Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 19-08-2011 - 17:00.
Topic: Các bài toán về tính chia hết
#1
Posted 05-07-2011 - 16:35
- Yagami Raito, Khanh 6c Hoang Liet, trandaiduongbg and 8 others like this
#2
Posted 05-07-2011 - 18:57
Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 19-08-2011 - 17:01.
- nhungvienkimcuong, ZzThuyDuongzZ and TrinhHoangVu like this
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#3
Posted 06-07-2011 - 08:22
Điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 17 là tổng của 3 lần chữ số hàng chục và 2 lần chữ số hàng đơn vị của số đó chia hết cho 17 (Thanks).
Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 19-08-2011 - 17:02.
Học gõ công thức toán học tại đây
Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây
Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây
--------------------------------------------------------------
#4
Posted 06-07-2011 - 08:54
Bài 2:
Giải:
Giả sử N gồm a chục, b đơn vị : $N = 10a + b$ trong đó a, b là các chữ số khác 0. Ta cần chứng minh: N chia hết cho 17 khi và chỉ khi số $ M = 3a + 2b$ chia hết cho 17
Ta có :
$ M + 17a = 3a + 2b + 17a = 2(10a+b) = 2N$
- Nếu N chia hết 17 thi 2N chia hết cho 17, do đó M + 17a chia hết cho 17, suy ra M chia hét cho 17 (đpcm)Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 19-08-2011 - 17:05.
- Cao thu, zmf94, grigoriperelmanlapdi and 1 other like this
Học gõ công thức toán học tại đây
Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây
Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây
--------------------------------------------------------------
#5
Posted 06-07-2011 - 15:21
Nhưng p là số nguyên tố lớn hơn 5 cơ mà, không nhất thiết p = 11, phải tổng quát.Như ta đã biết dấu hiệu chia hết cho 11, ta dễ dàng tìm được một số gồm toàn chữ số 1 thỏa mãn đề bài.
Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 19-08-2011 - 17:05.
#6
Posted 06-07-2011 - 15:27
Tổng 95 số tự nhiên khác 0 đúng bằng 1995. Hỏi UCLN của 95 số đó là bao nhiêu?
Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 19-08-2011 - 17:06.
#7
Posted 06-07-2011 - 17:20
Ta xét các số sau: $11;111;1111;....;\underbrace {11..11}_{p + 1}$ thì có p+1 số như vậy.Bài 1. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. CMR: Luôn tồn tại 1 số tự nhiên gồm toàn chữ số 1 chia hết p
Lấy p+1 số đó chia cho p, thì theo nguyên lý Đirichlê, tồn tại 2 số có cùng dư khi chia cho p. Tính hiệu 2 số đó, ta có:
$\underbrace {11..11}_m\underbrace {00..00}_n \vdots p$
$ \Leftrightarrow \underbrace {11..11}_m.10^n \vdots p$
do p là số nguyên tố nên
$\left[ \begin{array}{l} \underbrace {11..11}_m \vdots p \\ 10^n \vdots p \\ \end{array} \right.$
Mà p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên $10^n \not \vdots p$. Suy ra đpcm.
Phải là tìm GTLN của UCLN có 95 số đó chứ nhỉBài 3:
Tổng 95 số tự nhiên khác 0 đúng bằng 1995. Hỏi UCLN của 95 số đó là bao nhiêu
Nếu vậy thì làm như sau:
Gọi 95 số đó theo thứ tự bé đến lớn là:
$a_1 ;a_2 ;...;a_{95} $
$ \Rightarrow 95a_1 \le a_1 + a_2 + ... + a_{95} = 1995 \Rightarrow a_1 \le 21$
Gọi $d = UCLN\left( {a_1 ;a_2 ;...;a_{95} } \right) \Rightarrow d \le a_1 \le 21$
Dễ thấy $1995 \vdots d \Rightarrow d \in U\left( {1995} \right)$
Từ đây ta có $maxd=21 \Leftrightarrow a_1=a_2=...=a_{95}=21$
Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 19-08-2011 - 17:08.
- C a c t u s, synovn27, Rias Gremory and 2 others like this
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#8
Posted 12-07-2011 - 15:00
Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 19-08-2011 - 17:08.
- Yagami Raito likes this
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#9
Posted 13-07-2011 - 16:12
$n \ge 1 \Rightarrow 2^{n+1} \ge 4 \Rightarrow 2^{n+1} \vdots 4 \Rightarrow 2^{n+1}=4k(k \in \mathsub{N})$
$\Rightarrow P= 2^{2^{n+1}}-1=2^{4t}-1=16^t-1 \vdots 16-1 \vdots 15$
Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 19-08-2011 - 17:09.
- Le thanh tri dai likes this
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#10
Posted 13-07-2011 - 16:49
$2^{\2^{n+1}}-1 = 2^{(\2^{n+1})}-1= 2^{(\2^n.2)}-1= (2^{2})^{2n}-1$
$=\4^{2n}-1=\(4^{n})^2-1=\(4^n-1)(4^n+1)$
Dễ dàng nhận thấy $4^n$ không chia hết cho 3 $\Rightarrow (4^n-1)(4^n+1)$ chia hết cho 3. (1)
Mặt khác $4^n$ tận cùng bằng 4;6 nên $(4^n-1)(4^n+1)$ chia hết cho 5 (2)
Từ (1) &(2) suy ra điều phải chứng minh
Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 19-08-2011 - 18:54.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#11
Posted 23-07-2011 - 19:00
$ 5^{2n-1}.2^{n+1} + 3^{n+1}.2^{2n-1} $ chia hết cho $38$.
Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 19-08-2011 - 19:02.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#12
Posted 24-07-2011 - 13:41
Vì n > 0 nên ta đặt $ n = k+1 (k \ge 0)$Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n>0$ ta luôn có
$ 5^{2n-1}.2^{n+1} + 3^{n+1}.2^{2n-1} $ chia hết cho $38$.
Thay n = k+1 vào n ta có biểu thức tương đương với: $ 5^{2k+1}.2^{k+2} + 3^{k+2}.2^{2k+1}= 50^{k}.20+ 12^{k}.18 \equiv 12^{k} .1+ 12^{k}.(-1)(mod19)$
Từ đây ta thấy k chẵn hay lẻ đều đồng dư với 0(mod19)
Ta có$ 5^{2n-1}.2^{n+1} + 3^{n+1}.2^{2n-1} \vdots 2$
Vậy $ 5^{2n-1}.2^{n+1} + 3^{n+1}.2^{2n-1} \vdots 38((2,19)=1)$
Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 19-08-2011 - 19:05.
- thuyannguyen likes this
#13
Posted 24-07-2011 - 19:04
Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 19-08-2011 - 19:05.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#14
Posted 24-07-2011 - 20:16
Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 19-08-2011 - 19:07.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#16
Posted 25-07-2011 - 13:00
Một số chính phương khi chia cho 3 dư 0 hay 1.
Một số chính phương khi chia cho 4 dư 0 hay 1.
Một số chính phương khi chi cho 5 dư 0,1, hay 4.
Do đó điều ta cần cm là đối với 1 trong 3 số x, y, z có số chia hết cho 3, 4, 5 ( không bắt buộc là chỉ 1 số ). Sau đó suy ra kết luận xyz chia hết cho 60.
Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 19-08-2011 - 19:10.
#17
Posted 25-07-2011 - 16:46
vì n > 0 nên ta đặt $ n=k+1 (k \ge 0)$
Thay n=k+1 vào n ta có biểu thức tương đương với:
$ 5^{2k+1}.2^{k+2} + 3^{k+2}.2^{2k+1}= 50^{k}.20+ 12^{k}.18 \equiv 12^{k} .1+ 12^{k}.(-1)(mod19)$
Từ đây ta thấy k chẵn hay lẻ đều đồng dư với 0(mod19)
Ta có: $ 5^{2n-1}.2^{n+1} + 3^{n+1}.2^{2n-1} \vdots 2$
Vậy $ 5^{2n-1}.2^{n+1} + 3^{n+1}.2^{2n-1} \vdots 38((2,19)=1)$
Em có thể sửa chỗ này giúp bài giải đỡ dài dòng:
Vì n > 0 nên ta đặt $ n=k+1 (k \ge 0)$
Thay n = k + 1 vào n ta có biểu thức tương đương với:
$ 5^{2k+1}.2^{k+2} + 3^{k+2}.2^{2k+1}= 50^{k}.20+ 12^{k}.18 \equiv 12^{k}.38 \equiv 0 (mod 38)$
Vvậy $ 5^{2n-1}.2^{n+1} + 3^{n+1}.2^{2n-1} \vdots 38$(đpcm)
Có gì sai mọi người chỉ giùm em với. với lại cái latex của diễn đàn khó dùng quá .
Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 19-08-2011 - 19:13.
Ác Ma Học Đường- Cá Sấu
#18
Posted 25-07-2011 - 18:38
Chiều theo ý Toàn đây.Bài này mọi người có thể giải bằng quy nạp giúp mình được không, cảm ơn nhiều!
Đặt $f\left( n \right) = 5^{2n - 1} .2^{n + 1} + 3^{n + 1} .5^{2n - 1} \left( {n \in \mathbb{N};n > 0} \right)$.
Ta có:
$f\left( 1 \right) = 38 \vdots 38$
Giả sử $f\left( k \right) \vdots 38$, ta cm $f\left( {k+1} \right) \vdots 38$.
Thật vậy, dễ thấy
$f\left( {k + 1} \right) = 50.5^{2k - 1} .2^{k + 1} + 12.3^{k + 2} .2^{k - 1} = 12f\left( k \right) + 38.5^{2k - 1} .2^{k + 1} \vdots 38$.
Vậy theo nguyên lý quy nạp, ta có đpcm.
Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 19-08-2011 - 19:15.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#19
Posted 26-07-2011 - 11:09
Giải:
Đặt $2k+1=u^2$ và $3k+1=v^2$.
Ta thấy $u$ hiển nhiên là số lẻ.
Nếu $v$ chẵn thì $k$ lẻ và do đó $u^{2}\equiv 3\pmod 4$, vô lí.
Vậy $v$ lẻ, khi đó $u^{2}\equiv v^{2}\equiv 1\pmod 8$ nên $u^{2}-v^{2}\equiv 0\pmod 8$.
$u^{2}+v^{2}=5k+2\equiv 2\pmod 5$, nên $x^{2}\equiv 0,1,4\pmod 5$ , ta cũng kết luận $ u^{2}\equiv v^{2}\equiv 1\pmod 5 $, nên $u^{2}-v^{2}\equiv 0\pmod 5$ .
Do vậy $ k=v^{2}-u^{2}\equiv 0\pmod{40}. $
Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 19-08-2011 - 19:17.
- chardhdmovies and MoMo123 like this
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users