Chủ đề này có 185 trả lời

[zone]

Mình ủng hộ alex_hoang. Không nói nhiều, để khai trương topic mình xin góp 2 bài nhỏ.

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^3} = \sqrt {64 - {x^2}y} \\{\left( {{x^2} + 2} \right)^3} = y + 6\end{array} \right.$

b) $\left\{ \begin{array}{l}\left( {{x^4} + y} \right){.3^{y - {x^4}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\8\left( {{x^4} + y} \right) - {6^{{x^4} - y}} = 0\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$

Con a rêu rồi, để zone phủ
từ pt hai $ y+6 \geq 8 \Rightarrow y \geq 2 $ Sử dụng điều kiện này vào pt 1
Vế trái pt 1: $ x^2+y^3 \geq 8 $
Vế phải pt1: $ \sqrt {64 - {x^2}y} \leq 8 $ (vì $ x^2 y \geq 0 $)
Từ đó hệ pt có nghiệm là (0;2) khi các dấu "=" xảy ra

[Crystal]

Con a rêu rồi, để zone phủ
từ pt hai $ y+6 \geq 8 \Rightarrow y \geq 2 $ Sử dụng điều kiện này vào pt 1
Vế trái pt 1: $ x^2+y^3 \geq 8 $
Vế phải pt1: $ \sqrt {64 - {x^2}y} \leq 8 $ (vì $ x^2 y \geq 0 $)
Từ đó hệ pt có nghiệm là (0;2) khi các dấu "=" xảy ra

Bài này đã được giải. Bạn xem lại.

Mình xin trình bài câu 1a) còn sót: ( nghĩ từ hôm qua đến giờ )

Nhận xét: hệ này ẩn x xuất hiện trong luôn là x². Lại nhận thấy x = 0 và y = 2 thỏa mãn là nghiệm của hệ.

Ý tưởng --> pp: đánh giá :

Bài giải: Cần xét phương trình thứ hai của hệ trước:

$(x^2+2)^3 = y+6 \Rightarrow y+6 \ge 2^3 = 8 \Rightarrow y \ge 2.$

Quay lại phương trình đầu của hệ, Ta có:

$y^3 \le x^2+y^3 = \sqrt{64-x^2y} \le \sqrt{64} \Rightarrow |y| \le 2 \Leftrightarrow -2 \le y \le 2.$

Từ đó ta suy ra để hệ có nghiệm thì y = 2 và dẫn đến x = 0 ( ktra lại thấy tm!)

KL: hệ có nghiệm duy nhất $(x;y) = (0;2)$

[alex_hoang]

Bài 14Giải hệ phương trình
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(x - y)({x^2} + xy + {y^2} - 2) = 6\ln \left( {\dfrac{{y + \sqrt {{y^2} + 9} }}{{x + \sqrt {{x^2} + 9} }}} \right)}\\{{x^3} - 2x + 1 = {y^2}}\end{array}} \right.$

[Crystal]

Bài 14Giải hệ phương trình
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(x - y)({x^2} + xy + {y^2} - 2) = 6\ln \left( {\dfrac{{y + \sqrt {{y^2} + 9} }}{{x + \sqrt {{x^2} + 9} }}} \right)}\\{{x^3} - 2x + 1 = {y^2}}\end{array}} \right.$

ĐK: tự tìm

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

$\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) - 2\left( {x - y} \right) = 6\ln \left( {y + \sqrt {{y^2} + 9} } \right) - 6\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 9} } \right)$

$ \Leftrightarrow {x^3} + 6\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 9} } \right) - 2x = {y^3} + 6\ln \left( {y + \sqrt {{y^2} + 9} } \right) - 2y$

Xét hàm số: $f\left( t \right) = {t^3} + 6\ln \left( {t + \sqrt {{t^2} + 9} } \right) - 2t$. Xét đạo hàm và thấy f (t) đơn điệu.

$ \Rightarrow f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y$. Thay x = y vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

${x^3} - {x^2} - 2x + 1 = 0$. Từ đó tìm được nghiệm của hệ.

[alex_hoang]

ĐK: tự tìm

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

$\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) - 2\left( {x - y} \right) = 6\ln \left( {y + \sqrt {{y^2} + 9} } \right) - 6\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 9} } \right)$

$ \Leftrightarrow {x^3} + 6\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 9} } \right) - 2x = {y^3} + 6\ln \left( {y + \sqrt {{y^2} + 9} } \right) - 2y$

Xét hàm số: $f\left( t \right) = {t^3} + 6\ln \left( {t + \sqrt {{t^2} + 9} } \right) - 2t$. Xét đạo hàm và thấy f (t) đơn điệu.

$ \Rightarrow f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y$. Thay x = y vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

${x^3} - {x^2} - 2x + 1 = 0$. Từ đó tìm được nghiệm của hệ.

OK phương trình cuối này có thể dùng lượng giác để giải quyết

[vietfrog]

OK phương trình cuối này có thể dùng lượng giác để giải quyết

Xin phép alex_hoang cho phép góp 1 hệ như sau:

Bài 15
$\left\{ \begin{array}{l}\arcsin x - x \le \arctan y - y\\\arcsin y - y \le \arctan x - x\\x,y \in \left[ {0,1} \right]\end{array} \right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 03-09-2011 - 15:37

[Crystal]

Lâu rồi xin góp 1 bài.

Bài 16: Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}{2^{\dfrac{{1 - {x^2}}}{{{x^2}}}}} - {2^y} = - xy - \dfrac{3}{2}\\{\left( {{x^2}y + 2x} \right)^2} + 1 = 2{x^2}y + 4x\end{array} \right.$

[alex_hoang]

Xin phép alex_hoang cho phép góp 1 hệ như sau:

Bài 15
$\left\{ \begin{array}{l}\arcsin x - x \le \arctan y - y\\\arcsin y - y \le \arctan x - x\\x,y \in \left[ {0,1} \right]\end{array} \right.$

Rất cảm ơn bạn nhưng mình quên nói rằng trong topic này chỉ trao đổi các hệ phương trình đại số thôi

[Crystal]

Bài 11: Cho $n$ , $p$ là các số nguyên dương và $n \ge 3$ . Tìm nghiệm dương của hệ phương trình :
$ \begin{cases} x_1+x_2=x_3^{p} \\ x_2+x_3=x_4^{p} \\ .... \\ x_{n-1}+x_n=x_1^{p} \\ x_n +x_1=x_2^{p} \end{cases} $
Một hệ PT có cách giải khá là đặc biệt , hầu như là không có 1 bước tính toán nào , chỉ dựa trên lập luận

Bài 11 mình làm như này, caubeyeutoan2302 cho ý kiến.

Gọi X là giá trị lớn nhất của các nghiệm ${x_i},\,i = 1,...,n$ và Y là giá trị bé nhất của chúng.

Từ phương trình đầu ta có: $2X \ge {x_1} + {x_2} = x_3^p$

Từ đó đối với các phương trình của hệ ta có: $2X \ge x_k^p,\,\,\forall k = 1,2,...,n$

Hay $2X \ge {X^p} \Rightarrow 2 \ge {X^{p - 1}}\,\,\left( {X > 0} \right)\,\,\,\,(1)$

Lập luận tương tự ta đi đến: $2 \le {Y^{p - 1}}\,\,\,\,(2)$

Từ (1) và (2) suy ra ${X^{p - 1}} = {Y^{p - 1}} = 2 \Leftrightarrow {x_1} = {x_2} = ... = {x_n} = \sqrt[{p - 1}]{2}$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ${x_1} = {x_2} = ... = {x_n} = \sqrt[{p - 1}]{2}$.

[alex_hoang]

Lâu rồi xin góp 1 bài.

Bài 16: Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}{2^{\dfrac{{1 - {x^2}}}{{{x^2}}}}} - {2^y} = - xy - \dfrac{3}{2}\\{\left( {{x^2}y + 2x} \right)^2} + 1 = 2{x^2}y + 4x\end{array} \right.$

Phương trình thứ hai tương đương${\left( {{x^2}y + 2x - 1} \right)^2} = 0 \Rightarrow {x^2}y + 2x - 1 = 0 \Rightarrow y = \dfrac{{1 - 2x}}{{{x^2}}}$(do x khá 0)
Thay vào phương trình đầu và biến đổi
${2^{\dfrac{1}{{{x^2}}}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = {2^{{{\left( {1 - \dfrac{1}{x}} \right)}^2}}} + {(1 - \dfrac{1}{x})^2}$
Hàm số $f(t) = {2^t} + t$ là hàm số đồng biến trên R(+)
Từ dố ta tìm được$ x=2$ và $y= \dfrac{-3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 08-09-2011 - 17:14

[alex_hoang]

Bài 17Giải hệ
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6{x^2}y + 2{y^3} + 35 = 0}\\{5{x^2} + 5{y^2} + 2xy + 5x + 13y = 0}\end{array}} \right.$

[h.vuong_pdl]

Bài 17: $\textup{TH: }y = 0 \Rightarrow .....$.

$\textup{TH: }y \neq 0 \Rightarrow x^2 = \dfrac{-2y^3-35}{6y}$ thế vào pt sau ta có:

$\dfrac{-5(2y^3+35)}{6y} + 5y^2+13y = -x.(5+2y) \\. \\ \Leftrightarrow \dfrac{20y^3+78y^2-175}{6y}=-x.(5+2y)$

$\Leftrightarrow \dfrac{(2y+5)(10y^2+28y-35)}{6y}=-x.(2y+5)$

$ \textup{TH: } 2y = -5 \Rightarrow x = \dfrac{-1}{2}$

còn lại: $6x + \dfrac{10y^2+28y-35}{y} = 0 \textup{ mà } 6x^2 + \dfrac{2y^3+35}{y} = 0$

$\Rightarrow 6x^2 + 6x + \dfrac{2y^3+10y^2+28y}{y} = 0 \\.\\ \Leftrightarrow 6x^2+6x + 2y^2+10y^2+28 = 0 \Leftrightarrow 6\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2 + 2\left(y+\dfrac{5}{2}\right)^2 = 0, ...$

Kết luận, pt đã cho có duy nhất 1 nghiệm $y = \dfrac{-5}{2}, x = -\dfrac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi h.vuong_pdl: 08-09-2011 - 23:11

[alex_hoang]

Bài 18Giải hệ phương trình
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{xy + yz + zx = 1}\\{\dfrac{{(y + z)(4 - {x^2})}}{3} = \dfrac{{(z + x)(4 - {y^2})}}{6}}\\{\dfrac{{(z + x)(4 - {y^2})}}{6} = \dfrac{{(x + y)(4 - {z^2})}}{7}}\end{array}} \right.$

[alex_hoang]

Bài 19Giải hệ
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} + {y^3} = 9}\\{{x^2} + 2{y^2} = x + 4y}\end{array}} \right.$

[Crystal]

Bài 19Giải hệ
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} + {y^3} = 9}\\{{x^2} + 2{y^2} = x + 4y}\end{array}} \right.$

Nhân phương trình thứ hai của hệ với 3 rồi lấy phương trình thứ nhất trừ ta được:

${x^3} + {y^3} - 3{x^2} - 6{y^2} = 9 - 3x - 12y$

$ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = - {y^3} + 6{y^2} - 12y + 8$

$ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} = - {\left( {y - 2} \right)^3} \Leftrightarrow x - 1 = - \left( {y - 2} \right) \Leftrightarrow x = 3 - y$

Thay vào phương trình thứ hai biến đổi ta được: $3\left( {{y^2} - 3y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1 \Rightarrow x = 2\\y = 2 \Rightarrow x = 1\end{array} \right.$.

Vậy hệ đã cho có nghiệm là $\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right),\,\left( {2;1} \right)$.

[Crystal]

Bài 20: Giải hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x_1} - {a_1}}}{{{b_1}}} = \dfrac{{{x_2} - {a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \dfrac{{{x_n} - {a_n}}}{{{b_n}}}\\{x_1} + {x_2} + ... + {x_n} = c\end{array} \right.\,,\,\,\,{b_1},{b_2},...,{b_n} \ne 0,\,\,\,\sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} \ne 0$

[alex_hoang]

Bài 20: Giải hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x_1} - {a_1}}}{{{b_1}}} = \dfrac{{{x_2} - {a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \dfrac{{{x_n} - {a_n}}}{{{b_n}}}\\{x_1} + {x_2} + ... + {x_n} = c\end{array} \right.\,,\,\,\,{b_1},{b_2},...,{b_n} \ne 0,\,\,\,\sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} \ne 0$

Mình chém thử không biết thế nào
Bài20
Từ pt thứ nhất ta có
$\dfrac{{{x_1} - {a_1}}}{{{b_1}}} = \dfrac{{{x_2} - {a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \dfrac{{{x_n} - {a_n}}}{{{b_n}}} = \dfrac{{\sum\limits_{i = 1}^n {({x_i} - {a_i})} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} }} = \dfrac{{c - \sum\limits_{i = 1}^n {({a_i})} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} }}$
Từ đây ta có thể tìm được kết quả

[alex_hoang]

Bài 21Giải hệ
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^4} - {y^4} = 240}\\{{x^3} - 2{y^3} = 3({x^2} - 4{y^2}) - 4(x - 8y)}\end{array}} \right.$

[phuonganh_lms]

Bài 21Giải hệ
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^4} - {y^4} = 240}(1)\\{{x^3} - 2{y^3} = 3({x^2} - 4{y^2}) - 4(x - 8y)}(2)\end{array}} \right.$

(VMO_2010)
Nhân pt (2) với $ -8$ và cộng với $(1)$
Ta được: $ (x-2)^4=(y-4)^4$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = y - 4\\x - 2 = 4 - y\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y - 2\\x = 6 - y\end{array} \right.$
Từ đây thay vào pt $(1)$ ta được
$ -8y^3+24y^2-32y+16=240 \Leftrightarrow y=-2,x=-4$
$ -24y^3+216y^2-864y+1296=240 \Leftrightarrow y=2, x=4$

[phuonganh_lms]

Một bài hệ logarit:
$$\left\{ \begin{array}{l}{\log _4}({x^2} + {y^2}) - {\log _4}(2x) + 1 = {\log _4}(x + 3y)\\{\log _4}(xy + 1) - {\log _4}(2{y^2} + y - x + 2) = {\log_4}(\frac{x}{y}) - \frac{1}{2}\end{array} \right.$$