Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: abc=1, chứng minh rằng:
$ab^2+bc^2+ca^2\ge ab+bc+ca$
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: abc=1, chứng minh rằng:
$ab^2+bc^2+ca^2\ge ab+bc+ca$
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: abc=1, chứng minh rằng:
$ab^2+bc^2+ca^2\ge ab+bc+ca$
Đổi biến $(a,b,c)->(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a})$ Bất đẳng thức trở thành
$\sum \frac{a^{2}}{bc}\geq \sum \frac{a}{c}\Leftrightarrow \sum a^{3}\geq \sum a^{2}b$ hiển nhiên là AM-GM
Cho a,b,c >0, thỏa abc=1. CMR:
$(a+b)(b+c)(c+a)\geq 4(a+b+c-1)$
Có bạn nào làm được mà ngoài cách dồn biến không?
Ta dễ dàng có đánh giá quen thuộc:
$(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$
Đưa bài toán về chứng minh kết quả mạnh hơn là:
$\frac{2}{9}(ab+bc+ca)+\frac{1}{a+b+c}\geq 1$
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
$\frac{2}{9}(ab+bc+ca)+\frac{1}{a+b+c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(ab+bc+ca)^{2}}{81(a+b+c)}}\geq 1$
Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c =1.
Ta dễ dàng có đánh giá quen thuộc:
$(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$
Đưa bài toán về chứng minh kết quả mạnh hơn là:
$\frac{2}{9}(ab+bc+ca)+\frac{1}{a+b+c}\geq 1$
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
$\frac{2}{9}(ab+bc+ca)+\frac{1}{a+b+c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(ab+bc+ca)^{2}}{81(a+b+c)}}\geq 1$
Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c =1.
Cách mình nhìn có vẻ tương tương cách Tăng:
BĐT đã cho có thể viết dưới dạng $(a+b+c)(ab+bc+ca)+3\geq4(a+b+c)$
Chia cả 2 vế BĐT đã cho ta được:
$ab+bc+ca+\frac{3}{a+b+c}\geq4$
Lại có $3abc(a+b+c)\leq(ab+bc+ca)^2$
Do đó ta chỉ cần CM BĐT sau:
$ab+bc+ca+\frac{9}{(a+b+c)^2}\geq4$
Đơn giản hóa ta đặt ab+bc+ca=t ( $t\geq3$ )
Quy về CM BĐT $t+\frac{9}{t^2}\geq4$
BĐT này có thể cm dễ dàng dựa vào tách AM-GM
AQ02
Đề bài: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : $ab+bc+ca=1$
CMR : $\sum\frac{1+a^2b^2}{(a+b)^2}\geq\frac{5}{2}$
AQ02
(Đề chọn ĐT Chuyên Phan Bội Châu 2014)
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thay đổi sao cho $xyz=1$. Chứng minh rằng:
$\sum \sqrt[3]{\frac{x+y}{2z}} \leq \frac{5(x+y+z)+9}{8}$
$\mathbb{VTL}$
Giúp mình bài này với:
Cho a;b;c dương thỏa mãn a+b+c=ab+bc+ca.
CMR: $\sum \frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}\leq 3$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh