Chủ đề này có 306 trả lời

[Hoa Hồng Lắm Gai]

Bài 17. Chứng minh $S=n^2+3n-38$ không chia hết cho $49$ với mọi $n \in \mathbb{N}$.

Bài 18. Chứng minh rằng với mọi $n \in \mathbb{N}$ thì

$A=2005^n+60^n-1897^n-168^n \, \vdots \, 2004$

Bài 19. $5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1} \, \vdots \, 23$

Bài 20. $29^{2n}-140n-1 \, \vdots \, 700$

Bài 21. $2^{2n+2}+24n+14 \, \vdots \, 18$

Bài 22. $3^{2n+3}+40n-27 \, \vdots \, 64$

Bài 23. $19^n-18n^2-1 \, \vdots \, 72$

Bài 24. $3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5 \, \vdots \, 22$

Bài 25. $(n+1)^n-1 \, \vdots \, n^2$

Bài 26. $1961^{1962}+1963^{1964}+1965^{1966}+2 \, \vdots \, 7$

Bài 19.
$5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1}=25^n.5 +2^n.16+2^n.2 \equiv 2^n.5+2^n.16+2^n.2=2^n.(5+16+2) =2^n.23 \equiv 0 (mod 23) $
$ \Rightarrow 5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1} \, \vdots \, 23 $ (đpcm)

Bài 24. Ta có:

$3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5= 3^{32n}}+2^{243n}+5 = 243^{6n}.9+ 32^{48n}.8+5\equiv 9+8+5 \equiv 0 $ (mod 22)

$\Rightarrow 3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5 \, \vdots \, 22$ (đpcm)

mới làm ra 2 bài này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoa Hồng Lắm Gai: 21-09-2011 - 11:08

[phuonganh_lms]

Bài 26. $1961^{1962}+1963^{1964}+1965^{1966}+2 \, \vdots \, 7$

$ 1961 \equiv 1 (mod 7) \Rightarrow 1961^{1962} \equiv 1 (mod 7)$
$ 1963^{1964} \equiv 2(mod 7)$ do
$ 1963 \equiv 3(mod 7), 3^{20} \equiv 2(mod 7) \Rightarrow 3^{600} \equiv 1(mod7) \Rightarrow 3^{1800} \equiv 1(mod 7), 3^{164} \equiv 2(mod7)$
$ 1965^{1966} \equiv 2(mod 7)$
Suy ra dpcm.

[heongoccanchibao]

cho đa thức bậc 4:P(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+eco các hệ số đều là các số nguyên.Chứng minh rằng nếu đa thức P(x) chia hết cho 7 với mọi số nguyên x thì tất cả các hệ số của da thức P(x) đều chia hết cho 7.
Làm ơn giai dùm tôi đi

@nguyenta98: cực kì đơn giản, xét $x=-1,0,1$ sau đó dùng tính chất chia hết thôi, nếu chưa được xét tiếp $x=-2,2,....$ cho đến khi nào có được tất cả hệ số chia hết cho $7$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 18-06-2012 - 17:23

[prozui]

Bai 27: cho a,b la so nguyen va a^2+b^2 chia het cho 3.CMR: a chia het cho 3 va b chia het cho 3

[prozui]

cho x+1/x la so nguyen.CMR: x^n+1/x^n cung la so nguyen

[dactai10a1]

cho x+1/x la so nguyen.CMR: x^n+1/x^n cung la so nguyen

Đặt ${S_k} = {x^k} + \frac{1}{{{x^k}}}$
Dễ chứng minh được hệ thức truy hồi ${S_k}{S_1} = {S_{k + 1}} + {S_{k - 1}}$
Do giả thiết ${S_2} = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} - 2 \in Z$
Từ đó bằng qui nạp suy ra đpcm

[dactai10a1]

Bai 27: cho a,b la so nguyen va a^2+b^2 chia het cho 3.CMR: a chia het cho 3 va b chia het cho 3

Bài này phản chứng
Ta có ${x^2} \equiv \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{0(\bmod 3) \Leftrightarrow x \vdots 3}\\
{1(\bmod 3) \Leftrightarrow x \ne 3k}
\end{array}} \right.$
Nếu 2 số đều ko chia hết cho 3 thì ${a^2} + {b^2} \equiv 2(\bmod 3)$
Nếu trong 2 số có 1 số chia hết cho 3 , 1 số ko chia hết cho 3 thì ${a^2} + {b^2} \equiv 1(\bmod 3)$
Suy ra đpcm
Tổng quát ${a^2} + {b^2} \vdots p \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a \vdots p}\\
{b \vdots p}
\end{array}} \right.$ với p là số nguyên tố dạng 4k+3(CM bằng định lí Fecma)

[dactai10a1]

Bài 17. Chứng minh $S=n^2+3n-38$ không chia hết cho $49$ với mọi $n \in \mathbb{N}$.

Ta có $S = {n^2} + 3n - 38 = {n^2} + 3n - 10 - 28 = (n + 5)(n - 2) - 28$
Dễ thấy n+5,n-2 có cung số dư khi chia cho 7
Nếu (n+5)(n-2) không chia hết cho 7 thì S không chia hết cho 7
Nếu (n+5)(n-2) chia hết cho 7 thì 1 trong 2 số phải chia hết cho 7.Do nhân xét suy ra cả 2 số chia hết cho 7.suy ra (n+5)(n-2) chia hết cho 49,mà 28 không chia hết cho 49,suy ra S không chia hết cho 49

[hahahano1]

Trong các đa thức sau ,đa thức nào chia hết cho x^2+x+1
f1(x)=x^2012+x^1006+1
f2(x)=X^2013+x^1006+1
f3(x)=x^2014+x^1006+1.
Ai làm được mình bái phục luôn đó.

[nguyenta98]

Trong các đa thức sau ,đa thức nào chia hết cho x^2+x+1
f1(x)=x^2012+x^1006+1
f2(x)=X^2013+x^1006+1
f3(x)=x^2014+x^1006+1.
Ai làm được mình bái phục luôn đó.

Giải như sau:
Ta sẽ cm bài toán tổng quát hơn $x^{3k+2}+x^{3t+1}+1 \vdots x^2+x+1$
TH1: $k\geq t$
Khi ấy $x^{3k+2}-x^{3t+2}+x^{3t+2}+x^{3t+1}+x^{3t}-(x^{3t}-1)$
Ta thấy $x^{3k+2}-x^{3t+2}=x^{3t+2}((x^{k-t})^3-1) \vdots (x^{k-t})^3-1) \vdots x^3-1 \vdots x^2+x+1$
Lại có $x^{3t+2}+x^{3t+1}+x^{3t}=x^{3t}(x^2+x+1)$
Và $x^{3t}-1 \vdots x^3-1 \vdots x^2+x+1$
Suy ra $x^{3k+2}+x^{3t+1}+1 \vdots x^2+x+1$ đây chính là $đpcm$
TH2: $k\le t$ làm hoàn toàn tương tự
Áp dụng vào bài ta thấy ngay $f_3(x)=x^{2014}+x^{1006}+1$ với số mũ $2014,1006 \equiv 2,1 \pmod{3}$ nên theo nhận định mình vừa cm suy ra $f_3(x) \vdots x^2+x+1$
Vậy $\boxed{f_3(x) \vdots x^2+x+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 27-10-2012 - 17:29

[Nguyen Tho The Cuong]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}}=4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 05-12-2012 - 17:42

[Zaraki]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}}=4$

Đk: $x,y \ne 0$.
Không mất tính tổng quát, giả sử $x \ge y$.
Do đó $\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+ \frac{1}{x^2+y^2} \le \frac 2y + \frac{1}{2y^2} = \frac{4y+1}{2y^2}$
Suy ra $4 \le \frac{4y+1}{2y^2} \Rightarrow 8y^2 \le 4y+1 \Rightarrow 8y^2-4y-1 \le 0 \Rightarrow 4(y-1)^2 \le 5$.
Do đó $(y-1)^2=0$ hoặc $(y-1)^2=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 05-12-2012 - 17:43

[Math269999]

Ta có:
f3(x)=x^2014+x^1006+1=x^2014-x^2+x^1006-x+x^2+x+1=x^2(x^2012-1)+x(x^1005-1)+(x^2+x+1)
Ta thấy:
- x^2(x^2012-1)$\vdots$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$\vdots$x^2+x+1
-x(x^1005-1)$\vdots$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$\vdots$x^2+x+1
-x^2+x+1$\vdots$x^2+x+1
$\Rightarrow$ f3(x)$\vdots$x^
bài anh hahahano1

[Khanh 6c Hoang Liet]

Cho $a \in \mathbb{Z}$ không chia hết cho $2$ và $3$. Chứng minh :
$A = 4a^2 + 3a + 5$ $\vdots$ $6$.

[Oral1020]

Cho $a \in \mathbb{Z}$ không chia hết cho $2$ và $3$. Chứng minh :
$A = 4a^2 + 3a + 5$ $\vdots$ $6$.

Vì a không chia hết cho 2 nên $A$ sẽ là số chẵn nên $A \vdots 2$(1)
Vì $a$ không chia hết cho 3 nên $a$ có dạng $3k+1$ và $3k+2$
Khi $a=3k+1$
$\Rightarrow A=4(3k+1)^2+3(3k+1)+5=36k^2+24k+4+9k+3+5=36k^2+24k+9k+12$$\equiv 0 (mod3)$
Tương tự ta cũng chứng minh được khi $a=3k+2$ thì $A$ cũng chia hết cho 3
Vậy tóm lại một cục là A chia hết cho 2;3 mà (2;3)=1 nên ta có dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 18-11-2012 - 16:09

[tramyvodoi]

CMR : $1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^11$ $\vdots$ $13$

[Joker9999]

CMR : $1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^11$ $\vdots$ $13$

$1+2+..+2^{11}=2^{12}-1$=4095=13.315=> dpcm

[NLT]

Chứng minh rằng không tồn tại $n$ nguyên dương thỏa mãn: $2012^n - 1 \vdots 1010^n-1$.
___
NLT

[cAnmOtkhOaNglAng]

cmr: tồn tại 1 số viết bởi 1 chữ số chia hết cho 2011

[tramyvodoi]

cmr: tồn tại 1 số viết bởi 1 chữ số chia hết cho 2011

Thì đó là số $0$ chứ còn sao nữa !