Chủ đề này có 4 trả lời

[nh0kshjn]

Các anh chị bày giúp em mấy bài bất đẳng thức Côsi vs nhé, e cảm ơn mọi người nhiều...
1) Cho a, b 0. CMR 3a^3 + 7b^3 luôn lớn hơn hoặc bằng 9ab^2
2) Cho a, b 0. CMR căn bậc 2 của a + căn bậc 2 của b tất cả mũ 8 luôn lớn hơn hoặc bằng tích
64ab(a+b)^2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nh0kshjn: 01-09-2010 - 13:13

[Messi_ndt]

Các anh chị bày giúp em mấy bài bất đẳng thức Côsi vs nhé, e cảm ơn mọi người nhiều...
1) Cho a, b 0. CMR 3a^3 + 7b^3 luôn lớn hơn hoặc bằng 9ab^2
2) Cho a, b 0. CMR căn bậc 2 của a + căn bậc 2 của b tất cả mũ 8 luôn lớn hơn hoặc bằng tích
64ab(a+b)^2

Cho $ a,b \geq 0$. Chứng minh:
1) $ 3a^3+7b^3 \geq 9ab^2 $
2)$ (\sqrt{a}+\sqrt{b})^8 \geq 64ab(a+b)^2 $

1) AM-GM cho ba số.
$ 3a^3+7b^3 \geq 3a^3+3b^3+3b^3 \geq 3.3\sqrt[3]{a^3b^6}=9ab^2$
Dẳng thức tại a=b=0.
2)Đặt $ x=\sqrt{a},y=\sqrt{b} $
BDT tương đương $ (x+y)^8 \geq 64x^2y^2(x^2+y^2)^2 <=> (x+y)^4 \geq 8xy(x^2+y^2) $
$ <=> S^4 \geq 8P(S^2-2P) <=> S^4+16P^2 \geq 8PS^2 $
Đúng theo AM-GM cho ha số. Đẳng thức tại a=b.
Q.E.D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Messi_ndt: 01-09-2010 - 20:11

[h.vuong_pdl]

Bài 1) Khi b = 0 thì hiể nhiên $3a^3 \ge 0$ nên BDT đúng ???
Khi b khác 0 thì chia 2 vế cho $b^3$, đặt t = a/b thì ta có:
$3t^3 + 7 \ge 9t$ => xét giải là ra ???
Bài 2) đến đoạn Cm $(a+b)^4 \ge 8ab(a^2+b^2)$
Áp dụng BDT $4xy \le (x+y)^2$ ta có $4.2xy.(x^2+y^2) \le (a^2+b^2+2ab)^2 = (a+b)^4$
vậy ta có đpcm???

[nh0kshjn]

Cho $ a,b \geq 0$. Chứng minh:
1) $ 3a^3+7b^3 \geq 9ab^2 $
2)$ (\sqrt{a}+\sqrt{b})^8 \geq 64ab(a+b)^2 $

1) AM-GM cho ba số.
$ 3a^3+7b^3 \geq 3a^2+3b^3+3b^3 \geq 3.3\sqrt[3]{a^3b^6}=9ab^2$
Dẳng thức tại a=b=0.
2)Đặt $ x=\sqrt{a},y=\sqrt{b} $
BDT tương đương $ (x+y)^8 \geq 64x^2y^2(x^2+y^2)^2 <=> (x+y)^4 \geq 8xy(x^2+y^2) $
$ <=> S^4 \geq 8P(S^2-2P) <=> S^4+16P^2 \geq 8PS^2 $
Đúng theo AM-GM cho ha số. Đẳng thức tại a=b.
Q.E.D

em cảm ơn, bài giải rất dễ hiểu và ngắn gọn. nhưng em có chút thắc mắc: bài 1 hình như anh đánh máy nhầm chỗ 3a^3 thành 3a^2 ạ.

[oolegendpooo]

(x+y)4≥8xy(x2+y2)

 

 

đến đây có thể biến đổi tương đương ạ .

Theo tam giác pascal ta có 

$(x+y)^{4}$$= x^{4} +y^{4}+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+4yx^{3} >= 8xy^{3}+8yx^{3} <=> x^{4} +y^{4}+6x^{2}y^{2}-4xy^{3}-4yx^{3} \geqslant 0 <=> (x^{2}+y^{2}-2xy)^2 \geqslant 0 <=> ((x-y)^{2})^{2} \geqslant 0 <=> (x-y)^{2} \geqslant 0 dấu "=" xảy ra <=> x=y$

nếu không biết tam giác pascal ta có thể biến đổi $(x+y)^{4}$$ = $((x+y)^{2})^{2}$