Đến nội dung


Hình ảnh

$0 \leq \sum\limits_{i=0}^{{\left[\dfrac{2k}{3}\right]}} a_{k - i, i} (-1)^i \leq 1$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Pirates

Pirates

    Mathematics...

  • Thành viên
  • 642 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đồng Nai

Đã gửi 01-05-2010 - 10:37

Cho $m, n$ là các số không âm. Gọi $a_{m, n}$ là hệ số của $x^n$ trong khai triển đa thức $(1 + x + x^2)^m$. Chứng minh với $k$ bất kì không âm, ta có:

$$0 \leq \sum\limits_{i=0}^{{\left[\dfrac{2k}{3}\right]}} a_{k - i, i} (-1)^i \leq 1$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 06-09-2015 - 16:27

"God made the integers, all else is the work of men"


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1030 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 10-09-2015 - 17:39

Cho $m, n$ là các số không âm. Gọi $a_{m, n}$ là hệ số của $x^n$ trong khai triển đa thức $(1 + x + x^2)^m$. Chứng minh với $k$ bất kì không âm, ta có:

$$0 \leq \sum\limits_{i=0}^{{\left[\dfrac{2k}{3}\right]}} a_{k - i, i} (-1)^i \leq 1$$

Sửa lại đề : $m,n,k$ là các số NGUYÊN không âm.

---------------------------------------

Trước hết, nhận xét rằng :

+ Với $k=0$ thì $\sum_{i=0}^{\left [ \frac{2k}{3} \right ]}a_{k-i,i}(-1)^i=\sum_{i=0}^{k}a_{k-i,i}(-1)^i$

+ Với $k>0$ và $\left [ \frac{2k}{3} \right ]< i\leqslant k$ thì $a_{k-i,i}=0$

Do đó ĐPCM luôn tương đương với $0\leqslant \sum_{i=0}^{k}a_{k-i,i}(-1)^i\leqslant 1$ (1) (viết vậy đỡ cồng kềnh hơn)

Ta có $(x^2+x+1)^m=\sum_{i=0}^{2m}a_{m,i}x^i$

Quy ước rằng $a_{m,r}=0$ nếu $r$ nguyên âm, ta có :

$(x^2+x+1)^{m+1}=\sum_{i=0}^{2m+2}a_{m+1,i}x^i=\sum_{i=0}^{2m+2}(a_{m,i}+a_{m,i-1}+a_{m,i-2})x^i$

$\Rightarrow a_{m+1,i}=a_{m,i}+a_{m,i-1}+a_{m,i-2}$ (2)

Đặt $S_k=\sum_{i=0}^{k}a_{k-i,i}(-1)^i$

Dễ dàng tính được $S_0=S_4=1$ ; $S_1=S_5=1$ ; $S_2=S_6=0$ ; $S_3=S_7=0$

Ta cần chứng minh rằng với mọi $k>3$, ta luôn có $S_k=S_{k+4}$ (3)

Với $k$ từ $0$ đến $3$ thì mệnh đề (3) đúng.

Giả sử (3) đúng với mọi $k< t$ ($t$ là một số nguyên dương nào đó)

$S_t=(a_{t,0}+a_{t-2,2}+a_{t-4,4}+...)-(a_{t-1,1}+a_{t-3,3}+a_{t-5,5}+...)$

$S_{t+4}=(a_{t+4,0}+a_{t+2,2}+a_{t,4}+...)-(a_{t+3,1}+a_{t+1,3}+a_{t-1,5}+...)$

$S_{t+4}-S_t=(a_{t+4,0}-a_{t,0})+(a_{t+2,2}-a_{t-2,2})+...-(a_{t+3,1}-a_{t-1,1})-(a_{t+1,3}-a_{t-3,3})-...$ (4)

Lưu ý rằng $a_{p+4,q}-a_{p,q}=(a_{p+1,q}-a_{p,q})+(a_{p+2,q}-a_{p+1,q})+(a_{p+3,q}-a_{p+2,q})+(a_{p+4,q}-a_{p+3,q})$

$=(a_{p,q-1}+a_{p,q-2})+(a_{p+1,q-1}+a_{p+1,q-2})+(a_{p+2,q-1}+a_{p+2,q-2})+(a_{p+3,q-1}+a_{p+3,q-2})$

$=\sum_{i=p}^{p+3}a_{i,q-1}+\sum_{i=p}^{p+3}a_{i,q-2}$

Thay vào (4), sắp xếp lại và rút gọn, ta có :

$S_{t+4}-S_t=\left ( \sum_{i=t-2}^{t+1}a_{i,1}+\sum_{i=t-2}^{t+1}a_{i,0}+\sum_{i=t-4}^{t-1}a_{i,3}+\sum_{i=t-4}^{t-1}a_{i,2}+... \right )-\left ( \sum_{i=t-1}^{t+2}a_{i,0}+\sum_{i=t-3}^{t}a_{i,2}+\sum_{i=t-3}^{t}a_{i,1}+... \right )$

$=(a_{t-2,0}-a_{t-3,1}+a_{t-4,2}-...)-(a_{t+2,0}-a_{t+1,1}+a_{t,2}-...)=S_{t-2}-S_{t+2}=0$

$\Rightarrow S_t=S_{t+4}$.Vậy mệnh đề (3) cũng đúng khi $k=t$

Theo nguyên lý quy nạp, mệnh đề (3) đúng với mọi $k$ nguyên không âm

$\Rightarrow 0\leqslant S_k\leqslant 1$ hay $0\leqslant \sum_{i=0}^{k}a_{k-i,i}(-1)^i\leqslant 1$ ($\forall k\in \mathbb{N}$) (đây chính là mệnh đề (1) )

Bài toán đã được chứng minh xong.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 11-09-2015 - 07:10

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh