Gọi tâm đường tròn là $O$.Dựng hệ trục tọa độ $Oxy$.Gọi giao của đường tròn với các tia $Oy$ và $Ox$ lần lượt là $A$ và $B$.
Chỗ sai của ngụy biện này là cho rằng khi số đoạn của đường gấp khúc tăng đến vô hạn thì chu vi đường gấp khúc bằng chu vi đường tròn.Thực ra không phải như vậy.
Chu vi đường gấp khúc lúc nào cũng bằng $4$.
Còn chu vi đường tròn (ký hiệu $C$) tính thế nào đây ???
Ta hãy tính độ dài cung $AB$ (bằng tích phân) rồi nhân $4$ sẽ được chu vi đường tròn.
Bán kính đường tròn là $\frac{1}{2}\Rightarrow$ phương trình của cung $AB$ là $y=\sqrt{\frac{1}{4}-x^2}$
Gọi đường gấp khúc từ $A$ đến $B$ là $A_0B_0A_1B_1A_2B_2...A_{n-1}B_{n-1}A_n$ ($A_0\equiv A$ ; $A_n\equiv B$)
Các điểm $A_k$ nằm trên đường tròn và có tọa độ $(x_k,y_k)$
Độ dài cung $AB$ chính là giới hạn của độ dài đường gấp khúc $A_0A_1...A_n$ (chứ không phải đường gấp khúc ở trên) khi $n \to \infty$ (và độ dài cạnh lớn nhất của nó dần đến $0$)
Ta có $A_{i-1}A_i=\sqrt{A_{i-1}B_{i-1}^2+B_{i-1}A_i^2}=\sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(y_i-y_{i-1})^2}=\sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2}$
Mà theo định lý Lagrange thì $\Delta y_i=\Delta x_i.y'(\xi _i)$ ($\xi _i\in (x_{i-1};x_i)$)
$\Rightarrow A_{i-1}A_i=\sqrt{1+y'^2(\xi _i)}.\Delta x_i$
Độ dài đường gấp khúc $A_0A_1...A_n$ là $\sum_{i=1}^{n}\sqrt{1+y'^2(\xi _i)}\Delta x_i$
Độ dài $l$ của cung $AB$ là :
$l=\lim_{max\ \Delta x_i \to 0}\sum_{i=1}^{n}\sqrt{1+y'^2(\xi _i)}\Delta x_i=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\sqrt{1+y'^2(x)}dx$
$=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}-x^2}}\ dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{dx}{\sqrt{\frac{1}{4}-x^2}}=\frac{1}{2}.\left [ \arcsin2x \right ]_0^{\frac{1}{2}}=\frac{\pi }{4}$
$\Rightarrow$ chu vi đường tròn là $C=4l=\pi$.
Vậy :
Chu vi đường gấp khúc (trong hình của thầy Thế) là $4$.
Chu vi đường tròn là $\pi$.
Không có cơ sở để nói "$\pi=4$".
---------------------------------------------------------
(Nếu có thể, nhờ thầy Thế vẽ giúp cái hình minh họa.Cảm ơn nhiều )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 24-08-2016 - 21:39