THTT tháng 10/2015 (đã hết hạn nhận bài giải, các bạn có thể thoải mái trao đổi cách giải của mình)
Tìm $p,q$ để hệ phương trình:
$x^2+y^2+5=q^2+2x-4y$ và $x^2+(12-2p)x+y^2 =2py+12p-2p^2-27$
có 2 nghiệm $(x_1;y_1)$ và $(x_2;y_2)$ thỏa mãn điều kiện $x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 +y_2^2$.
Ta đưa về thành bài toán hình học: 2 pt trong hệ chính là phương trình của 2 đường tròn. Yêu cầu bài toán tương đương với 2 đường tròn cắt nhau tại 2 điểm A, B đồng thời $OA = OB$, từ đó suy ra được các điều kiện $R-r < I I' < R + r$ và $O,I,I'$ thẳng hàng. Ta được kết quả $p=4$ và
$3\sqrt{5} - 3 < |q| < 3\sqrt{5} + 3$.