Đến nội dung

Hình ảnh

$\pi=4$?


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 24 trả lời

#21
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Gọi tâm đường tròn là $O$.Dựng hệ trục tọa độ $Oxy$.Gọi giao của đường tròn với các tia $Oy$ và $Ox$ lần lượt là $A$ và $B$.

Chỗ sai của ngụy biện này là cho rằng khi số đoạn của đường gấp khúc tăng đến vô hạn thì chu vi đường gấp khúc bằng chu vi đường tròn.Thực ra không phải như vậy.

Chu vi đường gấp khúc lúc nào cũng bằng $4$.

Còn chu vi đường tròn (ký hiệu $C$) tính thế nào đây ???

Ta hãy tính độ dài cung $AB$ (bằng tích phân) rồi nhân $4$ sẽ được chu vi đường tròn.

Bán kính đường tròn là $\frac{1}{2}\Rightarrow$ phương trình của cung $AB$ là $y=\sqrt{\frac{1}{4}-x^2}$

Gọi đường gấp khúc từ $A$ đến $B$ là $A_0B_0A_1B_1A_2B_2...A_{n-1}B_{n-1}A_n$ ($A_0\equiv A$ ; $A_n\equiv B$)

Các điểm $A_k$ nằm trên đường tròn và có tọa độ $(x_k,y_k)$

Độ dài cung $AB$ chính là giới hạn của độ dài đường gấp khúc $A_0A_1...A_n$ (chứ không phải đường gấp khúc ở trên) khi $n \to \infty$ (và độ dài cạnh lớn nhất của nó dần đến $0$)

Ta có $A_{i-1}A_i=\sqrt{A_{i-1}B_{i-1}^2+B_{i-1}A_i^2}=\sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(y_i-y_{i-1})^2}=\sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2}$

Mà theo định lý Lagrange thì $\Delta y_i=\Delta x_i.y'(\xi _i)$ ($\xi _i\in (x_{i-1};x_i)$)

$\Rightarrow A_{i-1}A_i=\sqrt{1+y'^2(\xi _i)}.\Delta x_i$

Độ dài đường gấp khúc $A_0A_1...A_n$ là $\sum_{i=1}^{n}\sqrt{1+y'^2(\xi _i)}\Delta x_i$

Độ dài $l$ của cung $AB$ là :

$l=\lim_{max\ \Delta x_i \to 0}\sum_{i=1}^{n}\sqrt{1+y'^2(\xi _i)}\Delta x_i=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\sqrt{1+y'^2(x)}dx$

$=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}-x^2}}\ dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{dx}{\sqrt{\frac{1}{4}-x^2}}=\frac{1}{2}.\left [ \arcsin2x \right ]_0^{\frac{1}{2}}=\frac{\pi }{4}$

$\Rightarrow$ chu vi đường tròn là $C=4l=\pi$.

 

Vậy :

Chu vi đường gấp khúc (trong hình của thầy Thế) là $4$.

Chu vi đường tròn là $\pi$.

Không có cơ sở để nói "$\pi=4$".

 

---------------------------------------------------------

(Nếu có thể, nhờ thầy Thế vẽ giúp cái hình minh họa.Cảm ơn nhiều  :D )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 24-08-2016 - 21:39

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#22
vo ke hoang

vo ke hoang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

Mình có nói đường tròn có bề dày đâu

thế à, theo mình thì cái zích zắc quan đường tròn có dày đấy!


:icon10:  :icon10:  :icon10: If i can see further it is by standing on the shoulders of giants. :icon10:  :icon10:  :icon10: 

                        (Issac Newton)


#23
vo ke hoang

vo ke hoang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

Em rất mong lần này mình sẽ đúng:
Ta có: Nếu giả thiết đề bài cho là đúng => pi=4 => S hình tròn = r.r.4 = 0,5.0,5.4 = 1
Mà trong khi đó S hình vuông = 1.1 =1
=> S cắt đi là: 1-1=0 => Vô lý => Giả thiết đề bài đặt ra là sai!

điều quan trọng là cái phép tính đó sai chổ nào chứ ai chả biết nó sai pi luôn = 3.1415926535897932384626433... :ukliam2:

PS mình nghĩ mình biết đấy, đọc mấy cái trên đi! :lol:


:icon10:  :icon10:  :icon10: If i can see further it is by standing on the shoulders of giants. :icon10:  :icon10:  :icon10: 

                        (Issac Newton)


#24
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

Gọi tâm đường tròn là $O$.Dựng hệ trục tọa độ $Oxy$.Gọi giao của đường tròn với các tia $Oy$ và $Ox$ lần lượt là $A$ và $B$.

Chỗ sai của ngụy biện này là cho rằng khi số đoạn của đường gấp khúc tăng đến vô hạn thì chu vi đường gấp khúc bằng chu vi đường tròn.Thực ra không phải như vậy.

Chu vi đường gấp khúc lúc nào cũng bằng $4$.

Còn chu vi đường tròn (ký hiệu $C$) tính thế nào đây ???

Ta hãy tính độ dài cung $AB$ (bằng tích phân) rồi nhân $4$ sẽ được chu vi đường tròn.

Bán kính đường tròn là $\frac{1}{2}\Rightarrow$ phương trình của cung $AB$ là $y=\sqrt{\frac{1}{4}-x^2}$

Gọi đường gấp khúc từ $A$ đến $B$ là $A_0B_0A_1B_1A_2B_2...A_{n-1}B_{n-1}A_n$ ($A_0\equiv A$ ; $A_n\equiv B$)

Các điểm $A_k$ nằm trên đường tròn và có tọa độ $(x_k,y_k)$

Độ dài cung $AB$ chính là giới hạn của độ dài đường gấp khúc $A_0A_1...A_n$ (chứ không phải đường gấp khúc ở trên) khi $n \to \infty$ (và độ dài cạnh lớn nhất của nó dần đến $0$)

Ta có $A_{i-1}A_i=\sqrt{A_{i-1}B_{i-1}^2+B_{i-1}A_i^2}=\sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(y_i-y_{i-1})^2}=\sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2}$

Mà theo định lý Lagrange thì $\Delta y_i=\Delta x_i.y'(\xi _i)$ ($\xi _i\in (x_{i-1};x_i)$)

$\Rightarrow A_{i-1}A_i=\sqrt{1+y'^2(\xi _i)}.\Delta x_i$

Độ dài đường gấp khúc $A_0A_1...A_n$ là $\sum_{i=1}^{n}\sqrt{1+y'^2(\xi _i)}\Delta x_i$

Độ dài $l$ của cung $AB$ là :

$l=\lim_{max\ \Delta x_i \to 0}\sum_{i=1}^{n}\sqrt{1+y'^2(\xi _i)}\Delta x_i=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\sqrt{1+y'^2(x)}dx$

$=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}-x^2}}\ dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{dx}{\sqrt{\frac{1}{4}-x^2}}=\frac{1}{2}.\left [ \arcsin2x \right ]_0^{\frac{1}{2}}=\frac{\pi }{4}$

$\Rightarrow$ chu vi đường tròn là $C=4l=\pi$.

 

Vậy :

Chu vi đường gấp khúc (trong hình của thầy Thế) là $4$.

Chu vi đường tròn là $\pi$.

Không có cơ sở để nói "$\pi=4$".

 

---------------------------------------------------------

(Nếu có thể, nhờ thầy Thế vẽ giúp cái hình minh họa.Cảm ơn nhiều  :D )

Để chứng minh một điều thì dễ hơn nhiều so với việc giải thích 1 nghịch lý bạn ak


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#25
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Để chứng minh một điều thì dễ hơn nhiều so với việc giải thích 1 nghịch lý bạn ak

Thì mình đã giải thích (tức là đã chỉ ra chỗ sai) rồi đấy ! Nó ở trong câu này :

"Chỗ sai của ngụy biện này là cho rằng khi số đoạn của đường gấp khúc tăng đến vô hạn thì chu vi đường gấp khúc bằng chu vi đường tròn"

 

Xin nói thêm cho rõ hơn :

Giả sử đường gấp khúc trên hình vẽ là $A_0B_0A_1B_1...A_nB_nA_0$ trong đó các điểm $A_0,A_1,...,A_n$ nằm trên đường tròn (ta gọi đường gấp khúc này là "đường gấp khúc $1$")

Ta gọi đường gấp khúc $A_0A_1A_2...A_nA_0$ là "đường gấp khúc $2$"

Khi $n$ tăng đến vô hạn thì độ dài của đường gấp khúc $1$ tiến đến $4$ (lúc nào nó cũng bằng $4$)

                                        còn độ dài đường gấp khúc $2$ tiến đến $\pi$

Và khi $n$ tăng đến vô hạn thì độ dài đường gấp khúc $2$ (chứ không phải đường gấp khúc $1$) bằng chu vi đường tròn.

Vậy nên không có cơ sở nói rằng $\pi=4$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh