VÒNG 2:Bài 1. (3 điểm)
1) Giải phương trình
$\left ( \sqrt{x+3}+\sqrt{x} \right )\left ( \sqrt{1-x}+1 \right )=1$
2) Giải hệ phương trình
$ \left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=2x^2y^2\\(x+y)(1+xy)=4x^2y^2\end{array}\right.$
Bài 2. (2,5 điểm)
1) Với mỗi số thực $a$, ta gọi phần nguyên của $a$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $a$ và kí hiệu là $[a]$. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, biểu thức $n+\left [ \sqrt[3]{n-\dfrac{1}{27}}+\dfrac{1}{3} \right ]^2$ không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số nguyên dương.
2) Với $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+zx=5$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=\dfrac{3x+3y+2z}{\sqrt{6(x^2+5)}+\sqrt{6(y^2+5)}+\sqrt{6(z^2+5)}}.$
Bài 3. (3,5 điểm)
Cho hình thang $ABCD$ với $BC$ song song với $AD$. Các góc $\widehat{BAD}$ và $\widehat{CDA}$ là các góc nhọn. Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $I$. $P$ là điểm bất kì trên đoạn thẳng $BC$ ($P$ không trùng với $B,C$). Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIP$ cắt đoạn thẳng $PA$ tại $M$ khác $P$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $CIP$ cắt đoạn thẳng $PD$ tại $N$ KHÁC $P$.
1) Chứng minh rằng nănm điểm $A,M,I,N,D$ cùng nằm trên một đường tròn. Gọi đường tròn này là $(K)$.
2) Giả sử các đường thẳng $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $Q$, chứng minh rằng $Q$ cũng nằm trên đường tròn $(K)$.
3) Trong trường hợp $P,I,Q$ thẳng hàng, chứng minh rằng $\dfrac{BP}{PC}= \dfrac{BD}{CA}$.
Bài 4. (1 điểm)
Giả sử $A$ là một tập hợp con của tập hợp các số tự nhiên $\mathbb{N}$. Tập hợp $A$ có phần tử nhỏ nhất là $1$, phần tử lớn nhất là $100$ và mỗi $x$ thuộc $A(x \ne 1)$, luôn tồn tại $a,b$ cũng thuộc $A$ sao cho $x=a+b$($a$ có thể bằng $b$). Hãy tìm một tập hợp $A$ có số phần tử nhỏ nhất.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).