Bổ đề (Võ Quốc Bá Cẩn)
Với mọi $ a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$, đặt $ab+bc+ca=q$ $ (1 \ge 3q >0)$, khi đó
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \ge \dfrac{2(27q^2-9q+1)}{9q^2-2q+(1-3q)\sqrt{q(1-3q)}}+\dfrac{1}{q}-6$$
Chứng minh
(Lê Hữu Điền Khuê)
Ta sẽ tìm hàm số $f(q)$ sao cho
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge f(q) \forall a,b,c>0.$$
Bất đẳng thức tương đương với
$$\sum \dfrac{a}{b}+\sum \dfrac{b}{a}\ge 2f(q)+\sum \dfrac{b}{a}-\sum \dfrac{a}{b}$$
hay
$$\sum ab(a+b)-2abc\cdot f(q)\ge (a-b)(b-c)(c-a).$$
Như vậy ta chỉ cần chứng minh
$$\sum ab(a+b)-2abc\cdot f(q)\ge \sqrt{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}.$$
(thủ thuật đối xứng hóa)
Chuyển sang $p,q,r$ với $p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc$:
$$(pq-3r)-2f(q)\cdot r \ge \sqrt{p^2q^2+18pqr-27r^2-4q^3-4p^3r}.$$
Vì $p=1$ nên BĐT trở thành
$$(q-3r)-2f(q)\cdot r \ge \sqrt{q^2+18qr-27r^2-4q^3-4r}.$$
Bây giờ ta đặt $k=3+2f(q)$ và bình phương hai vế
$$(q-kr)^2\ge q^2+18qr-27r^2-4q^3-4r$$
Rút gọn đưa về đa thức bậc hai theo $r$:
$$(27+k^2)r^2+2(2-kq-9q)r+4q^3 \ge 0.$$
Bước quan trọng: ta sẽ tìm mối liên hệ giữa $k$ và $q$ sao cho hệ thức $\Delta_r$ bằng 0 (khi đó đẳng thức sẽ xảy ra khi $r$ là một hàm theo $q$, nghĩa là có vô số bộ số $(a,b,c)$ để đẳng thức xảy ra).
Tính
\begin{eqnarray*}
\Delta_r '&=&(2-kq-9q)^2-4q^3(27+k^2)\\
&=&q^2(1-4q)k^2+2q(9q-2)k+(9q-2)^2-108q^3.
\end{eqnarray*}
Giải phương trình $\Delta_r '=0$ để tìm $k$. Ta có
$$\Delta_k '=q^2(9q-2)^2-q^2(1-4q)[(9q-2)^2-108q^3]=16q^3(1-3q)^3 \ge 0$$
Do đó phương trình có hai nghiệm
$$k=\dfrac{2-9q\pm 4\sqrt{q(1-3q)^3}}{q(1-4q)}.$$
Ta sẽ chọn dấu cộng để có nghiệm dương (khử được $(1-4q)$ ở mẫu !)
Vậy
$$k=\dfrac{2-9q+ 4\sqrt{q(1-3q)^3}}{q(1-4q)}.$$
Do đó
$$f(q)=\dfrac{k-3}{2}=\dfrac{1-6q+6q^2+ 2\sqrt{q(1-3q)^3}}{q(1-4q)}.$$
Nhiệm vụ cuối cùng là rút gọn $f(q)$. Lưu ý rằng
\begin{eqnarray*}
1-6q+6q^2+ 2\sqrt{q(1-3q)^3}&=&\left[2\sqrt{q(1-3q)^3}-2(9q^2-2q)\right]+(24q^2-10q+1)\\
&=&2\cdot \dfrac{q(1-3q)^3-(9q^2-2q)^2}{\sqrt{q(1-3q)^3}+2(9q^2-2q)}+(4q-1)(6q-1)\\
&=&2\cdot \dfrac{q(1-4q)(27q^2-9q+1)}{\sqrt{q(1-3q)^3}+2(9q^2-2q)}+(4q-1)(6q-1)\\
\end{eqnarray*}
Vậy
$$f(q)=\dfrac{2(27q^2-9q+1)}{\sqrt{q(1-3q)^3}+2(9q^2-2q)}+\dfrac{1-6q}{q}.$$
Đây chính là điều phải chứng minh.