Chủ đề này có 1205 trả lời

[nguyenquangtruonghktcute]

 Cho x,y,z là ba số thực không âm thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$M=\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}$

[hoangvunamtan123]

 

Bạn nào giải hộ mình bài này với

Tìm Min $\frac{a^{3}}{b(2c+a)}+\frac{b^{3}}{c(2a+b)}+\frac{c^{3}}{a(2b+c)}$ vói a+b+c=3

 

$\sum \frac{a^3}{b(2c+a)}+\frac{2c+a}{9}+\frac{b}{3}\geq \sum a\rightarrow \sum \frac{a^3}{b(2c+a)}\geq \frac{\sum a}{3}=1$

[AlizKathy]

Bài 1: Cho a,b > 0 ; a+b=2 
Tìm GTNN: Q = $2(a^2+b^2)-6(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+9(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})$

Bài 2: Cho các số dương x,y,z. Chứng minh BĐT: $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}>2$

Bài 3: Cho x,y $\epsilon$ R : $\sqrt{x-1}-y\sqrt{y} = \sqrt{y-1}-x\sqrt{x}$ 
Tìm GTNN S = $x^2+3xy-2y^2-8y+5$

Bài 4: Cho a,b,c > 0. CMR : 

$\frac{2ab}{3a+8b+6c}+\frac{3bc}{3b+6c+a}+\frac{3ca}{9c+4a+4b}\leq \frac{a+2b+3c}{9}$

Bài 5: Với x,y,z>0; xy+yz+zx=5 
Tìm GTNN: P= $\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6(x^2+5)} + \sqrt{6(y^2+5)} + \sqrt{z^2+5}}$

Bài 6: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng: 

$\sqrt{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)}\geq abc + \sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}$

Đẳng thức xảy ra khi nào? 

Bài 7: Cho a,b > 0; a+b = 1. Tìm GTNN 
T= $\frac{19}{ab}+\frac{6}{a^2+b^2}+2011(a^4+b^4)$

Mọi người giúp mình với nhé  Bài đỏ làm rồi nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AlizKathy: 17-09-2016 - 18:50

[dat9adst20152016]

Bài 5: Với x,y,z>0; xy+yz+zx=5

Tìm GTNN: P=$\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6(x^{2}+5)}+\sqrt{6(y^{2}+5)}+\sqrt{z^{2}+5}}$

Mọi người giúp mình với nhé

5.Bạn xem ở đây http://diendantoanho...qrt6y25sqrtz25/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dat9adst20152016: 17-09-2016 - 14:43

[Nguyenphuctang]

Bài 1: Cho a,b > 0 ; a+b=2 
Tìm GTNN: Q = $2(a^2+b^2)-6(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+9(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})$

Bài 2: Cho các số dương x,y,z. Chứng minh BĐT: $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}>2$

Bài 3: Cho x,y $\epsilon$ R : $\sqrt{x-1}-y\sqrt{y} = \sqrt{y-1}-x\sqrt{x}$ 
Tìm GTNN S = $x^2+3xy-2y^2-8y+5$

Bài 4: Cho a,b,c > 0. CMR : 

$\frac{2ab}{3a+8b+6c}+\frac{3bc}{3b+6c+a}+\frac{3ca}{9c+4a+4b}\leq \frac{a+2b+3c}{9}$

Bài 5: Với x,y,z>0; xy+yz+zx=5 
Tìm GTNN: P= $\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6(x^2+5)} + \sqrt{6(y^2+5)} + \sqrt{z^2+5}}$

Bài 6: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng: 

$\sqrt{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)}\geq abc + \sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}$

Đẳng thức xảy ra khi nào? 

Bài 7: Cho a,b > 0; a+b = 1. Tìm GTNN 
T= $\frac{19}{ab}+\frac{6}{a^2+b^2}+2011(a^4+b^4)$

Mọi người giúp mình với nhé  Bài đỏ làm rồi nhé.

Bài 2: 
$VT=\sum \sqrt{\frac{x}{y+z}}=\sum \frac{x}{\sqrt{x(y+z)}}\geq \sum \frac{2a}{b+c}=2$
Dấu ''='' khi x=0, y=z hoặc các hoán vị mà x,y,z > 0 => dấu ''='' không xảy ra 

[Nguyenphuctang]

Bài 1:
Cho x, y > 0;$(\sqrt{x}+1)(2\sqrt{y}+4)+y\geq 13. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
P=\frac{x^{4}}{y}+\frac{y^{3}}{x}+y$ 
Bài 2:

Cho a, b, c > 0; a + b + c = abc. Chứng minh bất đẳng thức sau:

$\sqrt{(1+a^{2})(1+b^{2})}+\sqrt{(1+b^{2})(1+c^{2})}+\sqrt{(1+c^{2})(1+a^{2})}-\sqrt{(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})}\geq 4$ 

[Nguyenphuctang]

cho a,b,c,d là các số thực. Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq a\left ( b+c+d \right )$

dấu = xảy ra khi nào

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$(\frac{a}{2}-b)^{2}+(\frac{a}{2}-c)^{2}+(\frac{a}{2}-d)^{2}+\frac{a^{2}}{4}\geq 0$

[Nguyenphuctang]

$\sum \frac{a^3}{b(2c+a)}+\frac{2c+a}{9}+\frac{b}{3}\geq \sum a\rightarrow \sum \frac{a^3}{b(2c+a)}\geq \frac{\sum a}{3}=1$

đề thiếu điều kiện a, b, c là các số dương chứ nhỉ? 

[NTMFlashNo1]

Bài 7: Cho a,b > 0; a+b = 1. Tìm GTNN 
T= $\frac{19}{ab}+\frac{6}{a^2+b^2}+2011(a^4+b^4)$

Mọi người giúp mình với nhé  Bài đỏ làm rồi nhé.

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

$T\geq 19.\frac{4}{\left ( a+b \right )^{2}}+\frac{6}{a^{2}+b^{2}}+\frac{2011}{2}\left ( a^{2}+b^{2} \right )^{2}$

$\Rightarrow T\geq 76+\frac{3}{a^{2}+b^{2}}+\frac{3}{a^{2}+b^{2}}+24\left ( a^{2}+b^{2} \right )^{2}+\frac{1963}{2}\left ( a^{2}+b^{2} \right )^{2}$

$\Rightarrow T\geq 76+3\sqrt[3]{\frac{3}{a^{2}+b^{2}}.\frac{3}{a^{2}+b^{2}}.24\left ( a^{2}+b^{2} \right )^{2}}+\frac{1963}{2}\frac{\left ( a+b \right )^{4}}{4}$

$\Rightarrow T\geq 76+18+\frac{1963}{8}=\frac{2715}{8}$

Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2

[Basara]

Cho tam giác ABC AB=c; BC=a; AC=b; R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam

 CMR

$\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{1}{16R^2sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}}$

[kienvuhoang]

 

 Cho x,y,z là ba số thực không âm thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$M=\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}$

 

giả sử y nằm giữa x và z

$(y^{2}-x^{2})(y^{2}-z^{2})\leq 0$

$\Leftrightarrow \frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}\leq \frac{x^2+1}{z^2+1}+1$

$\Rightarrow M\leq t+\frac{1}{t}+1$với t=\frac{x^2+1}{z^2+1}

Mà $\frac{1}{2}\leq t\leq 2$

$\Rightarrow M\leq \frac{7}{2}$

[Coppy dera]

Bài 1: Cho a,b > 0 ; a+b=2 
Tìm GTNN: Q = $2(a^2+b^2)-6(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+9(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})$

Bài 2: Cho các số dương x,y,z. Chứng minh BĐT: $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}>2$

Bài 3: Cho x,y $\epsilon$ R : $\sqrt{x-1}-y\sqrt{y} = \sqrt{y-1}-x\sqrt{x}$ 
Tìm GTNN S = $x^2+3xy-2y^2-8y+5$

Bài 4: Cho a,b,c > 0. CMR : 

$\frac{2ab}{3a+8b+6c}+\frac{3bc}{3b+6c+a}+\frac{3ca}{9c+4a+4b}\leq \frac{a+2b+3c}{9}$

Bài 5: Với x,y,z>0; xy+yz+zx=5 
Tìm GTNN: P= $\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6(x^2+5)} + \sqrt{6(y^2+5)} + \sqrt{z^2+5}}$

Bài 6: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng: 

$\sqrt{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)}\geq abc + \sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}$

Đẳng thức xảy ra khi nào? 

Bài 7: Cho a,b > 0; a+b = 1. Tìm GTNN 
T= $\frac{19}{ab}+\frac{6}{a^2+b^2}+2011(a^4+b^4)$

Mọi người giúp mình với nhé  Bài đỏ làm rồi nhé.

câu 3 bạn thử xét hàm số $y=t\sqrt{t}+\sqrt{t-1}$ rồi chứng minh nó đồng biến  suy ra x=y rồi thay vào S coi thử

[Coppy dera]

Bài 1: Cho a,b > 0 ; a+b=2 
Tìm GTNN: Q = $2(a^2+b^2)-6(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+9(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})$

Bài 2: Cho các số dương x,y,z. Chứng minh BĐT: $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}>2$

Bài 3: Cho x,y $\epsilon$ R : $\sqrt{x-1}-y\sqrt{y} = \sqrt{y-1}-x\sqrt{x}$ 
Tìm GTNN S = $x^2+3xy-2y^2-8y+5$

Bài 4: Cho a,b,c > 0. CMR : 

$\frac{2ab}{3a+8b+6c}+\frac{3bc}{3b+6c+a}+\frac{3ca}{9c+4a+4b}\leq \frac{a+2b+3c}{9}$

Bài 5: Với x,y,z>0; xy+yz+zx=5 
Tìm GTNN: P= $\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6(x^2+5)} + \sqrt{6(y^2+5)} + \sqrt{z^2+5}}$

Bài 6: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng: 

$\sqrt{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)}\geq abc + \sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}$

Đẳng thức xảy ra khi nào? 

Bài 7: Cho a,b > 0; a+b = 1. Tìm GTNN 
T= $\frac{19}{ab}+\frac{6}{a^2+b^2}+2011(a^4+b^4)$

Mọi người giúp mình với nhé  Bài đỏ làm rồi nhé.

$P=2(a^2+b^2)-6(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+9(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}) \geq (a+b)^2-6.\frac{a^2+b^2}{ab}+9(\frac{1}{a^2}+1)+9(\frac{1}{b^2}+1)-18\geq4-6.\frac{4-2ab}{ab}+\frac{18}{a}+\frac{18}{b}-18=-2-\frac{12(a+b)}{ab}+18(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq-2+6(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq-2+6.\frac{4}{a+b}=10$

[05479865132]

Cho a,b,c>0 thỏa $a+b+c\geq 3$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}$

Cho x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$

 

 

[viet9a14124869]

Cho a,b,c>0 thỏa $a+b+c\geq 3$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}$

Cho x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$

1, Ta có $\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}=\frac{a^2}{a\sqrt{b}}+\frac{b^2}{b\sqrt{c}}+\frac{c^2}{c\sqrt{a}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}}=\frac{9}{\sqrt{3(ab+bc+ca)}}\geq 3\Leftrightarrow a=b=c=1$

2, Bạn thay x+y+z=1 vào mẫu mỗi phân số rồi dùng cô-si là xong

[05479865132]

Giả sử a,b,c>1 thỏa mãn a+b+c=abc.Tìm GTNN cua P=$\frac{a-2}{b^{2}}+\frac{b-2}{c^{2}}+\frac{c-2}{a^{2}}$

Cho x,y,z>0 thỏa xyz=1. Chứng minh rằng $\frac{1}{(x+1)^2(y+z)}+\frac{1}{(y+1)^2(z+x)}+\frac{1}{(z+1)^2(x+y)}\leq \frac{3}{8}$

Chứng minh rằng: $\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{1}{2}(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\geq a+b+c$

Cho x,y,z>0. Tìm giá trị nhỏ nhất S=$\frac{\sqrt{x^2-xy+y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{y^2-yz+z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{z^2-zx+x^2}}{z+x+2y}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 05479865132: 26-02-2017 - 21:25

[NHoang1608]

Ta có bất đẳng thức sau: với a,b thực dương thì $a^{2}-ab+b^{2}\geq \frac{1}{4}(a+b)^{2}$ (tự chứng minh)

Áp dụng bất dẳng thức trên

$\Rightarrow S\geq \sum \frac{\sqrt{\frac{1}{4}(x+y)^{2}}}{x+y+2z}$

$\Rightarrow S\geq \frac{1}{2}\left (\frac{x+y}{2z+y+x}+\frac{y+z}{2x+y+z}+\frac{x+z}{2y+z+x} \right )$

Đặt x+y=a, y+z=b, z+x=c

$\Rightarrow S\geq \frac{1}{2}(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{b+a})\geq \frac{3}{2}$( Bất đẳng thức nesbit quen thuộc).

$\Rightarrow S_{min}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=y=z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 27-02-2017 - 13:07

[NHoang1608]

Giả sử a,b,c>1 thỏa mãn a+b+c=abc.Tìm GTNN cua P=$\frac{a-2}{b^{2}}+\frac{b-2}{c^{2}}+\frac{c-2}{a^{2}}$

Cho x,y,z>0 thỏa xyz=1. Chứng minh rằng $\frac{1}{(x+1)^2(y+z)}+\frac{1}{(y+1)^2(z+x)}+\frac{1}{(z+1)^2(x+y)}\leq \frac{3}{8}$

Chứng minh rằng: $\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{1}{2}(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\geq a+b+c$

Cho x,y,z>0. Tìm giá trị nhỏ nhất S=$\frac{\sqrt{x^2-xy+y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{y^2-yz+z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{z^2-zx+x^2}}{z+x+2y}$

3) Ta có : $\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a}=a+b+c-\frac{ab}{a+b}-\frac{bc}{b+c}-\frac{ca}{c+a}$

 Do vậy (3)$\Leftrightarrow a+b+c+\frac{1}{2}(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\geq a+b+c+\sum \frac{ab}{a+b}$  

                  $\Leftrightarrow \frac{1}{2}(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\geq \sum \frac{ab}{a+b}$

 Mặt khác theo bđt AM-GM thì : $\sum\frac{1}{2}(a+b)\sqrt{ab}\geq \sum ab$

 Từ đây suy ra đpcm

1) Vì a > 1 nên $(a-1)(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})^{2}\geq 0$ Tương tự với 2 BĐT khác. 

Cộng 3 BĐT lại thì ta được $P\geq \sum \frac{1}{a}-2 \sum \frac{1}{ab}$

Mặt khác abc=a+b+c nên $\sum \frac{1}{ab}=1$. Ap dụng BĐT CBS thì ta có $\sum \frac{1}{a}\geq \sqrt{3\sum \frac{1}{ab}}=\sqrt{3}$

Suy ra $P\geq \sqrt{3}-2$

suy ra MIN. DBXR khi a=b=c=$\sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 27-02-2017 - 21:33

[tihingght]

Cho x,y thỏa mãn

$\left ( x^{2}+y^{2}+1 \right )^{2}+4x^{2}y^{2}-x^{2}-y^{2}=0$

Tìm min, max P=$x^{2}+y^{2}$

[viet9a14124869]

Cho x,y thỏa mãn

$\left ( x^{2}+y^{2}+1 \right )^{2}+4x^{2}y^{2}-x^{2}-y^{2}=0$

Tìm min, max P=$x^{2}+y^{2}$

Đề sai bạn ạ ,,,khi tách hết ra ta được $x^4+6x^2y^2+y^4+x^2+y^2+1=0$ vô lí