Các học sinh được phát bài kiểm tra , mỗi môn một bài, trong $n$ môn $(n\ge 3)$ môn học. Biết rằng với một môn học bất kì thì có đúng 3 học sinh đạt điểm tối ưu, còn với 2 môn tùy ý thì có 1 học sinh đạt điểm tối ưu cho mỗi môn trong cả 2 môn đó. Hãy xác định số $n$ bé nhất sao cho từ các điều kiện trên ta có thể suy ra rằng có đúng 1 học sinh đạt điểm tối ưu cho mỗi môn học trong $n$ môn đó.
xác định số $n$ bé nhất sao cho từ các điều kiện cho trước
#1
Đã gửi 30-08-2010 - 00:06
#2
Đã gửi 19-04-2016 - 23:27
Biểu thị mỗi học sinh là một điểm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng.
Cứ $2$ học sinh đạt điểm tối ưu cho cùng một môn được nối với nhau bởi 1 đoạn thẳng xác định bởi 1 màu nào đó
Do điều kiện của bài toán cứ $3$ học sinh đạt điểm tối ưu cho một môn sẽ biểu thị bằng một tam giác có $3$ cạnh cùng màu, và giữa $2$ tam giác bất kì có đúng $1$ điểm chung
Nhận xét 1: Nếu $4$ tam giác, với mỗi tam giác chỉ có các cạnh cùng màu, có chung $1$ đỉnh, thì tất cả các tam giác khác sẽ cùng có chung đỉnh này.
Thật vậy. Xét $4$ tam giác này, giả sử tam giác thứ $5$ có đỉnh không là đỉnh chung của $4$ tam giác này, do điều kiện $2$ tam giác bất kì có $1$ đỉnh chung nên theo $\Dirichle$ tồn tại $2$ tam giác trong $4$ tam giác đó có chung đỉnh với tam giác thứ $5$. Suy ra $2$ tam giác này có $2$ đỉnh chung, vô lí. Nên điều giả sử sai và ta có đpcm
Nhận xét 2: Điều kiện $n=4$ là điều kiện bé nhất để tất cả các tam giác chung đỉnh.( $n \geq 3$ nên dễ dàng tìm phản ví dụ cho $3$)
Trở lại bài toán
-Với $n$ tam giác, xét một tam giác bất kì, từ nhận xét, suy ra phải tồn tại $1$ đỉnh của nó chung đỉnh của $3$ tam giác khác
-Theo $\Dirichle$ suy ra số tam giác bé nhất để đảm bảo luôn có $3$ tam giác chung đỉnh với tam giác đang xét là:$3.2+1=7$ tam giác. Cộng với tam giác đang xét. Suy ra $n=8$
- chanhquocnghiem yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh