Chủ đề này có 44 trả lời

[Toanhocthatthuvi]

Các anh chị ơi năm nay em mới lên lớp 8 thôi! Em thấy đồng dư là một chuyên đề rất hay  nhưng với em hơi phức tạp 
Các anh chị chứng minh giùm em định lí sau:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì (p - 1)! đồng dư với -1 (mod p)
Em cảm ơn! 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toanhocthatthuvi: 23-06-2013 - 23:37

[ngoctruong236]

Hình như ghi sai đề rồi!

bai nay dung chia cho 13 va 7 moi ca dg hang dang thuc a^n-b^n

[phatthemkem]

Cho $x\in \mathbb{N}$, tìm hai chữ số tận cùng của

$$x^4+(x+1)^4+...+(x+99)^4$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 07-07-2013 - 09:20

[phatthemkem]

7)n là số nguyên dương lẻ .CM:$ A = 46^n + 296.13^n \vdots 1947 $ (Hungari-1947)

Vì $n$ lẻ nên $n=2k+1$

Ta có $A = 46^n + 296.13^n=46.2116^k+3848.169^k=46(2116^k-169^k)+3894.169^k=46.1947.B+2.1947.169^k\vdots 1947$

Suy ra $A\vdots 1947\forall x$ lẻ

[Ngo tau xi 8a3]

Xin góp vui
Định lí Ferma nhỏ:
Định lí ferma nhỏ khẳng định rằng: nếu p là một số nguyên tố, thì với số nguyên a bất kỳ , $a^{p}$ �ồ a sẽ chia hết cho p. Nghĩa là:
$a^{p} \equiv a (mod p) $
Một cách phát biểu khác của định lý như sau: nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên nguyên tố cùng nhau với p, thì $a^{p-1}$ - 1 sẽ chia hết cho p. Bằng kíhiệu đ�ồng dư ta có:
$a^{p-1} \equiv 1 (mod p)$ << Cái này hay dùng

dạ cái này ai học đồng dư cũng P? biết r ạ

[Ngo tau xi 8a3]

Các anh chị ơi năm nay em mới lên lớp 8 thôi! Em thấy đồng dư là một chuyên đề rất hay  nhưng với em hơi phức tạp 
Các anh chị chứng minh giùm em định lí sau:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì (p - 1)! đồng dư với -1 (mod p)
Em cảm ơn! 

bằng tuổi mình à. hk đội tuyển toán thỳ cô dạy

[Toanhocthatthuvi]

Vì $n$ lẻ nên $n=2k+1$

Ta có $A = 46^n + 296.13^n=46.2116^k+3848.169^k=46(2116^k-169^k)+3894.169^k=46.1947.B+2.1947.169^k\vdots 1947$

Suy ra $A\vdots 1947\forall x$ lẻ

Mình thì giải như thế này:

Ta có 1947 = 3.11.59

• 46ⁿ + 296.13ⁿ $\equiv 1^{n}+(-1).1^{n}(mod 3)$ $\equiv 0 (mod 3)$
• 46ⁿ + 296.13ⁿ $\equiv 2^{n}+(-1).2^{n}(mod 11)$ $\equiv 0 (mod 11)$

• 46ⁿ + 296.13ⁿ $\equiv -13^{n}+1.13^{n}$ $\equiv 0 (mod 59)$ (do n lẻ nên 46ⁿ $\equiv (-13)^{n}$ $\equiv -13^{n}$ (mod 59) )

   

  Vậy 46ⁿ + 296.13ⁿ chia hết cho 3.11.59 = 1947 (đpcm)
  Mình làm có tắt quá không nhỉ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toanhocthatthuvi: 14-09-2013 - 23:59

[Toanhocthatthuvi]

Mình góp vui 1 bài toán đồng dư, theo mình thì bài này khá hay   
Tìm các số nguyên tố p, q sao cho (p - q)³ = p + q

[Phuong Thu Quoc]

Áp dụng tính chất

_ $a^2 \equiv 0,1 \pmod{3}$.
_ $a^2 \equiv 0,1 \pmod{4}$.

$xyz$ còn chia hết cho 48?

[thinhrost1]

Pic này hay nè mọi người cho thêm vài bài đi

[Phuong Thu Quoc]

Các anh chị ơi năm nay em mới lên lớp 8 thôi! Em thấy đồng dư là một chuyên đề rất hay  nhưng với em hơi phức tạp 
Các anh chị chứng minh giùm em định lí sau:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì (p - 1)! đồng dư với -1 (mod p)
Em cảm ơn! 

Định lí wilson đây mà

Phát biểu đúng là : " $p$ là số nguyên tố $\Leftrightarrow \left ( p-1 \right )!+1\equiv 0 \left ( mod p \right )$"

Phần đảo thì đơn giản, ta sẽ chứng minh phần thuận 

Xét p nguyên tố

Với $p=2$ thì hiển nhiên 1!+1 chia hết cho 2

       $p=3 thì 2!+1$ chia hết cho 3

Nếu $p> 3$

Xét tập $A=\left \{ 2;3;...;p-2 \right \}$

Với mỗi k thuộc A thì tồn tại duy nhất k' (0<k'<p) sao cho $kk'\equiv 1\left ( modp \right )$

Thật vậy do $\left \{ 0;1;...;p-1 \right \}$ là HDĐ (mod p) nên $\left \{ k0;k1;...;k(p-1 )\right \}$ cũng là HDĐ (mod p) nên tồn tại duy nhất 1 phần tử (dạng kk') sao cho $kk'\equiv 1(modp)$

Để chứng minh k' thuộc A ta chứng minh $k'\neq 1 và k'\neq p-1$

Nếu k'=1 thì k =1 (mod p) vô lí vì k thuộc A

Nếu k'=p-1 thì k =-1 (mod p) vô lí vì k thuộc A

Nếu k=k' thì $k^{2}\equiv 1\left ( modp \right )\Rightarrow \left ( k-1 \right )\left ( k+1 \right )\equiv 1\left ( modp \right )\Rightarrow k=1 hoặc k=p-1 vô lí vì k thuộc A$

Từ các điều trên ta suy ra tập A được chia thành $\frac{p-3}{2}$ cặp (k;k') với kk'=1 ( mod p)

Hay $2.3.4...\left ( p-3 \right )\left ( p-2 \right )\equiv 1\left ( modp \right )\Rightarrow \left ( p-1 \right )!\equiv p-1\left ( modp \right )\Rightarrow \left ( p-1 \right )!+1\equiv p\equiv 0(modp)$

Vậy (p-1)!+1 chia hết cho p (đpcm)

[Van Chung]

Mình có bài này chắc là sử dụng fermat nhỏ nhưng làm mà ko ra à. Mọi người chỉ mình nhé:

Tìm dư trong phép chia a cho b biết rằng:

a=1³+2³+3³+...+99³

^{b=1+2+3+...+99}

^{Cách làm của mình này:}

$1^{3}\equiv 1(mod 3); 2^{3}\equiv 2(mod 3); 3^{3}\equiv 3(mod 3); ....... 99^{3}\equiv99(mod 3); \Rightarrow 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+99^3\equiv1+2+3+..+99(mod 3)$

Đến đây thì mình xin chịu. Mà cách làm của mình chẳng biết có đúng ko nữa. ai biết làm chỉ mình nhé. Mình sắp thi rồi.

[skydragon0]

Hazz... bạn làm gần như là ra hết rồi mà

1+2+...+99=$\frac{(99+1).99}{2}=99.50\vdots 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi skydragon0: 13-12-2013 - 18:28

[KemNgon]

  Sao mà im ắng quá vậy?   Mọi người tiếp tục giải nhé

 Một bài mình đóng góp về fermat nhỏ. Cũng khó và mình chưa làm được 

   Giải phương trình sau:

   $x^{p} + y^{p} = p.[(p-1)!]^{p}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KemNgon: 24-02-2014 - 22:33

[doanhung280400]

có bài này e ko hiểu anh chị giúp đỡ, em cảm ơn
đề:cm nếu m là số nguyên dương thì bất kì số nguyên a nào cũng đồng dư với một và chỉ một số của dãy số 0,1,2,....,m-1 theo mod m
bài giải: ta có $a=mq+r ;0 \leq r<m \Rightarrow a-r=mq \Rightarrow aleq r_{2} <m $

và $ r_{1} \equiv r_{2}(mod m)* \Rightarrow r_{1}- r_{2}=pm $
Ta có $ 0 \leq r_{1}<m$ ;$ -m< -r_{2} \leq 0 $

$ \Rightarrow -m< r_{1}- r_{2}<m \R\equiv r(mod m)$
cần cm hai số dư bằng nhau trong phép chia cho m
giả sử $ 0 \leq r_{1} <m ; 0 \leq r_{2} <m $
và $ r_{1} \equiv r_{2}(mod m)* \Rightarrow r_{1}- r_{2}=pm $
Ta có $ 0 \leq r_{1}<m$ ;$ -m< -r_{2} \leq 0 $
$ \Rightarrow -m< r_{1}- r_{2}<m \Rightarrow r_{1}- r_{2}=0** \Rightarrow r_{1}= r_{2}$
cho em hỏi cái * này là ở đâu ra ạ và sao mình lại suy ra được cái **

leq r_{2} <m $
và $ r_{1} \equiv r_{2}(mod m)* \Rightarrow r_{1}- r_{2}=pm $
Ta có $ 0 \leq r_{1}<m$ ;$ -m< -r_{2} \leq 0 $
$ \Rightarrow -m< r_{1}- r_{2}<m \R

[Phung Quang Minh]

Mình có bài này chắc là sử dụng fermat nhỏ nhưng làm mà ko ra à. Mọi người chỉ mình nhé:
Tìm dư trong phép chia a cho b biết rằng:
a=1³+2³+3³+...+99^{3
b=1+2+3+...+99
Cách làm của mình này:}
$1^{3}\equiv 1(mod 3); 2^{3}\equiv 2(mod 3); 3^{3}\equiv 3(mod 3); ....... 99^{3}\equiv99(mod 3); \Rightarrow 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+99^3\equiv1+2+3+..+99(mod 3)$
Đến đây thì mình xin chịu. Mà cách làm của mình chẳng biết có đúng ko nữa. ai biết làm chỉ mình nhé. Mình sắp thi rồi.

-Bài cầu bạn chưa chặt ở chỗ đi tìm số dư của a cho b thì đi chứng minh cho a;b cùng chia hết cho 3 không ra được a chia hết cho b đâu. Ví dụ như 9 chia hết cho 3; 6 chia hết cho 3 nhưng 9 có chia hết cho 6 đâu bạn.

[phatthemkem]

Mình có bài này chắc là sử dụng fermat nhỏ nhưng làm mà ko ra à. Mọi người chỉ mình nhé:

Tìm dư trong phép chia a cho b biết rằng:

a=1³+2³+3³+...+99³

^{b=1+2+3+...+99}

^{Cách làm của mình này:}

$1^{3}\equiv 1(mod 3); 2^{3}\equiv 2(mod 3); 3^{3}\equiv 3(mod 3); ....... 99^{3}\equiv99(mod 3); \Rightarrow 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+99^3\equiv1+2+3+..+99(mod 3)$

Đến đây thì mình xin chịu. Mà cách làm của mình chẳng biết có đúng ko nữa. ai biết làm chỉ mình nhé. Mình sắp thi rồi.

Dùng cái này:

$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left ( 1+2+3+...+n \right )^2=\frac{n^2\left ( n+1 \right )^2}{4}$

Khi đó:

$1^3+2^3+3^3+...+99^3=\left ( 1+2+3+...+99 \right )^2\\ \Leftrightarrow a=b^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 12-12-2014 - 06:01

[Phung Quang Minh]

Dùng cái này:
$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left ( 1+2+3+...+n \right )^2=\frac{n^2\left ( n+1 \right )^2}{4}$
Khi đó:
$1^3+2^3+3^3+...+99^3=\left ( 1+2+3+...+9 \right )^2\\ \Leftrightarrow a=b^2$

-Bạn ơi, chỗ cuối sao lại là 9 được? Theo công thức của bạn thì phải là 99 chứ!

[Lehalinhthcshb]

Dùng cái này:
$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left ( 1+2+3+...+n \right )^2=\frac{n^2\left ( n+1 \right )^2}{4}$
Khi đó:
$1^3+2^3+3^3+...+99^3=\left ( 1+2+3+...+9 \right )^2\\ \Leftrightarrow a=b^2$

Bạn cho mình hỏi là dòng thứ 2 và thứ 4 có liên quan gì với nhau vây?

[KemNgon]

Bạn cho mình hỏi là dòng thứ 2 và thứ 4 có liên quan gì với nhau vây?

Mình đoán số cuối cùng là 99. Có thể bạn ấy gõ nhầm thôi mà. Nhưng dòng thứ hai chứng minh bằng quy nạp ạ?