Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng: $\sum\frac{1}{\sqrt{m_a}}\ge\sqrt{\dfrac{6}{R}}$

psw

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
anh_offline

anh_offline

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết

Cho tam giác $\triangle ABC$, các trung tuyến $ m_{a,b,c},\;R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Chứng minh rằng:
$$\dfrac{1}{\sqrt{m_a}} + \dfrac{1}{\sqrt{m_b}} + \dfrac{1}{\sqrt{m_c}} \ge \sqrt{\dfrac{6}{R}}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 30-10-2013 - 11:33
Ngược dấu!


#2
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Bài này đề sai rồi !

Thử xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, có $AB=6;AC=8;BC=10$ (đơn vị độ dài)

Khi đó $m_{a}=5;m_{b}=\sqrt{52};m_{c}=\sqrt{73};R=5$ (đơn vị độ dài)

Và $\frac{1}{\sqrt{m_{a}}}+\frac{1}{\sqrt{m_{b}}}+\frac{1}{\sqrt{m_{c}}}=\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt[4]{52}}+\frac{1}{\sqrt[4]{73}}\approx 1,1617174$

Còn $\sqrt{\frac{6}{R}}=\sqrt{\frac{6}{5}}\approx 1,0954451$


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Bài này đề sai rồi !

Thử xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, có $AB=6;AC=8;BC=10$ (đơn vị độ dài)

Khi đó $m_{a}=5;m_{b}=\sqrt{52};m_{c}=\sqrt{73};R=5$ (đơn vị độ dài)

Và $\frac{1}{\sqrt{m_{a}}}+\frac{1}{\sqrt{m_{b}}}+\frac{1}{\sqrt{m_{c}}}=\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt[4]{52}}+\frac{1}{\sqrt[4]{73}}\approx 1,1617174$

Còn $\sqrt{\frac{6}{R}}=\sqrt{\frac{6}{5}}\approx 1,0954451$

 

Có thể tác giả đã nhầm chiều của bất đẳng thức này. Đây là một bất đẳng thức khá hay và khó!

Mời các bạn tiếp tục tham gia (với chiều $\ge$ nhé!)



#4
maitienluat

maitienluat

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 182 Bài viết

 Bổ đề: $m_a+m_b+m_c \leq  \frac {9R} {2}$

C/minh:

  Sử dụng kết quả quen thuộc $\sin ^2 A+ \sin ^2 B+ \sin ^2 C  \leq \frac {9} {4}$, ta có

$$(m_a+m_b+m_c)^2 \leq 3(m_a^2+m_b^2+m_c^2) = \frac {9} {4} (a^2+b^2+c^2) = 9R^2(\sin ^2 A+ \sin ^2 B + \sin ^2 C ) \leq \frac {81} {4} R^2$$

 $\Rightarrow$ đpcm.

Trở lại bài toán. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và bổ đề trên, ta được

$$\sum \frac {1} {\sqrt{m_a}} \geq \frac {9} {\sum \sqrt {m_a}} \geq \frac {9} {\sqrt {3(\sum m_a)}} \geq \frac {9} {\sqrt {3. \frac {9R} {2}}} = \sqrt {\frac {6} {R}}$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác $ABC$ đều.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 30-10-2013 - 20:43






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: psw

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh