Dự định của mình là sẽ post 4 bài giảng lớn của các thầy mà mình đc học (có chọn lọc) và một số bài tập. Mong mọi ngưởi cho ý kiến
Lưu ý Trong topic này ta chỉ xét các số trên tập Z vì vậy nếu hok nói chi thêm thì các số đó là số nguyên
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
BÀI 1: ĐỒNG DƯ THỨC
1.1 Định nghĩa : cho số nguyên m>1 và các số nguyên a,b. Nếu khi chia a, b cho m ta đc cùng một số dư thì ta nói a đồng dư với b theo modulo m
$=> a \equiv b \Leftrightarrow a=mp+r; b=mq+r ( r< m) $
khi đó ta kí hiệu $a \equiv b \pmod{m}$
1.2 Định lí: Các mệnh đề sau là tương đương
i, $ a \equiv b$
ii, $m|(a-b)$
iii, $\exists t \in \mathbb{Z} : a=b +mt$
Ba mệnh đề trên ta dễ dàng cm đc bằng định nghĩa.
1.3 Tính Chất. Hệ quả
1. phản xạ: $a \equiv a \pmod{m}$
đối xứng: $a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow b \equiv a \pmod{m}$
bắc cầu: $a \equiv b(modm); b \equiv c (modm) => a \equiv c (modm)$
2. Ta có thể cộng (trừ) từng vế nhiều đ?#8220;ng dư thức của cùng một modulo m với nhau: $a_{k} \equiv b_{k} (modm) k=1,2,..,n; \varepsilon_{k} \in {1, -1} => \sum\limits_{k=1}^{n} \varepsilon_{k} a_{k} \equiv \sum\limits_{k=1}^{n} \varepsilon_{k} b_{k} (modm)$
3. Có thể nhân từng vế đông dư thức của cùng một modulo m : $a_{k} \equiv b_{k} (modm) k=1,2,..,n => \prod\limits_{k=1}^{n}a_{k} \equiv \prod\limits_{k=1}^{n} b_{k} (modm)$
*hệ quả:
a, $a \equiv b (modm) \Leftrightarrow a \pm c \equiv b \pm c (modm)$
$b, a \equiv b+c (modm) \Leftrightarrow a-b \equiv c (modm)$
$c, a \equiv b (modm) => ac \equiv bc (modm)$
điều ngược lại chỉ đúng khi (m,c)=1
d, $a \equiv b (modm) \Leftrightarrow a \equiv b+mp (modm)$
$e, a \equiv b(modm) => a^{n} \equiv b^{n} (modm)$
4. Nếu d\a, d\b (d,m)=1 khi đó $a \equiv b(modm) \Leftrightarrow \dfrac{a}{d} \equiv \dfrac{b}{d} (modm)$
5. Nếu d\ (a,b,m) khi đó $a \equiv b(modm) \Leftrightarrow \dfrac{a}{d} \equiv \dfrac{b}{d} (mod \dfrac{m}{d})$
6. $a \equiv b( mod m_{k} ) k=1,2,..,n => a \equiv b(mod [m_{1}, m_{2},..m_{n}])$ ở đây $[m_{1},...m_{n}]$ là bội chung nhỏ nhất của $m_{1}, m_{2},..m_{n}$. Đây là tc khá quan trọng và có ứng dụng khá lớn.
7. nếu $a \equiv b (modm)$ thì tập hợp ước chung của a và m (X) bằng tập ước chung của b và m (Y)
CM : cm $X \subset Y$ và $Y \subset X$
giả sử $x \in X$ khi đó a,m chia hết cho x mà a-b chia hết cho m => a-b chia hết cho x, do a chia hết cho x => b chia hết cho x => x là ước chung của b và m => $x \in Y => X \subset Y$
tương tự ta sẽ cm đc $Y \subset X => X=Y$
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Các tính chất và hệ quả đc cm khá đơn giản bằng định nghĩa vì vậy mọi người có thể tự cm ( nếu hok cm đc cái nào có thể mạnh dạn hỏi mình sẽ giải đáp cho)
TO BE CONTINEU.......(mỏi tay rùi)
Edited by Phạm Quang Toàn, 08-09-2011 - 13:08.