngocson52)

[Lim]

Trong thế giới toán học, thật khó để có thể nghĩ ra được một việc đơn giản hơn việc đếm các số: 1, 2, 3 và cứ thế. Nhưng cũng chính từ tập số này cùng với các dạng mẫu trật tự của nó đã́ mang lại cho ta những điều kỳ thú ngoài sự mong đợi. Ví dụ, chọn một số bất kỳ, nhân đôi số đó. Bạn sẽ luôn luôn tìm được một số nguyên tố, ở giữa hai số này. Hay những số nguyên tố khi chia cho 4 dư 1 thì luôn luôn biểu diễn được dưới dạng tổng của 2 số chính phương. Bây giờ, một cậu sinh viên cao học toán còn mang đến một điều ngạc nhiên trên cả những điều ngạc nhiên trước đó bằng việc đưa ra một dạng mẫu khác của tập số tự nhiên. Chứng minh của cậu, như là màn kết của câu chuyện giữa nàng số phân hoạch và chàng số nguyên tố.


Làm việc trong tâm trạng ác cảm, sau những lời cảnh báo của thầy hướng dẫn về vấn đề mà cậu đang theo đuỗi sẽ rất̀ gian truân, nhưng Karl Mahlburg thuộc trường đại học Winsconsin - Madison vẫn tiến bước, và cuối cùng đã đưa ra một lời giải thích hoàn thiện cho một tập hợp vô hạn của các dạng mẫu. Vấn đề mà hai thầy trò họ quan tâm đó là sự phân hoạch - cách tách số ra dưới dạng một tổng. Như số 4, có 5 cách phân hoạch, số 5 có 7 cách phân hoạch, số 6 có 11 cách phân hoạch. Và các số phân hoạch này tiến một cách nhanh chóng, như pháo thiên thăng. Ví dụ, số phân hoạch của 50 sẽ là 204’226 và của 200 sẽ là 3’972’999’029’388.

Đối với các nhà lý thuyết số, các số phân hoạch trở thành vấn đề trêu ngươi nhất trong toán học. Ngay cả những câu hỏi đơn giản nhất về tính chất của sự phân hoạch cũng rất khó để có thể trả lời được. Ví dụ như, chưa ai có thể chứng minh được rằng liệu có tồn tại hay không vô hạn số phân hoạch chia hết cho 3? Mặc dầu người ta biết được, có vô hạn các số phân hoạ̣ch chia hết cho 2. Không có sự khác biệt nào lớn giữa một câu hỏi khó với một câu hỏi có thể trả lời được, Ken Ono, giáo viên hướng dẫn của Mahlburg ở Winsconsin phát biểu.

Trong khi vấn đề phân hoạch ban đầu đuợc nghiên cứu bởi bản chất thú vị bên trong, nó còn là gốc dễ của những lát cỏ lớn trong toán học, bao gồm những ý tưởng trong quá trình chứng minh định lý Fermat lớn của Andrew Wiles năm 1993. Số phân hoạch còn có một ý nghĩa quan trọng trong vật lý. Ví dụ như, các nhà vật lý lý thuyết sử dụng chúng để khám phá ra những con đường mà ở đó một tập hợp các hạt có thể phân bố ở giữa những trạng thái năng lượng khác nhau.

Những mẫu hình ngạc nhiên

Về cơ bản, sự phân hoạch miêu ta việc làm sao để xếp một số dưới dạng tổng của các số hạng. Năm 1919, nhà toán học người Ấn độ Srinivasa Ramanujan khám phá ra rằng sự phân hoạch có một mối liên hệ không ngờ với phép nhân. Chúng tạo ra các dạng mẫu dựa trên các số nguyên tố - viên gạch cơ bản để sắp xếp một số thông qua phép nhân.

Ramanujan phát hiện thấy rằng bắt đầu từ số phân hoạch thứ tư trở đi, nghĩa là số 5, mỗi số phân hoạch thứ 5 sẽ chia hết cho 5. Ví dụ số 4 có số phân hoạch là 5, số 9 có số phân hoạch là 30, số 14 có số phân hoạch là 135.

Ramanujan còn khám phá ra được, bắt đầu từ số phân hoạch thứ 5, mội số phân hoạch thứ 7 sẽ chia hết cho 7 và bắt đầu với số phân hoạch thứ 6, mội số phân hoạch thứ 11 sẽ chia hết cho 11. Nhưng dạng mẫu này được gọi là Tương đẳng phân hoạch Ramanujan.

"Những dạng mẫu này thật là ngoài sức tưởng tượng ", Ono phát biểu. " Chúng không là gì, nhưng lại là định nghĩa của sự phân hoạch, cái đưa đến một lời giải thích đơn giản tại sao 3 tương đẳng của Ramanujan tồn tại ". Những tương đẳng này tạo ra một liên kết giữa 2 cách biểu diễn chữ số - bằng các tổng và bằng các tích.

5,7,11 là các số nguyên tố liên tiếp, và tiếp đến là số nguyên tố 13. Vì thế, người ta sẽ suy diễn ra ngay từ các dạng mẫu của Ramanujan, bắt đầu từ số phân hoạch thứ 7, mọi số phân hoạch thứ 13 đều chia hết cho 13. Nhưng không phải vậy, sau 3 tương đẳng Ramanjan, mẫu dạng đột nhiên bị đổ vỡ.

Trong nhiều thập kỷ, các nhà toán học cho rằng 3 mẫu dạng của Ramanujan chỉ là những mẫu dạng duy nhất. Năm 1968, A. Oliver L. Atkin thuộc trường đại học Illinois ở Chicago đã khám phá ra một vài dạng như vậy nhưng phức tạp hơn nhiều, ví dụ như bắt đầu với số phân hoạch thứ 237, mọi số phân hoạch thứ 17.303 đều chia hết cho 13.

Sau đó, năm 2000, Ono làm bàng hoàng gới toán học bằng việc chứng minh rằng các tương đẳng phân hoạch tồn tại với mọi số nguyên tố. Kết quả này sau đó được tổng quát hóa bởi Ono và Scott Ahlgren, nay thuộc trường đại học Illinois ở Urbana-Champaign, với mọi bậc của số nguyên tố. Vì thế,không chỉ có các tương đẳng của 5, mà còn là của $5^2, 5^3$ và cứ thế...

Mặc dầu Ramanujan đã chứng minh được rằng mỗi phần tử của một tập hợp xác định của các số phân hoạch chia hết cho 5, nhưng chứng minh của ông đã không đưa ra một cách để chia số thành 5 nhóm bằng nhau, hay thành các nhóm của các số, tất cả đều chia hết cho 5. Trong toán học, mỗi sự bẻ gẫy hiển nhiên được gọi là một cách chứng minh tổ hợp (combinatorial proof). Công việc của Ramanujan và sau đó là của Ono là cách chứng minh trừu tượng hơn về sự chia hết.

Nay, Mahlburg đã đưa ra một cách giải thích tổ hợp cho khả năng chia hết ngoài sức tưởng tượng của chúng. Công việc của anh đã hoàn thành một chuỗi các ý tuởng, những thứ bắt nguồn từ 6 thập kỷ trước bởi nhà vật lý Freeman Dyson thuộc viên nghiên cứu nâng cao ở Princeton, N.J

Công việc của Mahlburg" cuối cùng đã giải thích một cách bản chất về những tương đẳng này và tại sao chúng tồn tại ", Ono phát biểu.

[Lim]

Rõi theo hàng
Dyson để ý đến 3 tương đẳng phân hoạch của Ramanujan năm 1941 khi ông đang ở trường đại học Cambridge, Anh. Ông đã nhận ra được một con đường để hình dung được các tính chất chia hết của hai tương đẳng ban đầu của Ramanujan.
Dyson định nghĩa hàng (rank) của một phân hoạch là thành phần lớn nhất của nó trừ đi số lượng thành phần trong phân hoạch. Ví dụ như lấy các phân hoạch của 4, một trong 5 phân hoạch là 3 + 1. Hàng của nó sẽ là 3-2=1. Hàng sẽ đưa ra một hướng để tách tất cả các phân hoạch của một số thành các nhóm, giống như một đám người có thể chia ra thành các nhóm dựa theo chiều cao.
Với nhóm các phân hoạch của 4, các nhà toán học chia theo hàng 5, và phần dư chính là số nhóm. Họ sử dụng modular, hay đồng hồ, số học, để thay thế mỗi số âm với số dương mà có cùng một vị trí với nó trên mặt đồng hồ, trong trường hợp này là 5 số. Nên, trước khi được chia làm 5, -1 được thay bằng 4, và -3 được thay bằng 2.


Sau khi quan sát rất nhiều ví dụ, Dyson đưa đến một giả thuyết - đã được chứng minh vào năm 1950 bởi Atkin và Peter Swinnerton-Dyer thuộc Cambridge rằng các tương đẳng Ramanujan với 5 và 7, hàng (rank) chia các phân hoạch thành 5 và 7 nhóm có cùng kích thước, tương ứng với nhau. Nói cách khác, các nhóm tạo ra bởi hàng giải thích cụ thể việc tại sao các số phân hoạch lại chia hết cho 5 và 7.


Thật lạ, hàng này lại không hoạt đồng để chứng minh cho tương đẳng Ramanujan với 11. Nó có thể sử dùng để chia các phân hoạch thành 11 nhóm, nhưng các nhóm này không có cùng một kích thước. Dyson cho rằng còn tồn tại một số cách tính toán của các phân hoạch, ở đó nó sẽ hoạt động với 11. Ông đã gọi giả thuyết tính toán của mình là “the crank “.

Nhiều thập kỷ trôi qua, crank của Dyson vẫn chỉ là cái tên. Sau đó, năm 1976, George Andrew, một nhà số học thuộc đại học bang Pennsylvania ở State College, đã khám phá ra một điều ngoài sức mong đợi. Tại trường Cambridge, Anh, trong một hộp đựng giấy của G.M.Watson, một chuyên gia giám định của Ramanujan, Andrew thu được một tập giấy viết tay dầy 138 trang của Ramanujan, ở đó chứa hơn 600 công thức toán học. Háo hức mở từng trang giấy, Andrew đã nhận ra được ông đang cầm trên tây cuốn vở viết bằng tay, ghi lại những ý tưởng toán học cuối cùng trong những tháng cuối cùng của Ramanujan, cách đây hơn một nửa thế kỷ.

Andrews ngay sau đó giới thiệu nó tới học trò của ông là Frank Garvan. Gravan, nay làm việc tại trường đại học Florida ở Gainesville, phát hiện thấy một trong những công thức của Ramanujan về phân hoạch chứa đựng các thành phần phát triển từ định nghĩa hàng của Dyson và chứng mình được rằng, nó hoạt động với hàng 5 và hàng 7. Andrews và Garvan cùng tìm ra được cách chỉnh sửa các công thức trong cuốn vở ghi đó để tạo ra các crank.

Không có sự dẫn đường nào cả, Ramanujan đã tự nhận ra rằng các phương trình của ông có thể sẽ được sử dụng với mục đích lớn hơn.
Crank của Andrews và Garvan được miêu tả phức tạp hơn so với rank, trả lời cho số của các số 1 trong một phân hoạch cho trước. Bởi vì mỗi phân hoạch của một số có thể chuyển sang một phân hoạch của số tiếp theo bằng việc công thêm 1, tính số của các số 1 trong một phân hoạch sẽ tìm sẽ được nguồn gốc của số đó.
Năm 1988, Andrews và Garvan chỉ ra rằng crank có thể sử dụng đễ dẫn tới các chứng minh tổ hợp, giống như đối với rank, nhưng lúc này, nó được áp dụng với cả 3 tương đẳng của Ramanujan.

Kho tàng bí mật
Kho tàng quý giá trong cuốn vở của Ramanujan vẫn chưa được khai quật hết. Những năm cuối thập niên 90, Bruce Berndt, một nhà số học thuộc trường đại học Illinois ở Urbana-Champaign, nhờ Ono giúp ông sửa để công bố một chương của cuốn vở về các phân hoạch. Trong khi nhìn vào bản viết tay, Ono điểm thấy một vài biểu thức mà ông đã từng nghiên cứu trong một vấn đề khác, không liên hệ gì tới sự phân hoạch. Ono nhận thấy rằng, ông có thể sử dụng những kết quả chứng mình trước đó của mình, để chứng minh các tương đẳng phân hoạch tồn tại với mọi số nguyên tố bắt đầu từ 5.
“Tôi đã bị sốc “, Ono miêu tả lại.
Các dạng mẫu tương đẳng của Ono liên quan tới việc sử lý các số rất lớn. Ví dụ như, một trong những dạng mấu bắt đầu với số phân hoạch thứ 111.247, ơ đó nó chia hết cho 13. Để có được số phân hoạch tiếp thêo chia hết cho 13, chỉ cần cộng thêm 157.525.693.
Nó không phải là điều ngạc nhiên khi ̀ Ramanujan đã bỏ lỡ những tương đẳng thuần nhất như vậy, vì công việc của Ono rất nặng nề, những công cụ lý thuyết số ở đó chưa được biết đến ở thời của Ramanujan., học trò Mahlburg của Ono nói.
“3 tương đẳng ban đầu quá đơn giản, nên Ramanujan có thể quan sát chúng bằng mắt thương, trong khi với các tương đẳng của Ono, những số trong đó rất lớn, Ono phải cần đến một cái kính thiên văn để quan sát chúng, để đọc chúng được ". Mahlburg nói tiếp.
Như với chứng minh của Ramanujan về 3 tương đẳng đầu tiên, chứng minh của Ono trừu tượng hơn, và mở ra một mầm sáng cho việc giải thích tại sao các số phân hoạch lại có những tính chất chia hết như vậy. Liệu crank có thể được sử dụng để dẫn tới một lời giải thích cụ thể cho sự phát triển đột ngột toàn cầu của các tương đẳng phân hoạch hay không ?
Ono cho rằng câu trả lời sẽ là Có, nhưng ông ấy đã không nhìn thấy hướng để có thể chứng minh được. Và Mahlburg đã nói với Ono, anh ấy muốn giải quyết câu hỏi này.
“Tôi đã cảnh báo cậu ấy rằng cần phải có sức lực phi thường của thần Éc-cun ( Herculean) để giải quyết vấn đề này, và cũng không có đảm bảo cho việc này sẽ đi tới thành công, nhưng cậu ấy đã không làm nản lòng tôi bởi vì cậu ấy đã từng viết những bài báo ngang tầm với một nghiên cứu sinh PhD. “Ono nói. “Anh ấy đã lựa chọn việc hoặc tốt nghiệp sớm, hoặc va vào cây cổ thụ. Anh ấy đã chọn cái thứ hai.

Mặc dầu Ono cảnh báo, Mahlburg vẫn có một chút ý niệm trong đầu về việc anh ấy đang làm - điều này là một dấu hiệu tốt. “Nếu khi bắt đầu, tôi đã từng biết tất cả những khó́ khăn và kết cục chết chóc của vấn đề mà tối sẽ phải chắp vá nó, nó có thể đã làm tôi lo sợ “. Anh ấy nói “May mắn thay, qua mỗi bước, có một chút hy vọng nho nhỏ mớ ra để tôi có thể bước tiếp, và không cần cho khi chạm được đích̀, tôi mới nhận ra được khoảng cách xa so với đích tiếp theo là nhường nào ".
Sau gần một năm rưỡi, Mahlburg đã thành công trong việc sử dụng crank để đi đến một lời giải thích cụ thể cho những tương đẳng trong các số phân hoạch.
“Đây là một công việc thật suất sắc “, Andrews nói.
Ngạc nhiên thay, trong nghiên cứu của Mahlburg, crank này hoạt động khá khác so với 3 tương đẳng ban đầu của Ramanujan. Với các tương đẳng Ramanujan, Andrews và Garvan đã chứng minh được tính chia hết bằng việc chỉ ra crank chia các phân hoạch thành 5,7 hay 11 nhóm kích thước bằng nhau. Nhưng với những tương đẳng có chứa những số nguyên tố lớn, các nhóm đã tạo như bởi crank lại không có chung kích thước. Thay vào đó, mỗi nhóm riêng biệt đều chia hết cho một số nguyên tố tương ứng.
“Cơ chế hoạt động của crank ́ hoàn toàn ngoài sức tưởng tượng ", Dyson phát biểu “Nó độc lập với tính chất của crank mà tôi đã từng đặt giả thuyết ".
Hướng tiếp cận của Mahlburg tương đồng với việc nên lựa chọn một bữa dạ tiệc với số người tham dự chẵn hoặc lẻ. Thay vì đếm tất cả những người tham dự, một phương pháp nhanh để xem mọi người đều có một người bạn hay không - đó là tạo ra các nhóm chia hết cho 2.
Trong công việc của Mahlburg, các số phân hoạch đóng vai trò của những người tham dự, và crank chia chúng không thành các căp̣ nhưng thành các nhóm của cùng một kích thước chia hết cho số nguyên tố lần câu hỏi. Tổng số của phân hoạch do vậy cũng chia hết cho số nguyên tố đó.
Công việc của Mahlburg đã làm “như là viết chương cuối cùng trong tập truyện tương đẳng Ramanujan vậy", Ono phát biểu.
“Mỗi bước trong câu chuyện là một công việc của nghệ thuật ", Dyson nói, “một câu chuyện với một chuỗi những tình tiết hiếm thấy, một kịch bản được tạo dựng từ vô không, nhưng bởi các chữ số và của trí tưởng tượng "
----------------------------
References:
Mahlburg, K. In press. The Andrews-Garvan-Dyson crank and proofs of partition congruences.
Further Readings:
[1]2005. Mathematician untangles legendary problem. University of Wisconsin, Madison news release. March 18. Available at http://www.news.wisc...ases/10833.html.
[2]Peterson, I. 2000. The power of partitions. Science News 157(June 17):396-397. Available at http://www.sciencene...00617/bob10.asp.
[3]Ono, K. 2000. Distribution of the partition function modulo m. Annals of Mathematics 151(January):293-307. Available at http://www.arxiv.org...008/0008140.pdf.