Chủ đề này có 77 trả lời

[vietfrog]

TÍCH PHÂN ÔN LUYỆN

CÂu hỏi về tÍch phÂn luÔn luÔn xuất hiện trong đề thi Đại học- Cao đẳng.
Mình thấy các topic về TÍch phÂn còn lẻ tẻ nên mình xin lập một topic về TÍch phÂn để mọi người cùng thảo luận.
Mong mọi người ủng hộ nhé! ( đừng spam nhé )
Mình sẽ post lên nhưng bài tập để mọi người cùng làm. Làm xong nếu có thể mọi người post thêm bài cho mọi người tham khảo nhé.
(Sẽ là những bài tÍch phÂn khÔng quá khó, tiện lợi cho việc Ôn thi Đại học)

Bài 1: ( Dạng tÍch phÂn hàm hữu tỷ )
a) $\int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 3}}dx} $

b) $\int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{x^2} - x - 2}}dx} $

c) $\int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{x^3} + 1}}} dx$

Bài 2: (khó hơn 1 chút xÍu)
a)$\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^4} + 1}}{{{x^6} + 1}}dx} $

b)$\int\limits_0^2 {\dfrac{{{x^5} - x}}{{{x^8} + 1}}dx} $

c)$\int\limits_1^3 {\dfrac{{{x^3} - 1}}{{x.({x^3} - 4).({x^4} - 4x + 1)}}dx} $

Rất cảm ơn mọi người!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 27-11-2011 - 22:56

[Crystal]

Câu hỏi về tích phân luôn luôn xuất hiện trong đề thi Đại học- Cao đẳng.
Mình thấy các topic về Tích phân còn lẻ tẻ nên mình xin lập một topic về Tích phân để mọi người cùng thảo luận.
Mong mọi người ủng hộ nhé! ( đừng spam nhé )
Mình sẽ post lên nhưng bài tập để mọi người cùng làm. Làm xong nếu có thể mọi người post thêm bài cho mọi người tham khảo nhé.
(Sẽ là những bài tích phân không quá khó, tiện lợi cho việc ôn thi Đại học)

Bài 1: ( Dạng tích phân hàm hữu tỷ )
a) $\int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 3}}dx} $

b) $\int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{x^2} - x - 2}}dx} $

c) $\int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{x^3} + 1}}} dx$

Bài 2: (khó hơn 1 chút xíu)
a)$\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^4} + 1}}{{{x^6} + 1}}dx} $

b)$\int\limits_0^2 {\dfrac{{{x^5} - x}}{{{x^8} + 1}}dx} $

c)$\int\limits_1^3 {\dfrac{{{x^3} - 1}}{{x.({x^3} - 4).({x^4} - 4x + 1)}}dx} $

Rất cảm ơn mọi người!

Bài 1:
a) $\int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{1}{{x^2 - 4x + 3}}} dx = \int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{1}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}} dx = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {\dfrac{1}{{x - 3}} - \dfrac{1}{{x - 1}}} \right)} dx$
$= \left. {\dfrac{1}{2}\ln \left| {\dfrac{{x - 3}}{{x - 1}}} \right|} \right|_{ - 1}^0 $.
b) Tương tự a)
...
Những câu tiếp theo dành cho các bạn khác. pp chung là dùng phép phân tích, thêm bớt, có thể đổi biến số...

[truclamyentu]

Câu hỏi về tích phân luôn luôn xuất hiện trong đề thi Đại học- Cao đẳng.
Mình thấy các topic về Tích phân còn lẻ tẻ nên mình xin lập một topic về Tích phân để mọi người cùng thảo luận.
Mong mọi người ủng hộ nhé! ( đừng spam nhé )
Mình sẽ post lên nhưng bài tập để mọi người cùng làm. Làm xong nếu có thể mọi người post thêm bài cho mọi người tham khảo nhé.
(Sẽ là những bài tích phân không quá khó, tiện lợi cho việc ôn thi Đại học)

Bài 1: ( Dạng tích phân hàm hữu tỷ )
a) $\int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 3}}dx} $

b) $\int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{x^2} - x - 2}}dx} $

c) $\int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{x^3} + 1}}} dx$

Bài 2: (khó hơn 1 chút xíu)
a)$\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^4} + 1}}{{{x^6} + 1}}dx} $

b)$\int\limits_0^2 {\dfrac{{{x^5} - x}}{{{x^8} + 1}}dx} $

c)$\int\limits_1^3 {\dfrac{{{x^3} - 1}}{{x.({x^3} - 4).({x^4} - 4x + 1)}}dx} $

Rất cảm ơn mọi người!

2)

a) $\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^4} + 1}}{{{x^6} + 1}}dx} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^4} - {x^2} + 1}}{{{x^6} + 1}}dx} + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {{x^3}} \right)}^2} + 1}}dx} = \int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{x^2} + 1}}dx} + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {{x^3}} \right)}^2} + 1}}dx} $

đến đây thì dễ rồi

[vietfrog]

Xin làm nốt câu 1b.
Ta có:
$\int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{x^2} - x - 2}}dx} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{(x + 1)(x - 2)}}} = \dfrac{1}{3}.\int\limits_0^1 {(\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{1}{{x + 1}})dx} = \dfrac{1}{3}(\ln \left| {x - 2} \right|\left| {_0^1} \right. - \ln \left| {x + 1} \right|\left| {_0^1} \right.)$

[Sqrt_e]

Xin làm sơ qua câu 1 c.
Ta có:
$\int {\dfrac{1}{{{x^3} + 1}}dx = \int {\dfrac{{d(x + 1)}}{{(x + 1)[{{(x + 1)}^2} - 3(x + 1) + 3]}}} } $

$ = \int {\dfrac{{dt}}{{t({t^2} - 3t + 3)}} = \dfrac{1}{3}\int {\dfrac{{({t^2} - 3t + 3) - ({t^2} - 3t)}}{{t({t^2} - 3t + 3)}}dt} } $
Đặt $x+1=t$
$ = \dfrac{1}{3}(\int {\dfrac{{dt}}{t} - \int {\dfrac{{t - 3}}{{{t^2} - 3t + 3}}dt} ) = \dfrac{1}{3}(} \int {\dfrac{{dt}}{t}} - \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{(2t - 3)dt}}{{{t^2} - 3t + 3}}} + \dfrac{3}{2}\int {\dfrac{{dt}}{{{t^2} - 3t + 3}}} )$

$ = \dfrac{1}{2}(\int {\dfrac{{dt}}{t}} - \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{(2t - 3)dt}}{{{t^2} - 3t + 3}}} + \dfrac{3}{2}\int {\dfrac{{dt}}{{[{{(t - \dfrac{3}{2})}^2} + \dfrac{3}{4}]}}} )$
Đến đây xong rồi. Toàn dạng cơ bản.

[Crystal]

Bài 3: (Tích phân hàm hữu tỉ)
a) $\int\limits_0^1 {\dfrac{{x^{2001} dx}}{{\left( {x^2 + 1} \right)^{1002} }}} $
b) $\int\limits_0^1 {\dfrac{{x^3 dx}}{{\left( {x^8 - 4} \right)^2 }}} $
c) $\int\limits_0^1 {\dfrac{{\left( {2x^2 + 5x - 2} \right)dx}}{{x^3 + 2x^2 - 4x - 8}}} $
Bài 4: (Tích phân hàm lượng giác)
a) $\int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\sqrt {tg^2 x + \cot g^2 x - 2} dx} $
b) $\int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{dx}}{{\sin x.\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right)}}} $
c) $\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\sin x + 7\cos x + 6}}{{4\sin x + 3\cos x + 5}}dx} $

[vietfrog]

Bài 3: (Tích phân hàm hữu tỉ)
a) $\int\limits_0^1 {\dfrac{{x^{2001} dx}}{{\left( {x^2 + 1} \right)^{1002} }}} $
b) $\int\limits_0^1 {\dfrac{{x^3 dx}}{{\left( {x^8 - 4} \right)^2 }}} $
c) $\int\limits_0^1 {\dfrac{{\left( {2x^2 + 5x - 2} \right)dx}}{{x^3 + 2x^2 - 4x - 8}}} $

Bài làm
a)$\[\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^{2001}}}}{{{{({x^2} + 1)}^{1002}}}}dx} = \dfrac{1}{2}.\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^{2000}}}}{{{{({x^2} + 1)}^{1002}}}}d} ({x^2} + 1) = \int\limits_1^2 {\dfrac{{{{(t - 1)}^{1000}}}}{{{t^{1002}}}}} dt = ...\]$
Dạng quen thuộc r�ồi....
b)$\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^3}}}{{{{({x^8} - 4)}^2}}}dx} = \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{d({x^4})}}{{{{({x^8} - 4)}^2}}}} = \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{dt}}{{{t^2} - 4}}} = ...$
Dạng quen thuộc r�ồi....
c)$\int\limits_0^1 {\dfrac{{2{x^2} + 5x - 2}}{{{x^3} + 2{x^2} - 4x - 8}}dx} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{2{x^2} + 5x - 2}}{{{{(x + 2)}^2}(x - 2)}}dx} $
Dùng hệ số bất định là xong....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 23-08-2011 - 22:48

[vietfrog]

Mình muốn tham khảo ý kiến về cách giải câu tích phân này:
Bài 5:

$I = \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {1 + \sin x} dx} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01-03-2012 - 17:15

[CD13]

Mình muốn tham khảo ý kiến về cách giải câu tích phân này:

$I = \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {1 + \sin x} dx} $

Ta có $\\ \sqrt {1 + \sin x}=\sqrt{2}|sin(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4})|\\$

Chia khoảng xét dấu là ra rồi. Hay là vietfrog có cách gì hay hơn?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongtroi: 25-08-2011 - 22:45

[vietfrog]

Bây giờ thì cho mình hỏi câu tích phân này:
Bài 6

$I = \int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^3} - {x^2} - 4x + 1}}{{{x^4} + {x^3} + 2}}dx} $

P/s: ongtroi và xusint vào giúp nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01-03-2012 - 17:15

[toanhoccuatoi]

em mới bắt đầu vào tích phân mong các bác giúp đỡ và hãy giải hết bài .ở câu $\int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 3}}dx} $ thì 1 phần hai ở đâu mà đủa ra ngoài vậy các bác em chủa hiểu chỗ đó ( ngay bứoc thứ 3) -(em k biết gõ telex mang các bác thông cảm )


P/s: Đề thế này phải không bạn?

Lưu ý: Bạn là phải viết tiếng Việt và gõ đúng công thức toán.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 04-09-2011 - 00:15

[Crystal]

em mới bắt đầu vào tích phân mong các bác giúp đỡ và hãy giải hết bài .ở câu $\int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 3}}dx} $ thì 1 phần hai ở đâu mà đủa ra ngoài vậy các bác em chủa hiểu chỗ đó ( ngay bứoc thứ 3) -(em k biết gõ telex mang các bác thông cảm )
P/s: Đề thế này phải không bạn?

Lưu ý: Bạn là phải viết tiếng Việt và gõ đúng công thức toán.

Cái đó là chọn để khử hệ số 2 ở tử khi quy đồng đó bạn à. Cũng dễ hiểu thôi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 04-09-2011 - 08:50

[CD13]

Bây giờ thì cho mình hỏi câu tích phân này:

$I = \int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^3} - {x^2} - 4x + 1}}{{{x^4} + {x^3} + 2}}dx} $

P/s: ongtroi và xusint vào giúp nhé!

Bài này ongtroi bó tay. Hy vọng vietfrog chỉ post lời giải anh em xem với!
@vietfrog: Em chưa làm được anh ạ. (

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 04-09-2011 - 09:52

[vietfrog]

em mới bắt đầu vào tích phân mong các bác giúp đỡ và hãy giải hết bài .ở câu $\int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 3}}dx} $ thì 1 phần hai ở đâu mà đủa ra ngoài vậy các bác em chủa hiểu chỗ đó ( ngay bứoc thứ 3) -(em k biết gõ telex mang các bác thông cảm )
P/s: Đề thế này phải không bạn?

Lưu ý: Bạn là phải viết tiếng Việt và gõ đúng công thức toán.

Xin giải căn kẽ đề bạn hiểu nhé.

$I = \int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{dx}}{{{x^2} - 4x + 3}}} = \dfrac{1}{2}.\int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{2}{{(x - 1)(x - 3)}}dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{(x - 1) - (x - 3)}}{{(x - 1)(x - 3)}}dx} = \dfrac{1}{2}\left[ {\int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{x - 1}}{{(x - 1)(x - 3)}}dx} - \int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{x - 3}}{{(x - 1)(x - 3)}}dx} } \right]$

$ = \dfrac{1}{2}\left( {\int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{dx}}{{x - 3}}} - \int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{dx}}{{x - 1}}} } \right) = \dfrac{1}{2}\left[ {\ln (x - 3) - \ln (x - 1)} \right] = \dfrac{1}{2}\ln \left| {\dfrac{{x - 3}}{{x - 1}}} \right|_{ - 1}^0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 27-11-2011 - 22:46

[halleycomet118]

Bài 7

Các bạn giải thử giúp mình nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01-03-2012 - 17:16

[vietfrog]

Các bạn giải thử giúp mình nhé

Đang định khởi động lại Topic này thì may có bạn này giúp.
Mọi người tham gia nhiệt tình hơn nhé. Chỉ cẩn post hướng giải quyết, không nhất thiết phải đi đến đáp án cuối cùng ( mình biết gõ cái này khá khổ )
Trở lại bài của bạn trên.
Ta biến đổi như sau:
\[I = \int {\frac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + \left( {x + 1} \right) + 1} }}} \]
Đặt :\[x + 1 = \frac{1}{t} \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{{{t^2}}}\]
Ta có:
\[I = \int {\frac{{\frac{{dt}}{{{t^2}}}}}{{\frac{1}{t}.\sqrt {\frac{1}{{{t^2}}} + \frac{1}{t} + 1} }}} = \int {\frac{{dt}}{{\sqrt {1 + t + {t^2}} }}} = \int {\frac{{d\left( {t + \frac{1}{2}} \right)}}{{\sqrt {{{\left( {t + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} }}} = \ln \left| {t + \frac{1}{2} + \sqrt {{{\left( {t + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} } \right|\]

P/s: Mình trình bày kiểu nguyên hàm, không có cận cho dễ nắm bắt được ý tưởng.

[dark templar]

Giờ mới biết có topic vui thế này
Xin đóng góp 2 bài tích phân nho nhỏ :
Bài 8:
$$I_1=\int_{0}^{1}\frac{x^4+1}{x^6-1}dx$$
Bài 9:
$$I_2=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\left ( \frac{1+\sin{x}}{1+\cos{x}} \right )dx$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01-03-2012 - 17:17

[vietfrog]

Hêhê. Cứ góp vui thường xuyên nhé.
Xin phép làm 1 bài.

$$I_1=\int_{0}^{1}\frac{x^4+1}{x^6-1}dx$$

Ta biến đổi như sau:
\[I = \int {\frac{{{x^4} + 1}}{{{x^6} - 1}}dx} = \int {\frac{{{x^4} + 1}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)}}dx} = \int {\frac{{\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right) - 1}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)}}dx} \]
\[I = \int {\frac{{dx}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)}}} - \int {\frac{{dx}}{{\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)}}} - \int {\frac{{dx}}{{{x^6} - 1}}} = \int {\frac{{dx}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)}}} - \int {\frac{{dx}}{{\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)}}} - \frac{1}{2}\int {\frac{{\left( {{x^3} + 1} \right) - \left( {{x^3} - 1} \right)}}{{\left( {{x^3} + 1} \right)\left( {{x^3} - 1} \right)}}dx} \]
Đến đây chắc hết khó khăn rồi.

[vietfrog]

Chém tiếp bài số 2 nè.

$$I_2=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\left ( \frac{1+\sin{x}}{1+\cos{x}} \right )dx$$

Biến đổi:
\[I = \int {\ln \left( {\frac{{1 + \sin x}}{{1 + \cos x}}} \right)dx} = \int {\ln \left( {\frac{{{{\sin }^2}\left( {\frac{x}{2}} \right) + {{\cos }^2}\left( {\frac{x}{2}} \right) + 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}}{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}} \right)} dx = \frac{1}{2}\int {\ln \left( {{{\tan }^2}\frac{x}{2} + 2\tan \frac{x}{2} + 1} \right)dx} \]
Đặt $\tan \frac{x}{2} = t$ ta có:
\[I = \frac{1}{2}\int {\left( {{t^2} + 1} \right)\ln \left( {{t^2} + t + 1} \right)} dt\]
Đến đây thì mình dùng tích phân từng phần. Không biết ai có cách khác không?

[dark templar]

Chém tiếp bài số 2 nè.

Biến đổi:
\[I = \int {\ln \left( {\frac{{1 + \sin x}}{{1 + \cos x}}} \right)dx} = \int {\ln \left( {\frac{{{{\sin }^2}\left( {\frac{x}{2}} \right) + {{\cos }^2}\left( {\frac{x}{2}} \right) + 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}}{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}} \right)} dx = \frac{1}{2}\int {\ln \left( {{{\tan }^2}\frac{x}{2} + 2\tan \frac{x}{2} + 1} \right)dx} \]
Đặt $\tan \frac{x}{2} = t$ ta có:
\[I = \frac{1}{2}\int {\left( {{t^2} + 1} \right)\ln \left( {{t^2} + t + 1} \right)} dt\]
Đến đây thì mình dùng tích phân từng phần. Không biết ai có cách khác không?

Mình không nghĩ từng phần sẽ ra được bài này.Cách của mình là xài tính chất $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$ với $b>a$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 03-12-2011 - 19:38