Chủ đề này có 32 trả lời

[Zaraki]

cuốn Dionphante Equation ở đâu bán vậy anh

Cuốn này chỉ có file thôi bạn ạ, chả ai bán đâu.

Cho $x^2+y^2=z^2.$
$x,y,z$ nguyên dương. chứng minh $xyz$ chia hết $60$.

Ta chứng minh $xyz$ chia hết cho $3,4,5$.
Chú ý: $a^2 \equiv 0,1 \pmod{3}$
$a^2 \equiv 0,1 \pmod{4}$
$a^2 \equiv 0,1,4 \pmod{5}$

[Silentwind Er]

tìm nghiệm nguyên dương :$y^2 = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 .$
giup mink nhe....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-01-2012 - 23:12

[Zaraki]

tìm nghiệm nguyên dương :$y^2 = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 .$
giup mink nhe....

Đã check tại $\to$ http://diendantoanho...showtopic=67433
Mong bạn viết hoa đầu dòng.

[khoatrla]

Giải phương trình nghiệm nguyên $x + x^2 + x^3 = 4y^2 + 4y$
Giúp mình với
Cảm ơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khoatrla: 09-12-2012 - 20:57

[Kwon Simonster]

Bài 1: Tìm các cạnh nguyên của tam giác vuông có số đo diện tích bằng số đo chu vi

Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của PT
xy=P(x+y) (P là số nguyên tố)

Mọi người giúp mình bài này với nhé, mình cảm ơn trước ạ

[Trang Luong]

Bài 1: Gọi a,b,c là 3 cạnh của tam giác :

Ta có : $\left\{\begin{matrix} 2(a+b+c)=ab & & \\ a^{2}+b^{2}=c^{2} & & \end{matrix}\right. \Rightarrow (a+b)^{2}=c^{2}+4(a+b+c)\Rightarrow (a+b-2)^{2}=(c+2)^{2}\Rightarrow a+b=c+4\Rightarrow ab=2(a+b+a+b-4)=4(a+b-2)\Rightarrow (a-4)(b-4)=8$

Tìm a,b,c

[Trang Luong]

Giải phương trình nghiệm nguyên $x + x^2 + x^3 = 4y^2 + 4y$
Giúp mình với
Cảm ơn

ta có $1+x+x^{2}+x^{3}=(2y+1)^{2}=(x+1)(x^{2}+1)$

mà $(x+1, x^{2}+1)=1$ $\Rightarrow x+1,x^{2}+1$ là số chính phương $\Rightarrow x=0,y=0$ 

[Trang Luong]

Tìm tất cả các cặp số nguyên $(m;n)$ thỏa mãn :$9m^{2}+3n=n^{2}+8$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 04-04-2013 - 20:15

[Kim Ngan Min]

Lời nói đầu:Dùng đồng dư ta có thể giải được nhiều bài toán về phương trình nghiệm nguyên hóc búa,các bạn sau khi đọc xong phần này thật kĩ thì sẽ có phương pháp giải mới tốt hơn để giải phương trình nghiệm nguyên .Mong được mọi người góp ý nếu còn sai sót.
:rose :rose :rose :rose
I.Các ví dụ
Ví dụ 1:CM phương trình sau không có nghiệm nguyên:
$ (x + 1)^2 + (x + 2)^2 + ... + (x + 2001)^2 = y^2 $

Giải:Đặt x=z-1001.Phương trình trở thành:
$ (z - 1000)^2 + ... + (z - 1)^2 + z^2 + (z + 1)^2 + ... + (z + 1000)^2 = y^2 $
Hay $ 2001z^2 + 2(1^2 + 2^2 + ... + 1000^2 ) = y^2 $
$ \begin{matrix} 2001z^2 + 2\dfrac{{1000.1001.2001}}{6} = y^2 \\ \Leftrightarrow 2001z^2 + 1000.1001.667 = y^2 \\ \end{matrix} $
$ VT \equiv 2(\bmod 3) $nên nó không thể là số chính phương

VD 2:Tìm các cặp số nguyên tố (p,q) thỏa mãn:
$ p^3 - q^5 = (p + q)^2 $

Giải:Phương trình chỉ có 1 nghiệm là (7,3).Thật vậy,đầu tiên ta giả sử p và q khác 3.Khi đó,$ p \equiv 1,2(\bmod \,3)\ $,và $q \equiv 1,2(\bmod \,3) $.Nếu $ q \equiv p(\bmod \,3) $ thì vế trái chia hết cho 3 ,mà vế phải lại không chia hết cho 3.
Nếu p=3 thì $ q^5 < 27 $,điều đó là không thể
Nếu q=3 ,ta được $ p^3 - 243 = (p + 3)^2 $ và p=7

VD 3ác định mọi số nguyên tố p thỏa mãn hệ pt sau có nghiệm nguyên x,y:
$ \left\{ \begin{matrix} p + 1 = 2x^2 \,\,\,\,(1) \\ p^2 + 1 = 2y^2 \,\,\,(2) \\ \end{matrix} \right. $
(Olympic Đức)
Giải:Số nguyên tố p phải tìm chỉ có thể là 7.Không mất tính tổng quát,giả sử x,y 0.Chú ý $ p + 1 = 2x^2 $ là số chẵn nên p 2 .Ngoài ra $ 2x^2 \equiv 1 \equiv 2y^2 (\bmod \,p) $ nên suy ra $ x \equiv \pm y(\bmod \,p) $.
Từ p lẻ và x<y<p,ta có x+y=p nên (2) $ p^2 + 1 = 2(p - x)^2 = 2p^2 - 4px + p + 1 $ p = 4x - 1
Vậy (1) $ 2x^2 = 4x $ x =0 hoặc x=2 thì p=-1 hoặc p=7
Tất nhiên,(-1)không phải số nguyên tố,nên p=7và (x,y)=(2,5) là nghiệm.
:leluoi:
II.Bài tập tự luyện

1)Chỉ ra rằng pt sau không giải được với x,y,z nguyên dương và z>1:
$ (x + 1)^2 + (x + 2)^2 + ... + (x + 99)^2 = y^z $
(Olympic Hungari)

2)CM phương trình sau không có nghiệm nguyên:
$ x^3 + y^4 = 7 $

3)Tìm các cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn pt sau:
$ 3^x - 2^y = 7 $

4)Cm phương trình sau không có nghiệm nguyên dương :
$ 4xy - x - y = z^2 $
( IMO shortlist)
15)Tìm các cặp nghiệm nguyên dương thỏa mãn pt:
$ a^{b^2 } = b^a $

p/s:Do thấy phần thặng dư bình phương cấp THCS chưa học đến nên mình bỏ qua.

Bạn có thể đưa phần nguyên tắc cực hạn lên không??? Phần đó mình không hiểu lắm!

[humugosour]

Bài 1: Tìm các cạnh nguyên của tam giác vuông có số đo diện tích bằng số đo chu vi

Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của PT
xy=P(x+y) (P là số nguyên tố)

Mọi người giúp mình bài này với nhé, mình cảm ơn trước ạ

 

bài 1:

3 cạnh tam giác vuông là a,b,c ( a max ) thuộc Z+

ta có S=pr = (\frac{a+b+c}{2})r = \frac{a+b+c}{2}.\frac{b+c-a}{2}

mặt khác S = C = a+b+c

suy ra b+c-a=4, hay b+c=a+4 hay b²+c²+2bc=a²+8a+16

theo pitago, b²+c²=a² nên bc=4a+8

ta có hệ bc=4a+8 và b+c=a+4

suy ra (b-4)(c-4) = 8, từ đây ra 5 với 12 hoặc 6 với 8

vậy có 2 tam giác thoả mãn đó là (5;12;13) và (6;8;10)

[humugosour]

Tìm tất cả các cặp số nguyên $(m;n)$ thỏa mãn :$9m^{2}+3n=n^{2}+8$

 

Giả sử tồn tại m và n thoả mãn nguyên

Có 9m²+3n=n²+8, suy ra n²+8\vdots 9, suy ra n²\equiv 1 mod 3

Đặt n có dạng 3k+1 hoặc 3k-1 ( với k nguyên )

Nếu 3k+1 thì 9m²+9k+3=9k²+9k+9

Trường hợp này vô lý vì VP\vdots 9, VT thì không chia hết cho 9, suy ra loại

Nếu 3k-1 thì ta có 9m²+9k-3=9k²-9k+9 tương tự bên trên loại nốt

Vậy điều giả sử sai, suy ra không có m, n thoả mãn

[Van Chung]

Cuốn này chỉ có file thôi bạn ạ, chả ai bán đâu.

Bạn có thể gửi cho mình xin link của file đó ko?

[uchihasatachi061]

VD 3ác định mọi số nguyên tố p thỏa mãn hệ pt sau có nghiệm nguyên x,y:
$ \left\{ \begin{matrix} p + 1 = 2x^2 \,\,\,\,(1) \\ p^2 + 1 = 2y^2 \,\,\,(2) \\ \end{matrix} \right. $
(Olympic Đức)
Giải:Số nguyên tố p phải tìm chỉ có thể là 7.Không mất tính tổng quát,giả sử x,y 0.Chú ý $ p + 1 = 2x^2 $ là số chẵn nên p 2 .Ngoài ra $ 2x^2 \equiv 1 \equiv 2y^2 (\bmod \,p) $ nên suy ra $ x \equiv \pm y(\bmod \,p) $.
Từ p lẻ và x<y<p,ta có x+y=p nên (2) $ p^2 + 1 = 2(p - x)^2 = 2p^2 - 4px + p + 1 $ p = 4x - 1
Vậy (1) $ 2x^2 = 4x $ x =0 hoặc x=2 thì p=-1 hoặc p=7
Tất nhiên,(-1)không phải số nguyên tố,nên p=7và (x,y)=(2,5) là nghiệm.
:leluoi:
 

Rất cảm ơn anh vì lập topic nay     nói thật đối với pt ng nguyên thì em mới chỉ bit vài cách giải. 

Nhân tiện cho em hỏi ~.~ ở vd3 ấy :>>  tại sao lại có x<y<p và cả $x+y=p$vậy anh??