Chủ đề này có 53 trả lời

[nguyen_ct]

ac! hôm nay xem lời giải của bài toán 1 thì min =6
nhưng phẩi lập luận là nếu tam giác kok nhọn thì kok tồn tại min

em khẳng định làm như vậy là sai
vì GTNN của biểu thức trên kok thể là 6 vì ta đã đưa được VD để nó âm
nếu như bài giải đó đúng thì em nghĩ mình cần phải học lại về định nghĩ GTNN mất

[vuthanhtu_hd]

Bài 1 (T7/383) (Trần Đình Quế) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$T=\dfrac{ab+bc}{a^2-b^2+c^2}+\dfrac{bc+ca}{b^2-c^2+a^2}+\dfrac{ca+ab}{c^2-a^2+b^2}$

trong đó $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác $ABC$ và $abc=1$
****************************************************************************

Đây là lời giải trên tạp chí
Nhận xét rằng T chỉ đạt giá trị nhỏ nhất trong trường hợp $\Delta ABC$ là tam giác nhọn.Thật vậy
+Nếu tam giác $ABC$ vuông (chẳng hạn tại $A$)
thì $c^2-a^2+b^2=0$, $T$ không xác định
+Nếu tam giác $ABC$ tù(chẳng hạn tại $A$)
Chọn $b=c=\dfrac{1}{\sqrt[6]{2}} -\alpha$,( $\alpha \in R$ đủ nhỏ), $a=\dfrac{1}{bc}$.Khi đó rõ ràng $T \rightarrow - \infty$ khi $\alpha\rightarrow 0$
Lúc này $T$ không đạt GTNN.
+Xét TH tam giác ABC nhọn thì $a^2-b^2+c^2>0,b^2-c^2+a^2>0,c^2-a^2+b^2>0$
Áp dụng BDT $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{x+y}$
$T=\sum ab(\dfrac{1}{a^2-b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2-a^2+b^2}) \geq 2\sum \dfrac{ab}{c^2} \ge 2.3=6$

Vậy GTNN của $T$ là 6 ???

Có ai có ý kiến gì về lời giải này không? Mình thấy nó giống lời giải bài toán sau:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau $T=x+\dfrac{1}{x}$ với $x$ là số thực
Lời giải:Nhận xét rằng $T$ chỉ đạt GTNN khi $x>0$.Thật vậy
+Nếu $x=0$ thì $T$ không xác định
+Nếu $x<0$. Cho $x\rightarrow 0$ thì $T\rightarrow -\infty $Lúc này $T$ không đạt GTNN.
+Do đó chỉ cần xét khi $x>0$ khi đó áp dụng BDT AM-GM ta có $T \ge 2$
Vậy GTNN của $T$ là 2???
Rất mong mọi người cho ý kiến về lời giải này

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 19-09-2009 - 17:44

[vuthanhtu_hd]

Bài 2 (T5/THCS) (Võ Quốc Bá Cẩn).Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn $a+b+c=1$.Chứng minh rằng

$1<\dfrac{b}{\sqrt{a+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{b+c^2}}+\dfrac{a}{\sqrt{c+a^2}}<2$
****************************************************************************

Bài này thì lời giải trên tạp chí rất ngắn và đẹp,miễn bàn :
Ta có $a+b^2<a+b<a+b+c=1$ và 2 BDT tương tự nên
$\dfrac{b}{\sqrt{a+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{b+c^2}}+\dfrac{a}{\sqrt{c+a^2}}>b+c+a=1$
Tiếp theo
$a+b^2=(a+b)+(b-\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{4} \ge (a+b)-\dfrac{1}{4} >\dfrac{a+b+c}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}$,ta cũng có 2 BDT tương tự nên
$\dfrac{b}{\sqrt{a+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{b+c^2}}+\dfrac{a}{\sqrt{c+a^2}}<2(b+c+a)=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 19-09-2009 - 17:51

[nguyen_ct]

Đây là lời giải trên tạp chí
Nhận xét rằng T chỉ đạt giá trị nhỏ nhất trong trường hợp $\Delta ABC$ là tam giác nhọn.Thật vậy
+Nếu tam giác $ABC$ vuông (chẳng hạn tại $A$)
thì $c^2-a^2+b^2=0$, $T$ không xác định
+Nếu tam giác $ABC$ tù(chẳng hạn tại $A$)
Chọn $b=c=\dfrac{1}{\sqrt[6]{2}} -\alpha$,( $\alpha \in R$ đủ nhỏ), $a=\dfrac{1}{bc}$.Khi đó rõ ràng $T \rightarrow - \infty$ khi $\alpha\rightarrow 0$
Lúc này $T$ không đạt GTNN.
+Xét TH tam giác ABC nhọn thì $a^2-b^2+c^2>0,b^2-c^2+a^2>0,c^2-a^2+b^2>0$
Áp dụng BDT $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{x+y}$
$T=\sum ab(\dfrac{1}{a^2-b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2-a^2+b^2}) \geq 2\sum \dfrac{ab}{c^2} \ge 2.3=6$

Vậy GTNN của $T$ là 6 ???

Có ai có ý kiến gì về lời giải này không? Mình thấy nó giống lời giải bài toán sau:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau $T=x+\dfrac{1}{x}$ với $x$ là số thực
Lời giải:Nhận xét rằng $T$ chỉ đạt GTNN khi $x>0$.Thật vậy
+Nếu $x=0$ thì $T$ không xác định
+Nếu $x<0$. Cho $x\rightarrow 0$ thì $T\rightarrow -\infty $Lúc này $T$ không đạt GTNN.
+Do đó chỉ cần xét khi $x>0$ khi đó áp dụng BDT AM-GM ta có $T \ge 2$
Vậy GTNN của $T$ là 2???
Rất mong mọi người cho ý kiến về lời giải này

Ý KIẾN RẤT GIỐNG EM NẾU NHƯ THẾ NÀY NÊN VIẾT LÀ KHÔNG TỒN TẠI GTNN CỦA BIỂU THỨC THÌ HƠN

[hoangnbk]

theo em thì tạp chí phải kết luận giá trị nhỏ nhất của T ở âm vô cùng& bỏ câu giá trị nhỏ nhất của T bằng 6. Còn cách giải của tạp chí đúng rùi

[vuthanhtu_hd]

theo em thì tạp chí phải kết luận giá trị nhỏ nhất của T ở âm vô cùng& bỏ câu giá trị nhỏ nhất của T bằng 6. Còn cách giải của tạp chí đúng rùi

Tốt nhất là nên bổ sung điều kiện tam giác ABC nhọn vào luôn đề bài .Một điều thú vị là trên tạp chí không kết luận giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu trong khi đề bài hỏi tìm giá trị nhỏ nhất

[nguyen_ct]

đó là cách trả nước đôi của tạp chí để các h/s kok có ý kiến gì được

[apollo_1994]

Trước tiên sẽ là các bài toán của tháng 5 /2009 và 6/2009 (đã hết hạn gửi bài )

Bài 3 (T4/384) (Trịnh Xuân Tình)Cho $x,y,z$ là các số không âm và thỏa mãn $x+y+z=1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$P=(x+2y+3z)(6x+3y+2z)$

Hơ vẫn còn bài 3 này
$P/2=(x+2y+3z)(3x+ \dfrac{3}{2}y+z) \leq \dfrac{[4(x+z)+ \dfrac{7}{2}y]^2 }{4}=\dfrac{(4-\dfrac{y}{2})^2 }{4}\leq 4^2/4=4 $
do $y \geq 0$
$\Rightarrow P \leq 8 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi apollo_1994: 20-09-2009 - 20:05

[Toanlc_gift]

hix,đến giờ mình vẫn chưa có báo
mà lập luận về lời giải bàiT7/383 trên báo THTT có vẻ sai rồi
T có thể tiến đến $- \infty$ mà vẫn đạt min bằng 6!!!
ai rảnh thì gửi thư đến tòa soạn thắc mắc đi ,không khéo còn được nhận cả tiền thưởng đấy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toanlc_gift: 20-09-2009 - 20:50

[nguyen xuan huy]

tiếp đi mấy anh
cho các số dương thỏa mãn $abc \ge 1$
CMR:
$ \sum {\dfrac{a}{ \sqrt{b+\sqrt{ac} }} \ge \dfrac{3}{\sqrt{2}}$

Bạn có thể xem chủ đề này ở đây

Hình gửi kèm

• 
• 
• 
• 
• 
• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen xuan huy: 20-10-2009 - 20:18

[namdung]

Đây là lời giải trên tạp chí
Nhận xét rằng T chỉ đạt giá trị nhỏ nhất trong trường hợp $\Delta ABC$ là tam giác nhọn.Thật vậy
+Nếu tam giác $ABC$ vuông (chẳng hạn tại $A$)
thì $c^2-a^2+b^2=0$, $T$ không xác định
+Nếu tam giác $ABC$ tù(chẳng hạn tại $A$)
Chọn $b=c=\dfrac{1}{\sqrt[6]{2}} -\alpha$,( $\alpha \in R$ đủ nhỏ), $a=\dfrac{1}{bc}$.Khi đó rõ ràng $T \rightarrow - \infty$ khi $\alpha\rightarrow 0$
Lúc này $T$ không đạt GTNN.
+Xét TH tam giác ABC nhọn thì $a^2-b^2+c^2>0,b^2-c^2+a^2>0,c^2-a^2+b^2>0$
Áp dụng BDT $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{x+y}$
$T=\sum ab(\dfrac{1}{a^2-b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2-a^2+b^2}) \geq 2\sum \dfrac{ab}{c^2} \ge 2.3=6$

Vậy GTNN của $T$ là 6 ???

Có ai có ý kiến gì về lời giải này không? Mình thấy nó giống lời giải bài toán sau:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau $T=x+\dfrac{1}{x}$ với $x$ là số thực
Lời giải:Nhận xét rằng $T$ chỉ đạt GTNN khi $x>0$.Thật vậy
+Nếu $x=0$ thì $T$ không xác định
+Nếu $x<0$. Cho $x\rightarrow 0$ thì $T\rightarrow -\infty $Lúc này $T$ không đạt GTNN.
+Do đó chỉ cần xét khi $x>0$ khi đó áp dụng BDT AM-GM ta có $T \ge 2$
Vậy GTNN của $T$ là 2???
Rất mong mọi người cho ý kiến về lời giải này

Tạp chí giải ẩu rồi. Lẽ ra phải kết luận là không có GTNN. Còn nếu không thì phải sửa đề lại là tam giác nhọn. Không thể kết luận và giải như trong báo được. Các bạn đừng bắt chước kiểu đó nhé, đi thi mà giải thế là không được điểm đâu.

Mà bài này đọc cái đề đã thấy buồn cười. Tự dưng biểu thức thì thuần nhất rồi mà còn cho điều kiện abc = 1, không hiểu để làm gì.

[hoangnbk]

Tạp chí giải ẩu rồi. Lẽ ra phải kết luận là không có GTNN. Còn nếu không thì phải sửa đề lại là tam giác nhọn. Không thể kết luận và giải như trong báo được. Các bạn đừng bắt chước kiểu đó nhé, đi thi mà giải thế là không được điểm đâu.

Mà bài này đọc cái đề đã thấy buồn cười. Tự dưng biểu thức thì thuần nhất rồi mà còn cho điều kiện abc = 1, không hiểu để làm gì.

hơ thầy ơi em tưởng thầy cũng trong hội đồng biên tập của THTT ma`???

[phong than]

Tạp chí Việt Nam ngày càng nát.
Đề toàn đi ăn cắp.
Tóm lại Việt Nam toàn đi nhái lại!

[vuthanhtu_hd]

Tạp chí Việt Nam ngày càng nát.
Đề toàn đi ăn cắp.
Tóm lại Việt Nam toàn đi nhái lại!

Gì mà ăn nói phũ phàng thế chú em

[quangvinht2]

Bài BDT ở trên đưa về dạng thuần nhất như sau:
Cho $ a,b,c $ dương. CMR:
$ \sum \dfrac{a}{ \sqrt{b+ \sqrt{ac} } } \geq \dfrac{ \sqrt{3(a+b+c)} }{2} $
Chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức Schwazt đơn giản.
Thử thêm một bài nữa.
Bài 1: Cho $ a,b,c,x,y,z $ là các số dương. chứng minh rằng:
$ \dfrac{(ax+by+cz)^{2}}{xy+yz+zx} +a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 2(ab+bc+ca) $
Bài 2: Cho tam giác ABC bất kì. chứng minh:
$ cosA+cosB+cosC + \dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a}+ \dfrac{c}{a+b} \leq 3 $
(Bài này hồi đầu mình cho trong trường hợp tam giác nhọn, mà đứa học trò nó giải cho tam giác bất kì cũng đúng luôn. )

Hồi mới đọc bài giải về tam giác của tờ báo là thấy mắc cười rồi. Tìm cực trị, ban đầu ko nói tập gì mà về sau lại chia ra 2 tập rồi nói ko đạt cực trị trên tập này nên tìm trên tập kia, buồn cười thiệt.

[terenceTAO]

Tạp chí Việt Nam ngày càng nát.
Đề toàn đi ăn cắp.
Tóm lại Việt Nam toàn đi nhái lại!

bạn ko bít nói như vậy là tư chửi mình sao
minh là dân VN mà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi terenceTAO: 05-03-2010 - 23:18

[Zaraki]

Thêm vài bài để mọi người thảo luận
Bài 4 (bài T6/396) Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng

$(1+9abc-a-b-c)(\dfrac{1}{1-ab}+ \dfrac{1}{1-bc}+ \dfrac{1}{1-ca}) \le \dfrac{9}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 21-08-2011 - 10:08

[alex_hoang]

Thêm vài bài để mọi người thảo luận
Bài 4 (bài T6/396) Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng

$(1+9abc-a-b-c)(\dfrac{1}{1-ab}+ \dfrac{1}{1-bc}+ \dfrac{1}{1-ca}) \le \dfrac{9}{2}$

Bài này là một bài quen thuộc và nó xuất phát từ bất đẳng thức sau đây
$\dfrac{1}{{1 - ab}} + \dfrac{1}{{1 - bc}} + \dfrac{1}{{1 - ca}} \le \dfrac{9}{2}$

[alex_hoang]

Tạp chí Việt Nam ngày càng nát.
Đề toàn đi ăn cắp.
Tóm lại Việt Nam toàn đi nhái lại!

Cái này thì mình cũng thấy chuẩn ,nhiều bài nhái quá thể?

[Didier]

bài này số trước vừa đưa ra bài giải nhưng tớ thấy cách giải đấy chưa thực sự hay (quan điểm cá nhân thôi)
T6/405ìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$ (5a+ \dfrac{a}{b} )^{3}+ (5b+ \dfrac{a}{b} )^{3}+(5c+ \dfrac{a}{b} )^{3}$
trong đó a,b,c là các số thực thỏa mãn dk $ x^{2}+b^{2}+c^{2}=3$



bài toán tổng quát
$ \left( {ma + \dfrac{n}{{b + c}}} \right)^p + \left( {mb + \dfrac{n}{{c + a}}} \right)^p + \left( {mc + \dfrac{n}{{a + b}}} \right)^p \ge 3\left( {m\sqrt {\dfrac{k}{3}} + \dfrac{{n\sqrt 3 }}{{2\sqrt k }}} \right)^p $
trong đó a,b,clà các số thực dươngtm $ a^{2}+b^{2}+c^{2}=k;m,n,p,k(p \ge 2)$ là các số tự nhiên