Đến nội dung

Hình ảnh

MỘT BÀI TOÁN TỔ HỢP GÂY TRANH CÃI


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 20 trả lời

#1
dauxuannamtp

dauxuannamtp

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết
Đề kiểm tra cua trường tôi có câu" Một nhóm học sinh có 35 em cần chia thành 5 nhóm học tập, mỗi nhóm 7 em . hỏi có bao nhiêu cách chia " . Có hai ý kiến về đáp án:
Ý kiến 1: Kết quả :$$C_{35}^7 .C_{28}^7 .C_{21}^7 .C_{14}^7 .C_7^7 $$
Y Kiến 2: Vì các nhóm có vai trò như nhau nên không phân biệt thứ tự của nhóm được và kết quả: $$\left( {\dfrac{1}{{5!}}} \right).C_{35}^7 .C_{28}^7 .C_{21}^7 .C_{14}^7 .C_7^7 $$
Mong ý kiến đánh giá của các thầy cô cho các kết quả này, đúng sai như thế nào . Cám ơn quý thầy cô

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dauxuannamtp: 17-11-2010 - 20:06


#2
NGUYENHOANGMI

NGUYENHOANGMI

    Lính mới

  • Pre-Member
  • 2 Bài viết
Ý kiến thứ 2 chưa thấy ai sử dụng bao giờ.
Vấn đề ở đây là, công việc chia nhóm được thực hiện qua nhiều giai đoạn, chúng ta chỉ việc chia theo thứ tự: nhóm 1 rồi tới nhóm 2, ... Khi nào hoàn thành công việc chia nhóm thì thôi. Do đó mình không cần quan tâm đến việc có phân biệt thứ tự các nhóm hay không. Chính vì thế không cần lấy kết quả chia cho 5!
Đây là ý kiến cả nhân của mình thôi, mong được trao đổi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGUYENHOANGMI: 18-11-2010 - 10:17


#3
dauxuannamtp

dauxuannamtp

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Ý kiến thứ 2 chưa thấy ai sử dụng bao giờ.
Vấn đề ở đây là, công việc chia nhóm được thực hiện qua nhiều giai đoạn, chúng ta chỉ việc chia theo thứ tự: nhóm 1 rồi tới nhóm 2, ... Khi nào hoàn thành công việc chia nhóm thì thôi. Do đó mình không cần quan tâm đến việc có phân biệt thứ tự các nhóm hay không. Chính vì thế không cần lấy kết quả chia cho 5!
Đây là ý kiến cả nhân của mình thôi, mong được trao đổi

THEO BẠN NGUYENHOANGMI THI THẾ, NHƯNG BAN NGHĨ XEM: NẾU HAI NGƯỜI CHIA LÀM HAI NHÓM ( MỔI NGƯỜI MỘT NHÓM) THI RÕ RANG CÓ MỘT CÁCH CHIA, NÊU THEO CÁCH LÀM CỦA BAN THÌ CO 2 CÁCH CHIA. THÊM NỬA KHÔNG LẼ CHIA HAI MỐN QUÀ THÀNH HAI PHẦN MỖI PHẦN MỘT MÓN LẠI CÓ HAI CÁCH CHIA SAO BẠN . CÁM ON BAN ĐÃ CÓ Ý KIẾN, MONG QUÝ THẦY CÔ CÓ Ý KIẾN THÊM.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dauxuannamtp: 18-11-2010 - 11:03


#4
CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1456 Bài viết

Ý kiến 1: Kết quả :$$C_{35}^7 .C_{28}^7 .C_{21}^7 .C_{14}^7 .C_7^7 $$
Y Kiến 2: Vì các nhóm có vai trò như nhau nên không phân biệt thứ tự của nhóm được và kết quả: $$\left( {\dfrac{1}{{5!}}} \right).C_{35}^7 .C_{28}^7 .C_{21}^7 .C_{14}^7 .C_7^7 $$

Theo ý ongtroi thì kết quả một đúng hơn.
Khi chọn 7 em đầu tiên, 7 em tiếp theo, 7 em tiếp theo,...... điều này thực ra không phải là sự sắp xếp vị trí nên nó chẳng phải là hoán vị lặp gì cả và do đó không cần chia cho 5!

#5
apollo_1994

apollo_1994

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 267 Bài viết
Có thể phản biện cách 1:
Công đoạn 1 ta chọn ra 7 em từ 35 em, có $C_{35}^7$ cách, giả sử $(A_1,A_2,...,A_7)$ là 1 cách chọn.
Công đoạn 2 ta chọn ra 7 em từ 28 em còn lại, có $C_{28}^7$ cách, giả sử $(A_8,A_9,...,A_{14})$ là 1 cách chọn.
Nếu theo lời giải 1, rõ ràng nếu lần 1 chọn $(A_8,A_9,...,A_{14})$ , lần 2 chọn$ (A_1,A_2,...,A_7)$ thì 2 cách chọn trên là khác nhau, mà điều này là vô lý.
Ta thấy rằng với mỗi cách chia 35 em thành 5 nhóm$(N_1,N_2,N_3,N_4,N_5)$ thì cách 1 làm lặp lại$5!$ hoán vị của $(N_1,N_2,N_3,N_4,N_5)$. Do đó kết quả phải đem chia $5!$
Lời giải 2 là chính xác.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi apollo_1994: 23-06-2011 - 10:20


#6
Ho pham thieu

Ho pham thieu

    Lính mới

  • Thành viên
  • 440 Bài viết
Ý kiến của cá nhân tôi thì Lời giải 1 chính xác.
Khi chọn lần lượt 7 học sinh ra thì đã ko sắp xếp rồi. Nên ko cần chia cho 5! nữa
Nếu thấy bài viết nào hay thì cách tốt nhất để cám ơn là hãy click vào "nút" thanks cho người đó.
I love football musics.

#7
PTH_Thái Hà

PTH_Thái Hà

    David Tennant -- Doctor Who

  • Thành viên
  • 522 Bài viết

Thầy cô cho mạn phép...
Có thể phản biện cách 1:
Công đoạn 1 ta chọn ra 7 em từ 35 em, có $C_{35}^7$ cách, giả sử $(A_1,A_2,...,A_7)$ là 1 cách chọn.
Công đoạn 2 ta chọn ra 7 em từ 28 em còn lại, có $C_{28}^7$ cách, giả sử $(A_8,A_9,...,A_{14})$ là 1 cách chọn.
Nếu theo lời giải 1, rõ ràng nếu lần 1 chọn $(A_8,A_9,...,A_{14})$ , lần 2 chọn $ (A_1,A_2,...,A_7)$ thì 2 cách chọn trên là khác nhau, mà điều này là vô lý.


2 cách chọn trên đúng là khác nhau nhưng số cách chọn 2 tập hợp trên là như nhau, bằng $C_{35}^7.C_{28}^7 $
Và như vậy thì lời giải 1 đúng
Giải nhì quốc gia. Yeah

#8
apollo_1994

apollo_1994

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 267 Bài viết

2 cách chọn trên đúng là khác nhau nhưng số cách chọn 2 tập hợp trên là như nhau, bằng $C_{35}^7.C_{28}^7 $
Và như vậy thì lời giải 1 đúng

Ta thử thay bằng bài toán đơn giản hơn sau đây:
Có bao nhiêu cách chia 4 học sinh thành 2 nhóm?
Lập luận tương tự lời giải 1 thì số cách chia sẽ là $C_4^2.C_2^2=6$ cách.
Vậy bạn có thể liệt kê đủ 6 cách ấy không?

#9
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

Thầy cô cho mạn phép...
Có thể phản biện cách 1:
Công đoạn 1 ta chọn ra 7 em từ 35 em, có $C_{35}^7$ cách, giả sử $(A_1,A_2,...,A_7)$ là 1 cách chọn.
Công đoạn 2 ta chọn ra 7 em từ 28 em còn lại, có $C_{28}^7$ cách, giả sử $(A_8,A_9,...,A_{14})$ là 1 cách chọn.
Nếu theo lời giải 1, rõ ràng nếu lần 1 chọn $(A_8,A_9,...,A_{14})$ , lần 2 chọn $ (A_1,A_2,...,A_7)$ thì 2 cách chọn trên là khác nhau, mà điều này là vô lý.
Ta thấy rằng với mỗi cách chia 35 em thành 5 nhóm $(N_1,N_2,N_3,N_4,N_5)$ thì cách 1 làm lặp lại $5!$ hoán vị của $(N_1,N_2,N_3,N_4,N_5)$. Do đó kết quả phải đem chia $5!$
Lời giải 2 là chính xác.

Lập luận của em hoàn toàn chính xác!
Lời giải 1: Rõ ràng đã đánh số thứ tự cho các nhóm để chia ra:
Bắt đầu từ nhóm 1 ( có $C_{35}^7$ cách cho nhóm 1, $C_{28}^7$ cách cho nhóm 2...) :P Có X cách
...
Bắt đầu từ nhóm nào thì cũng có X cách
Thực tế 5 nhóm được chia ra như vậy là không phân biệt thứ tự và kết quả X phải được chia 5!

Cũng theo như Ví dụ của em.
Chia {1,2,3,4} thành 2 nhóm mỗi nhóm 2 số
- Nếu 2 nhóm phân biệt sẽ có $C_4^2.C_2^2=6$ cách chia
Cụ thể:
N1......N2
(1,2)(3,4)
(1,3)(2,4)
(1,4)(2,3)
(2,3)(1,4)
(2,4)(1,3)
(3,4)(1,2)
- Nếu 2 nhóm không phân biệt thì chỉ có 6/2!=3 cách chia thôi!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 15-12-2010 - 01:06


#10
dauxuannamtp

dauxuannamtp

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Lập luận của em hoàn toàn chính xác!
Lời giải 1: Rõ ràng đã đánh số thứ tự cho các nhóm để chia ra:
Bắt đầu từ nhóm 1 ( có $C_{35}^7$ cách cho nhóm 1, $C_{28}^7$ cách cho nhóm 2...) :O Có X cách
...
Bắt đầu từ nhóm nào thì cũng có X cách
Thực tế 5 nhóm được chia ra như vậy là không phân biệt thứ tự và kết quả X phải được chia 5!

Cũng theo như Ví dụ của em.
Chia {1,2,3,4} thành 2 nhóm mỗi nhóm 2 số
- Nếu 2 nhóm phân biệt sẽ có $C_4^2.C_2^2=6$ cách chia
Cụ thể:
N1......N2
(1,2)(3,4)
(1,3)(2,4)
(1,4)(2,3)
(2,3)(1,4)
(2,4)(1,3)
(3,4)(1,2)
- Nếu 2 nhóm không phân biệt thì chỉ có 6/2!=3 cách chia thôi!

Cám ơn các bạn đã có ý kiến. Các nhóm là khác nhau nhưng không nhóm nào được xem là nhóm 1, tương tự cho nhóm 2, 3, .... Ta lấy một ví dụ cực kì đơn giản là 2 HS A và B chia làm 2 nhóm ( mỗi nhóm một học sinh) thì chỉ có một cách chia là: A một nhóm, B một nhóm. Còn theo cách giải của ý 1 thì có 2.1 = 2 cách. Nếu các bạn cần tham khảo ý kiến thì có thể vào đây http://www.math.vn/s...ead.php?t=10219

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dauxuannamtp: 04-12-2010 - 22:41


#11
nguyenhoangmi2005

nguyenhoangmi2005

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Xin cho phép tôi được nói đôi chúc về bài toán này.

Vấn đề vướn mắc ở đây không phải là cách 1 đúng hay cách 2 đúng,, mà vấn đề trở nên khó giải quyết là do đề toán không chuẩn nên chúng ta dễ bị nhầm lẫn và gây ra tranh cãi.

Trong toán học thuần túy, mọi vấn đề phải được nêu một cách rõ ràng và hợp logic, khi đó việc giải quyết vấn đề mới trở nên chính xác được.
Rõ ràng, khi chia nhóm mà không phân biệt thứ tự giữa các nhóm thì chia nhóm để làm gì. Mình chia nhóm phải biết đâu là nhóm 1, đâu là nhóm 2. Vì vậy trong đề bài chúng ta cần nêu rõ "Chia 35 học sinh thành 5 nhóm, mỗi nhóm 7 học sinh và đánh số các nhóm từ 1 đến 5", như vậy bài toán sẽ nhẹ nhàng hơn và không cần tranh cãi.

Trước đây, khi người ta cố gắng chứng minh sự tồn tại của tiên đề Ơclic có đúng hay không, hay nó chỉ là định lý mà tính đúng đắn của nó được suy ra từ các tiên đề khác. Và rồi, Lobasepsky đã làm điều ngược lại, không việc gì phải cố gắng chứng minh tiền đề Ơclic cả, mà ông ta tạo ra một thứ hình học mà trong đó tiên đề Ơclic không còn đúng nữa. Ông ta suy nghĩ vấn đề rất thoáng và tạo ra một cuộc cách mạng trong hình học, và bây giờ mình cũng nên học cách tư duy thoáng đó, không cần phải tốn nhiều thời gian cho một vấn đề không rõ ràng. Chúng ta nên dành thời gian cho một lĩnh vực khác của toán học, logic mờ (Fuzzy Logic)

Nói thì nói vậy nhưng rõ ràng là, nhờ có sự thắc mắc này, nhờ có những điều tranh cãi ở đây nên tôi rút được một bài học từ một bài toán tưởng chừng như đơn giản, nếu không ai nói ra thì tôi sẽ bị sai mà vẫn không biết. Tôi xin cảm ơn bạn đã đưa ra bài toán, một bài toán đơn giản mà hay.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhoangmi2005: 08-12-2010 - 22:40


#12
stargirl

stargirl

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết
kiểu này bữa trc thầy mới giảng cho bọn mình xong
vấn đề ở đây là chia thành 5 nhóm để làm việc gì hay chia ra 5 nhóm nhưng ko làm gì
nếu chia mà ko làm hì thì cách 2 là đúng
nếu chia ra để làm một việc gì đó thì cách 1 đúng
if i could have just one wish
I would wish to wake you up every day

#13
tuanllq

tuanllq

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Ta thử thay bằng bài toán đơn giản hơn sau đây:
Có bao nhiêu cách chia 4 học sinh thành 2 nhóm?
Lập luận tương tự lời giải 1 thì số cách chia sẽ là $C_4^2.C_2^2=6$ cách.
Vậy bạn có thể liệt kê đủ 6 cách ấy không?

Giả sử bốn ban đó tên là A, B, C, D. Khi đó 6 cách chia 4 HS thành 2 nhóm lần lượt là
Cách 1: Nhóm I(AB), nhóm II(CD)
Cách 2: Nhóm I(AC), nhóm II(BD)
Cách 3: Nhóm I(AD), nhóm II(BC)
Cách 4: Nhóm I(BC), nhóm II(AD)
Cách 5: Nhóm I(BD), nhóm II(AC)
Cách 6: Nhóm I(CD), nhóm II(AB)
Ở đây, nếu phân biệt nhóm I(AB) khác nhóm II(AB) thì ta có 6 cách. Nếu không phân biệt chỉ có 3 cách mà thôi.

#14
nguyen_dung

nguyen_dung

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
Vấn đề đặt ra vẫn là bài toán hiểu theo thế nào?
Ví dụ của bạn nào đó nói chia 2 người thành 2 nhóm, xin bình luận đôi chút :in
Nếu đặt tên nhóm là A và B thì sẽ có 2 cách chia :
thằng 1 ở nhóm A, thằng 2 ở nhóm B
thằng 1 ở nhóm B, thằng 2 ở nhóm A
Còn nếu không đặt tên nhóm thì chỉ có 1 cách chia :)
Một vấn đề cốt lõi của tổ hợp, chỉnh hợp là sự có thứ tự.
Bài giải của ý kiến 1 là cho rằng, sự sắp xếp là có thứ tự, vì vậy mà kết quả sẽ lớn hơn ý kiến 2 - cho rằng sắp xếp không có thứ tự.
Còn mặc định thì với đề bài như thế, ý kiến 2 là chính xác :sum

#15
Messi_ndt

Messi_ndt

    Admin batdangthuc.com

  • Thành viên
  • 679 Bài viết

Thầy cô cho mạn phép...
Có thể phản biện cách 1:
Công đoạn 1 ta chọn ra 7 em từ 35 em, có $C_{35}^7$ cách, giả sử $(A_1,A_2,...,A_7)$ là 1 cách chọn.
Công đoạn 2 ta chọn ra 7 em từ 28 em còn lại, có $C_{28}^7$ cách, giả sử $(A_8,A_9,...,A_{14})$ là 1 cách chọn.
Nếu theo lời giải 1, rõ ràng nếu lần 1 chọn $(A_8,A_9,...,A_{14})$ , lần 2 chọn $ (A_1,A_2,...,A_7)$ thì 2 cách chọn trên là khác nhau, mà điều này là vô lý.
Ta thấy rằng với mỗi cách chia 35 em thành 5 nhóm $(N_1,N_2,N_3,N_4,N_5)$ thì cách 1 làm lặp lại $5!$ hoán vị của $(N_1,N_2,N_3,N_4,N_5)$. Do đó kết quả phải đem chia $5!$
Lời giải 2 là chính xác.

Mình cho như vậy là hoàn toàn đúng. Sắp xếp các nhóm được đánh số chẳng hạn.
Dề bài chỉ cho như vậy thì thì Ý kiến 2 đúng.

#16
quyenbg2011

quyenbg2011

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết
khi đầu bài cho như vậy ta có thể thấy ngay là 5 nhóm không đánh thứ tự. vd như chia 4 học sinh a1, a2, a3, a4 thành 2 nhóm thì ta thấy ngay là: (a1,a2), (a1,a3), (a1,a4), (a3,a2), (a4,a2), (a3,a4) ! như vậy trong mỗi nhóm ko cần phân biệt thứ tự và vai trò học sinh như nhau! trong cách trọn ngẫu nhiên từng bước (bất kì) đã t/m bài toán. Như vậy cách 2 là hiểu sai vấn đề thôi !

#17
quyenbg2011

quyenbg2011

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết

khi đầu bài cho như vậy ta có thể thấy ngay là 5 nhóm không đánh thứ tự. vd như chia 4 học sinh a1, a2, a3, a4 thành 2 nhóm thì ta thấy ngay là: (a1,a2), (a1,a3), (a1,a4), (a3,a2), (a4,a2), (a3,a4) ! như vậy trong mỗi nhóm ko cần phân biệt thứ tự và vai trò học sinh như nhau! trong cách trọn ngẫu nhiên từng bước (bất kì) đã t/m bài toán. Cách 2 như vậy là đúng! bởi lẽ phân tích trên là chính xác



#18
apollo_1994

apollo_1994

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 267 Bài viết

khi đầu bài cho như vậy ta có thể thấy ngay là 5 nhóm không đánh thứ tự. vd như chia 4 học sinh a1, a2, a3, a4 thành 2 nhóm thì ta thấy ngay là: (a1,a2), (a1,a3), (a1,a4), (a3,a2), (a4,a2), (a3,a4) ! như vậy trong mỗi nhóm ko cần phân biệt thứ tự và vai trò học sinh như nhau! trong cách trọn ngẫu nhiên từng bước (bất kì) đã t/m bài toán. Như vậy cách 2 là hiểu sai vấn đề thôi !


Bạn xem lại xem liệt kê như thế là 6 cách hay 3 cách? ;)

#19
dauxuannamtp

dauxuannamtp

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Bạn xem lại xem liệt kê như thế là 6 cách hay 3 cách? image003.gif

lâu rồi không đọc lại vấn đề này. Bữa nay rảnh đọc lại thấy nhiều tranh luận thú vị, và cũng không ít người đã mắc sai lầm là chọn đáp án một. Trong đề thi thử THPT quốc gia của Tây Ninh có câu tương tự. Và cũng rất may là đáp án làm theo hướng của đáp án 2.



#20
QuangTan

QuangTan

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết

Xin cho phép tôi được nói đôi chúc về bài toán này.

Vấn đề vướn mắc ở đây không phải là cách 1 đúng hay cách 2 đúng,, mà vấn đề trở nên khó giải quyết là do đề toán không chuẩn nên chúng ta dễ bị nhầm lẫn và gây ra tranh cãi.

Trong toán học thuần túy, mọi vấn đề phải được nêu một cách rõ ràng và hợp logic, khi đó việc giải quyết vấn đề mới trở nên chính xác được.
Rõ ràng, khi chia nhóm mà không phân biệt thứ tự giữa các nhóm thì chia nhóm để làm gì. Mình chia nhóm phải biết đâu là nhóm 1, đâu là nhóm 2. Vì vậy trong đề bài chúng ta cần nêu rõ "Chia 35 học sinh thành 5 nhóm, mỗi nhóm 7 học sinh và đánh số các nhóm từ 1 đến 5", như vậy bài toán sẽ nhẹ nhàng hơn và không cần tranh cãi.

Trước đây, khi người ta cố gắng chứng minh sự tồn tại của tiên đề Ơclic có đúng hay không, hay nó chỉ là định lý mà tính đúng đắn của nó được suy ra từ các tiên đề khác. Và rồi, Lobasepsky đã làm điều ngược lại, không việc gì phải cố gắng chứng minh tiền đề Ơclic cả, mà ông ta tạo ra một thứ hình học mà trong đó tiên đề Ơclic không còn đúng nữa. Ông ta suy nghĩ vấn đề rất thoáng và tạo ra một cuộc cách mạng trong hình học, và bây giờ mình cũng nên học cách tư duy thoáng đó, không cần phải tốn nhiều thời gian cho một vấn đề không rõ ràng. Chúng ta nên dành thời gian cho một lĩnh vực khác của toán học, logic mờ (Fuzzy Logic)

Nói thì nói vậy nhưng rõ ràng là, nhờ có sự thắc mắc này, nhờ có những điều tranh cãi ở đây nên tôi rút được một bài học từ một bài toán tưởng chừng như đơn giản, nếu không ai nói ra thì tôi sẽ bị sai mà vẫn không biết. Tôi xin cảm ơn bạn đã đưa ra bài toán, một bài toán đơn giản mà hay.

Tôi đồng ý với ý kiến của bạn này. Thực ra một đề bài tổ hợp chuẩn cần phải nói rõ: Thế nào được coi là 2 cách khác nhau. Nếu không nói rõ điều này thì rất dẫn đến học sinh có cách nhìn nhận khác nhau và ra đáp án khác nhau. Để lấy ví dụ minh họa tôi đưa ra 2 đề bài mà tôi coi là chuẩn để trao đổi cùng các bạn:
 
Đề bài 1. (VMO 2012) Cho một nhóm gồm 5 cô gái, kí hiệu là $G_1, G_2, G_3, G_4, G_5$, và 12 chàng trai. Có 17 chiếc ghế được xếp thành một hàng ngang. Người ta xếp nhóm người đã cho ngồi vào các chiếc ghế đó sao cho các điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn:
1/ Mỗi ghế có đúng một người ngồi;
2/ Thứ tự ngồi của các cô gái, xét từ trái qua phải, là $G_1, G_2, G_3, G_4, G_5$;
3/ Giữa $G_1$ và $G_2$ có ít nhất 3 chàng trai;
4/ Giữa $G_4$ và $G_5$ có ít nhất 1 chàng trai và nhiều nhất 4 chàng trai.
Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp như vậy? Hai cách xếp được coi là khác nhau nếu tồn tại một chiếc ghế mà người ngồi ở chiếc ghế đó trong hai cách xếp là khác nhau.
 
Đề bài 2. [Titu Andreescu] In how many ways can one arrange 5 indistinguishable armchairs and 5 indistinguishable armless chairs around a circular table? Here two arrangements are considered the same if one can be obtained from the other by rotation.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuangTan: 18-06-2016 - 22:24





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh