Chủ đề này có 1 trả lời

[trungttq]

Mong các thầy cô giải giúp tôi bài này, tôi dẫ thử nhiều cách khác nhau nhưng chưa làm đuợc
Cho a,b,c >0 và a+b+c =3,
chứng minh rằng a/(b^2+1)+ b/(c^2+1)+c/(a^2+1)>=3/2

[girl9xpro]

Mong các thầy cô giải giúp tôi bài này, tôi dẫ thử nhiều cách khác nhau nhưng chưa làm đuợc
Cho a,b,c >0 và a+b+c =3,
chứng minh rằng $\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}\geq \dfrac{3}{2}$

Ta có :
$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)$
=>ab+bc+ca 3
$\dfrac{a}{b^2+1}=\dfrac{a+ab^2-ab^2}{b^2+1}=a-\dfrac{ab^2}{b^2+1}\geq a-\dfrac{ab}{2}$
Tương tự
$\dfrac{b}{c^2+1}\geq b-\dfrac{bc}{2}$
$\dfrac{c}{a^2+1}\geq b-\dfrac{ca}{2}$
Cộng 3 bất đẳng thức trên :
$\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}\geq \dfrac{3}{2}$
$a+b+c-\dfrac{1}{2}(ab+bc+ca)$
$=3-\dfrac{1}{2}(ab+bc+ca)$
$\geq \dfrac{3}{2}$
(đpcm)
Dấu đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1
P/s: Chú ý latex ạ