Bài toán :
Ta bắt đầu với một số nguyên dương nào đấy , số này được tác động bởi $2$ toán tử sau đây : Tách chữ số hàng đơn vị của nó rồi đem nhân chữ số này cho $4$, đem tích cộng với phần còn lại của số đã cho ( Ví dụ : $1997$ biến thành : $7*4+199=227$) . Thực hiện lặp đi lặp lại toán tử này . Chứng minh rằng nếu trong dãy các số thu được có chứa số $1001$ thì không có số nào trong các số của dãy là số nguyên tố .
Chứng minh rằng nếu trong dãy các số thu được có chứa số $1001$ thì không có số nào trong các số của dãy là số nguyên tố .
#1
Đã gửi 15-08-2011 - 10:37
- nhungvienkimcuong và nloan2k1 thích
#2
Đã gửi 23-09-2015 - 02:13
Bài toán :
Ta bắt đầu với một số nguyên dương nào đấy , số này được tác động bởi $2$ toán tử sau đây : Tách chữ số hàng đơn vị của nó rồi đem nhân chữ số này cho $4$, đem tích cộng với phần còn lại của số đã cho ( Ví dụ : $1997$ biến thành : $7*4+199=227$) . Thực hiện lặp đi lặp lại toán tử này . Chứng minh rằng nếu trong dãy các số thu được có chứa số $1001$ thì không có số nào trong các số của dãy là số nguyên tố .
Xét những số nhận được trước số 1001 trong dãy, Ta có
gọi: $\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}$ là số nhận được liền trước 1001 (0 $\leq $ $a_{1};a_{2};...;a_{n} $ $\leq$ 9 , $a_{1};a_{2}...a_{n}$ $\in $ $\mathbb{N}$ )
=> $\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}}$ + 4.$a_{n}$ = 1001
<=> 10.$\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}}$ + 40.$a_{n}$ = 10010
<=> $\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}$ + 39.$a_{n}$ = 10010 (1)
mà 10010 $\vdots$ 13 (2)
39 $\vdots$ 13 => 39.$a_{n}$ $\vdots$ 13 (3)
Từ (1),(2) và (3) => $\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}$ $\vdots$ 13 (4)
nếu $\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}$ $\leq$ 1001 => 39.$a_{n}$ $\geq$ 10010-1001 <=> $a_{n}$ $\geq$ 231 (vô lý)
=> $\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}$ $>$ 1001 $>$ 13 (5)
Từ (4),(5) => $\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}$ không là số nguyên tố
gọi: $\bar{b_{1}b_{2}...b_{k-1}b_{k}}$ là số nhận được liền trước $\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}$ (0 $\leq $ $b_{1};b_{2};...;b_{n} $ $\leq$ 9 , $b_{1};b_{2}...b_{n}$ $\in $ $\mathbb{N}$ )
=> $\bar{b_{1}b_{2}...b_{k-1}}$ + 4.$b_{k}$ = $\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}$
<=> 10. $\bar{b_{1}b_{2}...b_{k-1}}$ + 40.$b_{k}$ = 10.$\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}$
<=> $\bar{b_{1}b_{2}...b_{k-1}b_{k}} + 39.b_{k}$ = 10.$\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}$ (7)
mà $\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}$ $\vdots$ 13 (cmt) => 10.$\bar{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}$ $\vdots$ 13 (8)
39 $\vdots$ 13 => 39.b_{k} $\vdots$ 13 (9)
Từ (7),(8) và (9) => $\bar{b_{1}b_{2}...b_{k-1}b_{k}}$ $\vdots$ 13 (10)
c/m tương tự c/m (5) ta được $\bar{b_{1}b_{2}...b_{k-1}b_{k}}$ $>$ 1001 $>$ 13 (11)
Từ (10) và (11) => $\bar{b_{1}b_{2}...b_{k-1}b_{k}}$ không là số nguyên tố
C/m tương tự trên ta được: những số nhận trước 1001 trong dãy đều không là số nguyên tố (*)
Xét những số nhận được sau 1001 trong dãy, Ta có:
1.4 + 100 = 104= 23.13 _ không là số nguyên tố
4.4 + 10 = 26 = 2.13 _ không là số nguyên tố
6.4 + 2 = 26 = 2.13 _ không là số nguyên tố
tiếp tục ta vẫn nhận được số 26
Vậy những số nhận sau 1001 trong dãy không là số nguyên tố (**)
Ta có: 1001= 7.11.13 _ không là số nguyên tố (***)
Từ (*),(**),(***) suy ra đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ffyyytt: 23-09-2015 - 11:17
- chanhquocnghiem, Belphegor Varia, O0NgocDuy0O và 4 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 02-10-2015 - 07:50
Xét dãy được tạo theo các toán tử trên $a_{0},a_{1},...,a_{n}$. Tacó
$a_{k}=\frac{a_{k-1}-b_{k-1}}{10}+4b_{k-1}$ (1).Trong đó $b_{k-1}$là chữ số tận cùng của $a_{k-1}
Từ (1) $\Rightarrow 10a_{k}=a_{k-1}+39b_{k-1}$ (2)
Vì 39 chia hết cho 13 cho nên từ (2) $a_{k}\vdots 13 \Leftrightarrow a_{k-1}\vdots 13$ (3)
Vậy theo(3) nếu trong daỹ tồn tại một số chia hết cho 13 thì tất cả các các số của daỹ đều chia hết cho 13. Theo đề bài trong daỹ có chứa số 1001 chia hết cho 13 nên toàn bộ các số của daỹ đều chia hết cho 13 (Đpcm)
- hxthanh và nhungvienkimcuong thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh