BƯỚM ĐƠN BƯỚM KÉP -ĐỊNH LÝ HARUKI
Trong thế giới toán học, đâu phải chỉ có sự ngự trị của các con số. Trong mục này các bạn sẽ thấy chúng - những con số - chỉ là phần tĩnh của những thực thể sống. Đó là cả 1 phiên bản đẹp của thế giới động vật đầy sức sống. Nắm được cái tĩnh trong động là 1 việc khó. Nhưng nắm được cái động trong tĩnh lại là 1 công việc đầy thú vị.............
Bài toán bướm đơn:
$PQ$ là 1 dây cung của đường tròn $(O)$; $AB, CD$ là 2 dây cung của đường tròn đó và cùng đi qua trung điểm $E$ của dây cung $PQ$; $AD,BC$ cắt $PQ$ tại $M,N$ tương ứng. Khi đó $MN$ cũng nhận $E$ làm trung điểm.
Hình vẽ trên là 1 minh họa sống động cho định lý này: các bạn có thể thấy rõ phần gạch chéo là hình ảnh của 1 chú bướm đang xoè cánh bay. Và nếu như nối $AC,BD$ cắt $PQ$ thì ta lại nhận được 1 chú bướm khác.
Chứng minh định lý này như thế nào? Có rất nhiều cách: chẳng hạn lấy $C'D'$ đối xứng với CD qua trung trực của PQ rồi chứng mình tam giác C'EM và CEN bằng nhau. Hoặc chứng minh trực tiếp tam giác OMN cân.
Hầu hết những cách chứng minh hình học đều rất thú vị (không chỉ với những bài toán hình học mà ngay cả với những bài toán đại số cũng thế). Tuy nhiên dưới đây chúng ta sẽ làm quen với 1 chứng minh mang tính đại số hơn, bởi vì những hiệu quả của nó đem lại là rất đáng quan tâm.
Chứng minh của định lý bướm đơn: Gọi M',M" (tương ứng N',N") là hình chiếu vuông góc của M (tương ứng N) trên AB,CD. Lần lượt có:
- $\dfrac{AM.MD}{CN.ND}=\dfrac{EM^2}{EN^2}$
- $x=PM,x'=PM',y=MN,y'=M'N',z=NQ,z'=N'Q$
Lập luận như trên ta có: $\dfrac{y(x'-x)}{(z-z')y'}=\dfrac{x(y+z)}{(x'+y')z'}$ và từ đó $x.y'.z=z'.y.z'$
Bây giờ nhờ định lý Haruki ta thu được chứng minh khá đơn giản cho bài toán bướm kép:
Bài toán bướm kép:Các dây cung đuợc bố trí như hình vẽ.Giả sử $PF=P'F',PG=P'G',PH=P'H'$
Dùng định lý Haruki ta có
- $\dfrac{PE.FP'}{EF}=\dfrac{PG.HP'}{GH}$
- $\dfrac{P'E'.F'P}{E'F'}=\dfrac{P'G'.H'P}{G'H'}$
