Chủ đề này có 1205 trả lời

[tran2b7i0n3h]

Cho a,b,c>0 t/m $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

       Cm: $\frac{a}{a^{2}+2b+3}+\frac{b}{b^{2}+2c+3}+\frac{c}{c^{2}+2a+3}$$\leq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tran2b7i0n3h: 02-05-2016 - 07:53

[vutuannam]

cho x,y,z >0

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 2$

Tìm giá trị nhỏ nhất của

$A= 2016xy-yz-zx$

[cristianoronaldo]

cho x,y,z >0

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 2$

Tìm giá trị nhỏ nhất của

$A= 2016xy-yz-zx$

Ta có:

A=2016xy-yz-zx=2016xy-z(x+y)$\geq 2016xy-\frac{z^2+(x+y)^2}{2}=2015xy-1$

Mặt khác, ta có:

-xy$\leq \frac{x^2+y^2}{2}\leq \frac{x^2+y^2+z^2}{2}= 1$

=>xy$\geq -1$

=>A$\geq -2016$

[cristianoronaldo]

Cho a,b,c>0 t/m $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

       Cm: $\frac{a}{a^{2}+2b+3}+\frac{b}{b^{2}+2c+3}+\frac{c}{c^{2}+2a+3}$$\leq 2$

Bạn ơi, đề sai rồi ta phai cm VT$\leq \frac{1}{2}$

[vutuannam]

Ta có:

A=2016xy-yz-zx=2016xy-z(x+y)$\geq 2016xy-\frac{z^2+(x+y)^2}{2}=2015xy-1$

Mặt khác, ta có:

-xy$\leq \frac{x^2+y^2}{2}\leq \frac{x^2+y^2+z^2}{2}= 1$

=>xy$\geq -1$

=>A$\geq -2016$

dấu = xảy ra khi nào

[PlanBbyFESN]

cho x,y,z >0

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 2$

Tìm giá trị nhỏ nhất của

$A= 2016xy-yz-zx$

 

 

Ta có:

$P+1008.2\geq 1008(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2016ab-bc-ca=1008(a+b)^{2}-c(a+b)+1008c^{2}=1008\left [ (a+b)^{2}-2.\frac{c}{2016}.(a+b)+\frac{c^{2}}{2016^{2}} \right ]+1008-\frac{1}{4032}=1008(a+b-\frac{c}{2016})^{2}+(1008-\frac{1}{4032})c^{2}\geq 0$

$\Rightarrow P\geq -2016$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=1, b=-1, c=0$ hoặc $a=-1, b=1, c=0$

 

 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

 

Cho a,b,c>0 t/m $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

       Cm: $\frac{a}{a^{2}+2b+3}+\frac{b}{b^{2}+2c+3}+\frac{c}{c^{2}+2a+3}$$\leq 2$

 

 

AM-GM:

 

$a^{2}+1\geq 2a\Rightarrow \frac{a}{a^2+2b+3}\leq \frac{a}{2(a+b+1)}\Rightarrow \sum \frac{a}{a^{2}+2b+3}\leq \sum \frac{a}{2(a+b+1)}$

 

BĐT cần chứng minh trở thành:

 

$\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\leq 1$

 

$\Leftrightarrow \frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}\geq 2$

 

Cauchy-Schwarz:

 

$\Leftrightarrow \frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}=\sum \frac{(b+1)^{2}}{(a+b+1)(b+1)}\geq \frac{(a+b+c+3)^{2}}{\sum (a+b+1)(b+1)}=2$

.....................................................................

 

[cristianoronaldo]

dấu = xảy ra khi nào

Dấu = xảy ra khi x=1, y=-1, z=0 hoặc x=-1, y=1, z=0

[cristianoronaldo]

Mình cùng góp ý một bài:

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1.Cmr:

$\sum \sqrt{a+b}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}.(1+\sum ab)$

[the unknown]

Mình cùng góp ý một bài:

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1.Cmr:

$\sum \sqrt{a+b}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}.(1+\sum ab)$

Bổ đề: Cho $x,y,z$ dương thỏa $x+y+z=3$, khi đó:$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq xy+yz+zx$

Chứng minh: Ta có $\sqrt{x}+\sqrt{x}+x^2\geq 3x$

Tương tự có: $\sqrt{y}+\sqrt{y}+y^2\geq 3y$

                     $\sqrt{z}+\sqrt{z}+z^2\geq 3z$

Nên $2\sum \sqrt{x}+\sum x^2\geq 3(x+y+z)=9=(x+y+z)^2$$\Rightarrow \sum \sqrt{x}\geq \sum xy$

Áp dụng ta có: $\sum \frac{3}{2}(a+b)= 3\Rightarrow \sqrt{\frac{3}{2}}\sum \sqrt{a+b}\geq \frac{9}{8}\sum (a+b)(b+c)$

Mà $\sum (a+b)(b+c)=(a+b+c)^2+ab+bc+ca=1+\sum ab$

Nên $\sum \sqrt{a+b}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}(1+\sum ab)$ $\Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the unknown: 03-05-2016 - 19:52

[cristianoronaldo]

Bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{a+c+1}\geq 1$.Cmr:

$a+b+c\geq ab+bc+ca$

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta đều có:

$\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ca}+\frac{c}{c^2+ab}$

Bài 3:Cho a,b,c là các số thực dương.Cmr:

$\sqrt{\sum a.\sum \frac{1}{a}}\geq 1+\sqrt{1+\sqrt{\sum a^2.\sum \frac{1}{a^2}}}$

Bài 4:Cho x,y,z là các số thực dương.Cmr:

$\sum \frac{1+yz+zx}{(1+x+y)^2}\geq 1$

                  _THE END_

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 03-05-2016 - 18:22

[the unknown]

Bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{a+c+1}\geq 1$.Cmr:

$a+b+c\geq ab+bc+ca$

 

Giả thiết tương đương: $\sum \frac{a+b}{a+b+1}\leq 2\Leftrightarrow 2\geq \sum \frac{(a+b)^2}{(a+b)^2+a+b}\geq \frac{4(a+b+c)^2}{2(a+b+c)+2\sum (a^2+bc)}$

$\Rightarrow a+b+c+(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)\geq (a+b+c)^2\Leftrightarrow a+b+c\geq ab+bc+ca$

[the unknown]

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a;b;c$ ta có:

             $\sum \frac{1}{a+b}\geq \sum \frac{a}{a^2+bc}$

 

Do tính đối xứng của $a,b,c$ nên ta giả sử $0\leq a\leq b\leq c$

Ta có $VT-VP=\sum \frac{(a-b)(a-c)}{a^2+bc}=\frac{(a-b)^2(a+b)(2c-a-b)}{(a^2+bc)(b^2+ac)}+\frac{(c-a)(c-b)}{c^2+ab}\geq 0$ nên ta có dpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the unknown: 03-05-2016 - 19:51

[the unknown]

Góp vui một câu  :

Cho $a;b;c$ là số đo ba cạnh của một tam giác có chu vi là $2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $a^2+b^2+c^2+2abc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the unknown: 03-05-2016 - 20:37

[tpdtthltvp]

 

Bài 4:Cho x,y,z là các số thực dương.Cmr:

$\sum \frac{1+yz+zx}{(1+x+y)^2}\geq 1$

                  _THE END_

Bài này có một lời giải bằng $Cauchy-schwarz$ rất đẹp:

$$\sum \frac{1+yz+zx}{(1+x+y)^2}=\sum \frac{[1+z(x+y)](1+\frac{x+y}{z})}{(1+x+y)^2(1+\frac{x+y}{z})}\geq \sum \frac{(1+x+y)^2}{(1+x+y)^2.\frac{x+y+z}{z}}=\sum \frac{z}{x+y+z}=1.$$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z=1$.

 

 

Góp vui một câu  :

Cho $a;b;c$ là số đo ba cạnh của một tam gác có chu vi là $2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $a^2+b^2+c^2+2abc$

Áp dụng BĐT $abc\geq (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$, ta có:

$$abc\geq (2-2a)(2-2b)(2-2c)=-8abc+8(ab+bc+ca)-8(a+b+c)+8\Rightarrow 2abc\geq \frac{16(ab+bc+ca)-16(a+b+c)+16}{9}=\frac{16}{9}(ab+bc+ca)-\frac{16}{9}$$

Do đó:

$$a^2+b^2+c^2+2abc\geq a^2+b^2+c^2+\frac{16}{9}(ab+bc+ca)-\frac{16}{9}=(a+b+c)^2-\frac{2(ab+bc+ca)}{9}-\frac{16}{9}\geq (a+b+c)^2-\frac{2(a+b+c)^2}{27}-\frac{16}{9}=\frac{52}{27}$$

[cristianoronaldo]

Bài 3:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$(\sum a)(\sum \frac{1}{a})= \sqrt{(\sum a^2+2\sum bc)(\sum \frac{1}{a^2}+2\sum \frac{1}{bc})}$

                          $\geq$$\sqrt{(\sum a^2)(\sum \frac{1}{a^2})}+2\sqrt{(\sum bc)(\sum \frac{1}{bc})}$

                          $= \sqrt{(\sum a^2)(\sum \frac{1}{a^2})}+2\sqrt{(\sum a)(\sum \frac{1}{a})}$

Như vậy ta có:

$[\sqrt{(\sum a)(\sum \frac{1}{a})}-1]^2\geq 1+\sqrt{(\sum a^2)(\sum \frac{1}{a^2})}$

Lấy căn bậc hai ta được KQ của bài toán.

Dấu ''='' xảy ra khi ....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 03-05-2016 - 22:40

[cristianoronaldo]

Dấu ''='' xảy ra khi $(\sum a^2)(\sum \frac{1}{bc})= (\sum \frac{1}{a^2})(\sum bc)$

hay tương đương với:

$(a^2-bc)(b^2-ca)(c^2-ab)= 0$

=>.....

[cristianoronaldo]

Tiếp bài nữa:

1, Cho a,b,c là các số thực dương.Cmr:

$\sum \frac{a^{3}}{a^{3}+b^{3}+abc}\geq 1$

2, Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta đều có:

$\sum \sqrt{\frac{a^2}{b^2+(c+a)^2}}\leq \frac{3}{\sqrt{5}}$

[uchihasatachi061]

$P=\dfrac{a^2}{a^{3}+8abc}+\dfrac{b^2}{b^{3}+8abc}+\dfrac{c^2}{c^{3}+8abc}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a^3+b^3+c^3+24abc}\ge \dfrac{1}{(a+b+c)^3}=1$

 bạn nói rõ dc kk mình hơi yếu dạng này nên k hiu >> bước 3 đó

[tran2b7i0n3h]

Bạn ơi, đề sai rồi ta phai cm VT$\leq \frac{1}{2}$

thế làm theo đề bạn mình xem với

[tran2b7i0n3h]

Tiếp bài nữa:

1, Cho a,b,c là các số thực dương.Cmr:

$\sum \frac{a^{3}}{a^{3}+b^{3}+abc}\geq 1$

 

Dễ cm $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)$

..................................................