Chủ đề này có 2 trả lời

[Zaraki]

Một nét đẹp trong Toán học : Công thức Stokes

Được viết bởi Michèle Audin, ngày 30 tháng sáu 2009
Giáo sư Đại học Strasbourg (trang cá nhân)

Tính thẩm mỹ

Ta có thể tìm thấy một công thức Toán học đẹp, có thẩm mỹ mà không cần phải hiểu ý nghĩa của nó. Cũng giống như việc ta thích nghe một bản công-xéc-tô cho violon mà không cần hiểu những ý tưởng hay quy tắc mà theo đó nó được soạn. Đây là một mẫu của dấu tích phân

với đường cong duyên dáng của nó, giống như chữ S của đàn violon

được ghép với những "phân số đẹp" của những ký hiệu $\partial$ hay $d$ mềm mại...

$\int\int_{\Omega}\left(\dfrac{\partial Q}{ \partial x }- \dfrac{\partial P}{ \partial y}\right)dx dy = \int_{C} P dx + \int_{C} Q dy$

Công thức này được gọi là công thức Green hoặc công thức Green-Riemann. Một công thức khác có tên công thức Green-Ostrogradsky hoặc công thức Ostrogradsky :

$\int \int \int_V div F . dV = \int\int_S F . dS$

mà tôi đã học ở cách đây rất lâu trong một khóa học về điện từ học : công thức này cho phép tính le flux d’un champ électrique (có lẽ dịch là : thông lượng của điện trường ) xuyên qua một mặt. Công thức này cũng chính là nội dung một định luật của Gauss.

Truyền thuyết kể lại rằng : những bản ghi chép được cho bởi Ostrogradsky đã giúp phủ kín tường của căn phòng trẻ con của một bé gái người Nga, người mà vẫn chưa được gọi là Sofia Kovalevskaya ... và sau trở thành một nữ toán học. Chắn chắn cô bé đã nghĩ ngợi khi nhìn những công thức đó. Chắc chắn cô thấy nó đẹp. Sự quen thuộc với những công thức mà cô không hiểu phải chăng đã ảnh hưởng đến sở thích Toán học của cô ?

Vào thời gian đó, George Gabriel Stokes, một người Anh, đã là một nhà Toán học rất nổi tiếng và được thừa nhận, giáo sư ở Cambridge, được phong Giáo sư giống như Isaac Newton đã giữ ở thời của ông... Đó là một nhà Toán học và là một nhà Vật lý. �”ng chắc chắn đã nghĩ đến những công thức này. Tôi không biết ông đã viết chúng dưới dạng nào, nhưng chắc chắn nó giống như

$\int\int_S rot F . dS = \int_C F. dn$

Cái mà chúng ta ngày nay gọi là công thức Stokes được viết dưới dạng khá đơn giản :

$\int_V d\omega = \int_{\partial V}\omega$

Giản dị hơn nhiều, phải không ?

Nhân tiện nói thêm : Một trường hợp đặc biệt của công thức Stokes, cái đơn giản nhất :

$\int_a^b f'(x)dx = f(b)-f(a)$

Trong các nước anglo-saxon, người ta gọi công thức này là định lý cơ bản của phép tính vi phân. Các trường trung học phổ thông chuyên của Pháp không gọi như vậy, nhưng học chúng vào cuối cấp.

Vẻ đẹp trừu tượng

Quay trở lại công thức Stokes với "$d\omega$". Một trong những đặc tính của công thức này chính là nó chứa tất cả những gì tôi đã viết ở trên. Đó cũng là một trong những vẻ đẹp của nó. Sự đơn giản và tính tổng quát. Để viết như vậy, cần phải tìm ra :

• cái gì cho phép chuyển từ $Pdx + Qdy$ trong công thức Green đến $d\omega$ trong công thức Stokes.
• cái gì cho phép chuyển từ $\omega$ sang $d\omega$
• và từ $V$ sang $\partial V$...

Đó là Toán học của thế kỷ 20.

Vẻ đẹp của công thức, ít hào nhoáng hơn, bí mật hơn nhưng thực chất, trở nên trừu tượng hơn, dựa trên sự chuyển từ $d$ ở bên vế trái, sang $\partial$ ở bên vế phải.



Nguồn: Mathscope

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 04-07-2011 - 11:12

[Zaraki]

công thức Green hoặc công thức Green-Riemann,công thức này đẹp đến mức tính thông lượng điện từ của ống dây (ở phổ thông gọi là từ thông). Nếu tính cái đó theo biểu diễn toán học được hàm số rất phức tạp.Nhưng kết quả chỉ cần nhìn vào hình học là có thể cho kết quả.Nhưng kết quả hay nhất theo mình là tính được dòng điện từ bề mặt ống dây này sang mặt ống dây kia khi có dòng điện đi qua.Gọi là hiệu ứng hall,dòng điện tuy nhỏ nhưng người ta có thể đo dc.Tôi có may mắn được học chút vật lý(ngày ấy hãy còn học giai đoạn).Nó còn được dùng trong cả phương trình nhiệt động học(Entropy)(lý thuyết chết của vũ trụ).Quả là công thức Green hoặc công thức Green-Riemann thật tuyệt vời,nếu chỉ dùng thuần túy kiến thức toán thuần túy dẫn đến kết quả vừa chậm mà không tin tưởng
công thức Green hoặc công thức Green-Riemann,công thức này bản thân Green không chứng minh ,chỉ đưa ra và đăng lên các tạp chí như bài toán là thách đấu.Sau này tạp chí đó có 3 cách chứng minh công thức này (có nghĩa bản thân Green không chứng minh nó).Người ta thấy công thức này là kết quả rất tự nhiên khi nghiên cứu về Hình học vi phân.

[dark templar]

Nhân tiện nói thêm : Một trường hợp đặc biệt của công thức Stokes, cái đơn giản nhất :

$\int_a^b f'(x)dx = f(b)-f(a)$

Trong các nước anglo-saxon, người ta gọi công thức này là định lý cơ bản của phép tính vi phân. Các trường trung học phổ thông chuyên của Pháp không gọi như vậy, nhưng học chúng vào cuối cấp.

Cái công thức còn gọi tên là công thức Niu-tơn & Lai-bơ-nít.Đây cũng chính là khái niệm thông dụng nhất về tích phân.(Tích phân là hiệu nguyên hàm ).
Còn cái $\omega$ có phải là tốc độ góc không vậy ?
P/s:Toàn,anh thấy hình như bài này lấy bên MS phải không? .Nếu quả thật em lấy từ bên đó thì nhớ ghi rõ nguồn là "lấy từ Mathscope" nhé.Chứ không mấy bác mod bên đó bảo mình "ăn cắp không xin phép" bài viết của họ đấy.