Chủ đề này có 32 trả lời

[inhtoan]

Lời nói đầu:Dùng đồng dư ta có thể giải được nhiều bài toán về phương trình nghiệm nguyên hóc búa,các bạn sau khi đọc xong phần này thật kĩ thì sẽ có phương pháp giải mới tốt hơn để giải phương trình nghiệm nguyên .Mong được mọi người góp ý nếu còn sai sót.
:rose :rose :rose :rose
I.Các ví dụ
Ví dụ 1:CM phương trình sau không có nghiệm nguyên:
$ (x + 1)^2 + (x + 2)^2 + ... + (x + 2001)^2 = y^2 $

Giải:Đặt x=z-1001.Phương trình trở thành:
$ (z - 1000)^2 + ... + (z - 1)^2 + z^2 + (z + 1)^2 + ... + (z + 1000)^2 = y^2 $
Hay $ 2001z^2 + 2(1^2 + 2^2 + ... + 1000^2 ) = y^2 $
$ \begin{matrix} 2001z^2 + 2\dfrac{{1000.1001.2001}}{6} = y^2 \\ \Leftrightarrow 2001z^2 + 1000.1001.667 = y^2 \\ \end{matrix} $
$ VT \equiv 2(\bmod 3) $nên nó không thể là số chính phương

VD 2:Tìm các cặp số nguyên tố (p,q) thỏa mãn:
$ p^3 - q^5 = (p + q)^2 $

Giải:Phương trình chỉ có 1 nghiệm là (7,3).Thật vậy,đầu tiên ta giả sử p và q khác 3.Khi đó,$ p \equiv 1,2(\bmod \,3)\ $,và $q \equiv 1,2(\bmod \,3) $.Nếu $ q \equiv p(\bmod \,3) $ thì vế trái chia hết cho 3 ,mà vế phải lại không chia hết cho 3.
Nếu p=3 thì $ q^5 < 27 $,điều đó là không thể
Nếu q=3 ,ta được $ p^3 - 243 = (p + 3)^2 $ và p=7

VD 3ác định mọi số nguyên tố p thỏa mãn hệ pt sau có nghiệm nguyên x,y:
$ \left\{ \begin{matrix} p + 1 = 2x^2 \,\,\,\,(1) \\ p^2 + 1 = 2y^2 \,\,\,(2) \\ \end{matrix} \right. $
(Olympic Đức)
Giải:Số nguyên tố p phải tìm chỉ có thể là 7.Không mất tính tổng quát,giả sử x,y 0.Chú ý $ p + 1 = 2x^2 $ là số chẵn nên p 2 .Ngoài ra $ 2x^2 \equiv 1 \equiv 2y^2 (\bmod \,p) $ nên suy ra $ x \equiv \pm y(\bmod \,p) $.
Từ p lẻ và x<y<p,ta có x+y=p nên (2) $ p^2 + 1 = 2(p - x)^2 = 2p^2 - 4px + p + 1 $ p = 4x - 1
Vậy (1) $ 2x^2 = 4x $ x =0 hoặc x=2 thì p=-1 hoặc p=7
Tất nhiên,(-1)không phải số nguyên tố,nên p=7và (x,y)=(2,5) là nghiệm.
:leluoi:
II.Bài tập tự luyện

1)Chỉ ra rằng pt sau không giải được với x,y,z nguyên dương và z>1:
$ (x + 1)^2 + (x + 2)^2 + ... + (x + 99)^2 = y^z $
(Olympic Hungari)

2)CM phương trình sau không có nghiệm nguyên:
$ x^3 + y^4 = 7 $

3)Tìm các cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn pt sau:
$ 3^x - 2^y = 7 $

4)Cm phương trình sau không có nghiệm nguyên dương :
$ 4xy - x - y = z^2 $
( IMO shortlist)
15)Tìm các cặp nghiệm nguyên dương thỏa mãn pt:
$ a^{b^2 } = b^a $

p/s:Do thấy phần thặng dư bình phương cấp THCS chưa học đến nên mình bỏ qua.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 09-12-2009 - 21:58

[inhtoan]

Tiếp theo là một phương pháp khác cũng được dịch từ cuốn cuat Titu.Phần này chắc sẽ gần gũi với các bạn hơn.Chúc các bạn học tốt
Phương pháp phân tích
Phương pháp này được phát biểu như sau,ta viết phương trình $ f(x_1 ,x_2 ,...,x_n ) = 0 $ về dạng $ f_1 (x_1 ,x_2 ,...,x_n )f_2 (x_1 ,x_2 ,...,x_n )...f_k (x_1 ,x_2 ,...,x_n ) = a $ trong đó $ f_1 ,f_2 ,...f_k \in Z{\rm{[}}X_1 ,X_2 ,...X_n {\rm{]}}$ (nghĩa là các đa thức $ f_1 ,f_2 ,...f_k $ có hệ số là các số nguyên) và $ a \in Z $ .Cho biết phân tích ra thừa số nguyên tố của a,ta có được các cách phân tích thành k số nguyên $ a_1 ,a_2 ,...,a_k $.Với mỗi cách phân tích như thế ,ta được một hệ các phương trình :
$ \left\{ \begin{matrix} f_1 (x_1 ,x_2 ,...,x_n ) = a_1 \\ f_2 (x_1 ,x_2 ,...,x_n ) = a_2 \\ ... \\ f_k (x_1 ,x_2 ,...,x_n ) = a_k \\ \end{matrix} \right. $
Giải tất cả các hệ như thế ta được tập hợp nghiệm
Chúng ta sẽ tìm hiểu phương pháp này qua các ví dụ sau

VD 1.Tìm nghiệm nguyên của phương trình
$ (x^2 + 1)(y^2 + 1) + 2(x - y)(1 - xy) = 4(1 + xy) $

Giải: Viết phương trình trở về dạng $ x^2 y^2 - 2xy + 1 + x^2 + y^2 - 2xy + 2(x - y)(1 - xy) = 4 $
$ \begin{matrix} \Leftrightarrow (xy - 1)^2 + (x - y)^2 - 2(x - y)(xy - 1) = 4 \\ \Leftrightarrow {\rm{[}}xy - 1 - (x - y){\rm{]}}^2 = 4 \\ \Leftrightarrow (x + 1)(y - 1) = \pm 2 \\ \end{matrix} $
_ Nếu (x+1)(y-1)=2,ta được hệ các phương trình sau:
$\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{x }} + {\rm{ 1 }} = {\rm{ 2}} \\
{\rm{y }} - {\rm{ 1 }} = {\rm{ 1}} \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{x }} + {\rm{ 1 }} = - {\rm{ 2}} \\
{\rm{y }} - {\rm{ 1 }} = - {\rm{ 1}} \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{x }} + {\rm{ 1 }} = {\rm{ 1}} \\
{\rm{y }} - {\rm{ 1 }} = {\rm{ 2 }} \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{x }} + {\rm{ 1 }} = - {\rm{ 1}} \\
{\rm{y }} - {\rm{ 1 }} = {\rm{ - 2 }} \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right.$
Giải các hệ trên ta thu được nghiệm của pt là (1,2);(-3,0);(0,3);(-2,-1)
_Nếu (x+1)(y-1)=-2,ta nhận được hệ phương trình sau
$\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{x }} + {\rm{ 1 }} = {\rm{ 2}} \\
{\rm{y }} - {\rm{ 1 }} = {\rm{ - 1}} \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{x }} + {\rm{ 1 }} = - {\rm{ 2}} \\
{\rm{y }} - {\rm{ 1 }} = {\rm{1}} \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{x }} + {\rm{ 1 }} = {\rm{ 1}} \\
{\rm{y }} - {\rm{ 1 }} = {\rm{ - 2 }} \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{x }} + {\rm{ 1 }} = {\rm{ - 1}} \\
{\rm{y }} - {\rm{ 1 }} = {\rm{ 2 }} \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right.$
Và ta thu được các nghiệm là (1,0);(-3,2);(0,-1);(-2,3)
Vậy nghiệm nguyên của phương trình đã cho là (1,2);(-3,0);(0,3);(-2,-1);(1,0);(-3,2);(0,-1);(-2,3).

Ví dụ 2:Cho p và q là 2 số nguyên tố ,tìm nghiệm nguyên dương của pt sau:
$ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{pq}} $

Giải:
Phương trình đã cho tương đương với $ (x - pq)y - pq) = p^2 q^2 $
Vì ta cần tìm nghiệm nguyên dương của phương trình và p,q nguyên tố nên dẫn đến hệ phương trình sau
$\left[ \begin{array}{l}
\begin{array}{*{20}{c}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\rm{x}} - {\rm{pq}} = {\rm{1}}} \\
{y - pq = {p^2}{q^2}} \\
\end{array}} \right.} \\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\rm{x}} - {\rm{pq}} = {\rm{p}}} \\
{y - pq = p{q^2}} \\
\end{array}} \right.} \\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\rm{x}} - {\rm{pq}} = {\rm{q}}} \\
{y - pq = {p^2}q} \\
\end{array}} \right.} \\
\end{array} \\
\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{x }} - {\rm{ pq }} = {\rm{ }}{p^2} \\
y - pq = {q^2} \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{x }} - {\rm{ pq }} = {\rm{ qp}} \\
y - pq = qp \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{x }} - {\rm{ pq }} = {\rm{ }}{{\rm{p}}^2}{\rm{q}} \\
y - pq = q{\rm{ }} \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{x }} - {\rm{ pq }} = {\rm{ }}{{\rm{q}}^2} \\
y - pq = {p^2}{\rm{ }} \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{x }} - {\rm{ pq }} = {\rm{ }}{{\rm{p}}^2}{{\rm{q}}^2} \\
y - pq = 1 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right.$
Giải các hệ trên ta được nghiệm của pt đã cho là (1+pq,pq(1+pq)); (p(1+q),pq(1+q)0 ; (q(1+p),pq(1+p)) ; (p(p+q),q(p+q)) ; (2pq,2pq) ; (pq(1+q),p(1+q)) ; (pq(1+p),q(1+p)) ;(q(q+p),q(q+p)) ; (pq(1+pq),1+pq).

Chú ý: Phương trình $ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{n} $ trong đó $ n = p_1^{\alpha _1 } .,,,p_k^{\alpha _k } $có nghiệm nguyên dương là
$ (1 + 2\alpha _1 )...(1 + 2\alpha _k ) $
Thật vậy ,phương trình trên tương đương với
$ (x - n)(y - n) = n^2 $ và $ n^2 = p_1^{2\alpha _1 } .,,,p_k^{2\alpha _k } $có các ước nguyên dương là $ (1 + 2\alpha _1 )...(1 + 2\alpha _k ) $

Ví dụ 3:Xác định các cặp nghiệm nguyên không âm (x,y) thỏa mãn phương trình sau
$ (xy - 7)^2 = x^2 + y^2 $

Giải:
Phương trình đã cho tương đương với
$ \begin{matrix}(xy - 6)^2 + 13 = (x + y)^2 \\ \Leftrightarrow (xy - 6)^2 - (x + y)^2 = - 13 \\ \Leftrightarrow {\rm{[xy - 6 - x - y][}}xy - 6 + x + y) = - 13 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} xy - 6 - x - y = - 13 \\ xy - 6 + x + y = 1 \\ \end{matrix} \right. \\ \left\{ \begin{matrix} xy - 6 - x - y = - 1 \\ xy - 6 + x + y = 13 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}x + y = 7 \\ xy = 0 \\ \end{matrix} \right. \\ \left\{ \begin{matrix} x + y = 7 \\ xy = 6 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} $
Nghiệm của pt là(3,4);(4,3);(0,7);(7,0).

Ví dụ 4:Tìm cặp nghiệm nguyên (x,y) của pt sau: $ x^2 (y - 1) + y^2 (x - 1) = 1 $

Giải:
Đặt x=u+1,y=v+1,phương trình đã cho trở thành :
$ \begin{matrix} (u + 1)^2 v + (v + 1)^2 u = 1 \\ \Leftrightarrow uv(u + v) + 4uv + (u + v) = 1 \\ \Leftrightarrow uv(u + v + 4) + (u + v + 4) = 5 \\ \Leftrightarrow (uv + 1)(u + v + 4) = 5(1) \\ \end{matrix} $
Từ (1) ta có :
$ \left\{ \begin{matrix}u + v = 1 \\ uv = 0 \\ \end{matrix} \right.\,\,\,;\,\,\,\,\left\{ \begin{matrix} u + v = - 9 \\ uv = - 2 \\ \end{matrix} \right.\,\,\,\,;\,\,\,\,\left\{\begin{matrix} u + v = - 3 \\ uv = - 4 \\ \end{matrix} \right.\,\,\,;\,\,\left\{ \begin{matrix}lu + v = - 5 \\ uv = - 6 \\ \end{matrix} \right.\, $
Chỉ có hệ phương trình đầu và cuối có nghiệm là (0,1),(1,-6) và hoán vị dẫn đến (x,y)=(u+1,v+1) là (1,2),(2,-5)và hoán vị.

Ví dụ 5:Tìm bộ ba số nguyên (x,y,z) thỏa mãn :$ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = p $ trong đó p là số nguyên tố lớn hơn 3

Giải:
Phương trình đã cho tương đương với $ (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz) = p $ Từ x+y+z>1,ta có x+y+z=p và $ x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz = 1\,\,\,(1) $.Ta có: $ (1) \Leftrightarrow (x - y)^2 + (y - z)^2 + (x - z)^2 = 2 $.Không mất tính tổng quát ,chúng ta có thể giả sử $ x \ge y \ge z $.Nếu x>y>z,ta có:$ x - y \ge 1,y - z \ge 1,x - z \ge 2 \Rightarrow (x - y)^2 + (y - z)^2 + (x - z)^2 \ge 6 > 2 $ .Vì thế nên x=y=z+1 hay x-1=y=z.Số nguyên tố p chỉ ở dạng 3k+1,3k+2.Trong trường hợp 1 nghiệm của pt là $ (\dfrac{{p + 2}}{3},\dfrac{{p + 2}}{3},\dfrac{{p + 2}}{3}) $và các hoán vị .Ở trường hợp 2,nghiệm của pt là $ (\dfrac{{p + 1}}{3},\dfrac{{p + 1}}{3},\dfrac{{p - 2}}{3}) $

Bài tập tự rèn luyện
1)Cho p và q là 2 số nguyên tố.Tìm cặp nghiệm nguyên dương (x,y) thỏa mãn phương trình: $ \dfrac{p}{x} + \dfrac{q}{y} = 1 $
2)Tìm nghiệm nguyên dương của pt: $ x^3 - y^3 = xy + 61 $
3)Giải pt nghiệm nguyên sau trong đó x là số nguyên tố: $ x - y^4 = 4 $
4)Tìm các số nguyên a,b,c với 1<a<b<c thỏa mãn (a-1)(b-1)(c-1) là ước của abc-1.
5)Tìm các tam giác vuông với độ dài mỗi cạnh là số nguyên sao cho diện tích và chu vi của tam giác đó bằng nhau.
6)Giải hệ phương trình sau với x,y,z,u,v là các số nguyên
$ \left\{ \begin{matrix} x + y + z + u + v = xyuv + (x + y)(u + v) \\ xy + z + uv = xy(u + v) + uv(x + y) \\ \end{matrix} \right. $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 23-11-2011 - 19:28

[hung0503]

em có bài sau
cho hệ pt
x+my=2 và mx-2y=1
tìm số nguyên m để hệ pt có ngiệm duy nhất (x,y) là các số nguyên
thật sự ở trường em ko cho học nhiều về đồng dư nên em rất lúng túng mong anh chị giúp đỡ

[inhtoan]

Cho hệ pt :
$ \left\{ \begin{matrix}x + my = 2\,(1) \\ mx - 2y = 1\,(2) \\ \end{matrix} \right. $
Tìm số nguyên m để hệ pt có ngiệm duy nhất (x,y) là các số nguyên

Bài này cơ bản thôi,giải kĩ một chút ....:
Ta có:
$ (1) \Leftrightarrow m = \dfrac{{2 - x}}{y} $ (3) (trường hợp y=0 thì x=2 nhưng $ m = \dfrac{1}{2} $ không nguyên nên loại).
$ (2) \Leftrightarrow m = \dfrac{{2y + 1}}{x} $ (4) (trường hợp x=0 thì $ y = - \dfrac{1}{2} $ không nguyên nên loại).
Từ (3) và (4) ta có:
$ \begin{matrix} \dfrac{{2 - x}}{y} = \dfrac{{2y + 1}}{x} \\ \Leftrightarrow 2x - x^2 = 2y^2 + y \\ \Leftrightarrow x^2 - 2x + 2y^2 + y = 0\,\,(5) \\ \end{matrix} $
Coi pt (5) là pt với ẩn x,y là tham số.Để hệ pt có 1 nghiệm duy nhất thì pt (5) có 1 nghiệm x
$ \Delta ' = 1 - 2y^2 - y = 0 \Leftrightarrow y = - 1 $ .Khi đó $ x = \dfrac{{ - b'}}{a} = 1 $.
Thay x=1,y=-1 vào hệ pt ta tìm được m=-1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 30-03-2010 - 11:10

[hung0503]

dạ em rất cảm ơn anh, cách của anh rất dễ hiểu nhưng nếu em quy là
$ x= \dfrac{m+4}{ m^{2}+2 };y= \dfrac{2m-1}{m^{2}+2 }$
thì phải làm thế nào ạ? em rất cảm ơn

[inhtoan]

nhưng nếu em quy là $ x= \dfrac{m+4}{ m^{2}+2 };y= \dfrac{2m-1}{m^{2}+2 }$
thì phải làm thế nào ạ? em rất cảm ơn

Chưa hiểu câu hỏi.....Hung0503 nêu hướng giải tiếp theo đi.

[hung0503]

$ x= \dfrac{m+4}{ m^{2}+2 };y= \dfrac{2m-1}{m^{2}+2 }$ với mọi m
em làm dc tới đây, sau đó đọc bài này trong sách bảo là
$ m+4 \vdots m^{2}+2 $$ \Leftrightarrow m^{2}+2 \leq |m+4|$
tương tự $ m^{2}+2 \leq |2m-1|$
và chỉ cần xét điều kiện $ m^{2}+2 \leq |2m-1|$ **
xét trường hợp ta cũng dc m=-1
chỗ ** em ko hiểu sao vậy, em nghĩ rằng vẽ đồ thị ra thì sẽ thấy dc, anh chị nghĩ sao????

[khanhtm]

quyển này đây phải ko nhỉ (ko bít có trên forum chưa)

File gửi kèm

•  An_Introdution_to_Diophantine_Equations.djvu   891.55K   708 Số lần tải

[Chuong Nguyen Minh]

quyển này đây phải ko nhỉ (ko bít có trên forum chưa)

Làm sao mở đc file này

[Pirates]

Làm sao mở đc file này

Bạn vô đây down chương trình này về nhé: http://djvu.org/file...o3.1-noncom.exe
Rồi cài đặt là đọc được file kia...

[hi_ka_ru]

4)Cm phương trình sau không có nghiệm nguyên dương :
$ 4xy - x - y = z^2 $
( IMO shortlist)

Viết lại phương trình trên:
$(4x-1).(4y-1)=(2z)^2+1$
* Mọi số tự nhiên có dạng 4k+3 đều có ít nhất 1 ước nguyên tố dạng 4t+3.
* Mọi số có dạng $a^2+1$ không có ước nguyên tố dạng 4l+3.

=> Bài toán trên vô nghiệm.

[Nguyễn Thái Vũ]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x(xy-5x)= y(x-1)+x+1

[mybest]

Bạn vô đây down chương trình này về nhé: http://djvu.org/file...o3.1-noncom.exe
Rồi cài đặt là đọc được file kia...

Sao minh down file do ve roi ma xem khong duoc

[inhtoan]

Sao minh down file do ve roi ma xem khong duoc

Bạn vào đây để download chương trình windjview về đọc nhé.

[NguyThang khtn]

Mấy bài hay!
Bài 1:
Chứng minh rằng pt sau ko có nghiệm nguyên:
$3(x^5) - (x^3) + 6(x^2) - 18x = 2001$
Bài 2:
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
$\frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} + \frac{xz}{y} = 20$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 17-01-2012 - 08:55

[PTH_Thái Hà]

tui co vai bai kho :
bai 1:
chung minh rang pt sau ko co nghiem nguyen:
$3x^5 -x^3 + 6x^2 - 18x = 2001 $
bai2 :
tim nghiem nguyen duong cua pt:
$\dfrac{{xy}}{z} + \dfrac{{yz}}{x} + \dfrac{{xz}}{y} = 20 $

Bài 1:
ta có:
$ \left( {3{x^5} + 6{x^2} - 18x} \right) \vdots 3;2010 \vdots 3 \Rightarrow {x^3} \vdots 3 \Rightarrow {x^3} \vdots 9 \Rightarrow VT \vdots 9 $
mà $2010 {\mathinner{\mkern2mu\raise1pt\hbox{.}\mkern2mu \raise4pt\hbox{.}\mkern2mu\raise7pt\hbox{.}\mkern1mu}} 9$
=> vô lí

[NguyThang khtn]

Bài nay cũng tạm!
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$x^3 - x^2y + 3x - 2y = 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 17-01-2012 - 08:56

[PTH_Thái Hà]

bai nay kho hon ne!
tim nghiem nguyen cua phuong trinh:
$x^3 - x^2y + 3x - 2y = 3 $

Cũng bình thường, nháp 2 phút là ra
${x^3} - {x^2}y + 3x - 2y = 3 $

$ \Leftrightarrow {x^3} + 3x - 3 = y\left( {{x^2} + 2} \right) $

Vì $ {x^2} + 2 > 0\forall x \in R $

$ \Rightarrow y = \dfrac{{{x^3} + 3x - 3}}{{{x^2} + 2}} = \dfrac{{{x^3} + 2x + x - 3}}{{{x^2} + 2}} = x + \dfrac{{x - 3}}{{{x^2} + 2}} $

$ y \in Z \Leftrightarrow \left( {x + \dfrac{{x - 3}}{{{x^2} + 2}}} \right) \in Z $$\Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{{x^2} + 2}} \in Z \Rightarrow \dfrac{{{x^2} - 9}}{{{x^2} + 2}} \in Z \Leftrightarrow \dfrac{{ - 11}}{{{x^2} + 2}} \in Z \Leftrightarrow 11 \vdots \left( {{x^2} + 2} \right)$$ \Leftrightarrow 11 = {x^2} + 2 \Leftrightarrow x = \pm 3 $

thay vào tính có nghiệm thỏa mãn $ x=y=3 $

[Nguyễn Thái Vũ]

tất cả mấy bài đó đều trong quyển Dionphante Equation hết các bạn lấy tham khảo, ngay ở những phần đầu thôi.

[thedragonknight]

Cho $x^2+y^2=z^2.$
$x,y,z$ nguyên dương. chứng minh $xyz$ chia hết $60$.

cuốn Dionphante Equation ở đâu bán vậy anh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 23-10-2011 - 21:21