Chủ đề này có 140 trả lời

[Zaraki]

$\fbox{2}$. $P(x)=ax^2+bx+c, \ a \ne 0$.
Chứng minh rằng $\forall m \in \mathbb{R}$, ta có
$$P(m) = P\left( { - m - \dfrac{b}{a}} \right). $$
Từ đó tính giá trị biểu thức



$$(\sqrt {2009} - \sqrt {2008} )x^2 - (\sqrt 2 008 - \sqrt {2007} )x + 6\sqrt {2008} - 2\sqrt {2007}$$



với $x = \dfrac{2 \sqrt{2009}- 3\sqrt{2008}+ \sqrt{2007}}{ \sqrt{2008}- \sqrt{2009}}$.

Lời giải cho bài toán này.

Ta có

$P= \left( -m- \dfrac{b}{a} \right) = a \left( -m- \dfrac{b}{a} \right) ^2 +b \left( -m- \dfrac{b}{a} \right) +c$

$=a \left( m^2+ \dfrac{2bm}{a}+ \dfrac{b^2}{a^2} \right) -bm - \dfrac{b^2}{a}+c$

$=am^2+bm+c=P(m)$

Vậy $P \left( -m - \dfrac{b}{a} \right)=P(m), \ \forall m \in \mathbb{R}$.

Đặt $P(x)=ax^2+bx+c$, với $a= \sqrt{2009}- \sqrt{2008}, \ b= \sqrt{2007}- \sqrt{2008}, \ c= 6\sqrt{2008} - 2 \sqrt{2007}$.

Ta có $- \dfrac{b}{a} = \dfrac{ \sqrt{2008}- \sqrt{2007}}{ \sqrt{2009}- \sqrt{2008}}$ và

$$-x- \dfrac{b}{a}= \dfrac{2 \sqrt{2009}-3 \sqrt{2008} + \sqrt{2007}}{ \sqrt{2009}- \sqrt{2008}} + \dfrac{ \sqrt{2008}- \sqrt{2007}}{ \sqrt{2009}- \sqrt{2008}}= \dfrac{2 ( \sqrt{2009}- \sqrt{2008})}{\sqrt{2009}- \sqrt{2008}}=2$$

Do đó giá trị biểu thức đã cho bằng

$P(2)=4a+2b+c= 4( \sqrt{2009} - \sqrt{2008})+ 2( \sqrt{2007}- \sqrt{2008})+ 6 \sqrt{2008}- 2 \sqrt{2007}= 4 \sqrt{2009}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 01-10-2011 - 20:37

[maikhai]

Tính giá trị của biểu thức

$B=\dfrac{{3{{\sin }^3}x + 4tgx.\cot gy + {{\cos }^3}y}}{{2\cot {g^2} + 3{{\cos }^2}x.{{\sin }^3}y + t{g^2}.\cot g\left( {\dfrac{x}{3}} \right)}}$
biết;

$\left\{ {_{5\sin x - \cos y = 1,946}^{2\sin x + 3\cos y = 2,211}} \right.$

[Trần Hồng Sơn]

ai làm cho mình bài này cái: Cho a+b+c=0 . Tình GTBT: ab/c + bc/a + ca/b

[Ispectorgadget]

Ta có: $\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\geq a+b+c$=0(*)
Chứng minh:$\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}\geq 2b$
$\dfrac{ab}{c}+\dfrac{ac}{b}\geq 2a$
$\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\geq 2c$
Cộng lại ta có$2(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c})\geq 2(a+b+c)$
=> (*)Đúng Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=0

[sakura139]

Giúp với:
Cho các số dương x, y, z thoả mãn: $\sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{xz} = 1$
Tính giá trị biểu thức: $P = \sqrt{(1 + x)(1 + y)(1 + z)}.(\dfrac{\sqrt{x}}{1 + x} + \dfrac{\sqrt{y}}{1 + y} + \dfrac{\sqrt{z}}{1 + z})$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Cho các số dương x, y, z thoả mãn: $\sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{xz} = 1$
Tính giá trị biểu thức: $P = \sqrt{(1 + x)(1 + y)(1 + z)}.(\dfrac{\sqrt{x}}{1 + x} + \dfrac{\sqrt{y}}{1 + y} + \dfrac{\sqrt{z}}{1 + z})$

Giải

Ta có: $x + 1 = x + \sqrt{xy} + \sqrt{xz} + \sqrt{yz} = \sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + \sqrt{z}(\sqrt{x} + \sqrt{y})$
$= (\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{z})$

Tương tự:
$y + 1 = (\sqrt{y} + \sqrt{x})(\sqrt{y} + \sqrt{z})$

$z + 1 = (\sqrt{z} + \sqrt{x})(\sqrt{z} + \sqrt{y})$

Do đó:
$P = \sqrt{(1 + x)(1 + y)(1 + z)}.(\dfrac{\sqrt{x}}{1 + x} + \dfrac{\sqrt{y}}{1 + y} + \dfrac{\sqrt{z}}{1 + z})$

$P = \sqrt{[(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{z})(\sqrt{y} + \sqrt{z})]^2}.(\dfrac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{z})} + \dfrac{\sqrt{y}}{(\sqrt{y} + \sqrt{x})(\sqrt{y} + \sqrt{z})} + \dfrac{\sqrt{z}}{(\sqrt{z} + \sqrt{x})(\sqrt{z} + \sqrt{y})})$

$P = (\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{z})(\sqrt{y} + \sqrt{z})[\dfrac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{z})} + \dfrac{\sqrt{y}}{(\sqrt{y} + \sqrt{x})(\sqrt{y} + \sqrt{z})} + \dfrac{\sqrt{z}}{(\sqrt{z} + \sqrt{x})(\sqrt{z} + \sqrt{y})}]$

$P = \sqrt{x}(\sqrt{y} + \sqrt{z}) + \sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{z}) + \sqrt{z}(\sqrt{x} + \sqrt{y})$

$P = 2(\sqrt{xy} + \sqrt{zx} + \sqrt{yz}) = 2$

[dark templar]

Ta có: $\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\geq a+b+c$=0(*)
Chứng minh:$\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}\geq 2b$
$\dfrac{ab}{c}+\dfrac{ac}{b}\geq 2a$
$\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\geq 2c$
Cộng lại ta có$2(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c})\geq 2(a+b+c)$
=> (*)Đúng Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=0

Làm sao kiểu này được,đề bài đâu cho $a,b,c$ là các số dương đâu
Góp vui tý cho topic của Chung.
Bài 1: Cho $x,y,z>0$ thỏa:$x+y+z+\sqrt{xyz}=4$.Tính giá trị của biểu thức:
$$P=\sqrt{x(4-y)(4-z)}+\sqrt{y(4-x)(4-z)}+\sqrt{z(4-x)(4-y)}-\sqrt{xyz}$$
Bài 2: Chứng minh rằng nếu các số thực $x;y;a;b$ thỏa mãn các điều kiện:$x+y=a+b$ và $x^4+y^4=a^4+b^4$ thì $x^{n}+y^{n}=a^{n}+b^{n};\forall n \in \mathbb{N^*}$.

[Ispectorgadget]

Ờ hen vậy anh giải làm sao em quên nhìn đk

[MyLoVeForYouNMT]

Bài 1:Tính giá trị của biểu thức:
$M=x^2+\sqrt{x^4+x+1}$ khi $x=\sqrt{\dfrac{8\sqrt{2}+1}{32}}-\sqrt{\dfrac{1}{32}}$
Bài 2: Chứng minh rằng phương trình $x^5+x+1$ có nghiệm duy nhất
$x=\dfrac{1}{3}(1-\sqrt[3]{\dfrac{25+\sqrt{621}}{2}}-\sqrt[3]{\dfrac{25-\sqrt{621}}{2}})$
Bài 3: Giả sử a, b, c, d, A, B, C, D là các số dương và $\dfrac{a}{A}=\dfrac{b}{B}=\dfrac{c}{C}=\dfrac{d}{D}$
CMR:$\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{(a+b+c+d)(A+B+C+D)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thatlong_anh_xinloi_em: 27-11-2011 - 20:37

[NguyThang khtn]

Mấy bài này trước cô Thiềng cũng cho bọn anh!
Dễ lắm à! Em cố nghĩ đi!

[MyLoVeForYouNMT]

Ui vậy ạ. Để tối nay em nghiền vậy. Cố làm cho xong để ngày kia bọn em kiểm tra rồi anh ak`. Còn tận 20 bài lận

[NguyThang khtn]

Uk cố nghĩ đi đừng hỏi mấy bài dễ này!
p\s:Cho dù trước kia anh cũng thế!

[NguyenVanDien]

Bài tập lớp 8:
Tính giá trị của : \[
A = \frac{{x + y}}{z} + \frac{{x + z}}{y} + \frac{{y + z}}{x}
\]
nếu \[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0
\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenVanDien: 07-12-2011 - 21:58

[dark templar]

Bài tập lớp 8:
Tính giá trị của : \[
A = \frac{{x + y}}{z} + \frac{{x + z}}{y} + \frac{{y + z}}{x}
\]
nếu \[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0
\]

Điều kiện tương đương:$xy+yz+zx=0$
$$A=\frac{xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)}{xyz}=\frac{(xy+yz+zx)(x+y+z)-3xyz}{xyz}=-3$$

[Zaraki]

Bài 1: Cho $x,y,z>0$ thỏa:$x+y+z+\sqrt{xyz}=4$.Tính giá trị của biểu thức:
$$P=\sqrt{x(4-y)(4-z)}+\sqrt{y(4-x)(4-z)}+\sqrt{z(4-x)(4-y)}-\sqrt{xyz}$$

Lời giải. Ta có
$$x(4-y)(4-z) = x(16-4y-4z+yz) = x(16 +yz- 4(4- \sqrt{xyz}-x) = x(4x+yz+4 \sqrt{xyz})$$
$$=x(2\sqrt{x}+\sqrt{yz})^2 \Rightarrow \sqrt{x(4-y)(4-z)}$$
$$=\sqrt{x}(2\sqrt{x}+\sqrt{yz}) = 2x+ \sqrt{xyz}$$

Tương tự
$$\sqrt{y(4-x)(4-z)} = 2x+\sqrt{xyz}$$
$$ \sqrt{z(4-x)(4-y)} = 2z+\sqrt{xyz}$$
$$\Rightarrow A= 2(x+y+z)+ 3\sqrt{xyz}-\sqrt{xyz}= 2(x+y+z+\sqrt{xyz})= \boxed{8}$$

[sokkonthongminh]

Bài 1: a) Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} x^{2} + \dfrac{1}{y^{2}} + \dfrac{x}{y} = 12\\ x + \dfrac{1}{y} + \dfrac{x}{y} = 8\\ \end{matrix}\right.$
b) Ba số a, b, c thỏa mãn đồng thời các điều kiện: a + b + c = 1 và $\dfrac{1}{a}$ + $\dfrac{1}{b}$ + $\dfrac{1}{c}$ = 1
Chứng minh: a²⁰⁰⁹ + b²⁰⁰⁹ +c²⁰⁰⁹ =1


Bài 2:

Giải phương trình: x³ +2$\sqrt{(3x - 2)^{3}}$ = 3x (3x - 2)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sokkonthongminh: 12-12-2011 - 15:06

[Cao Xuân Huy]

Bài 3: Giả sử a, b, c, d, A, B, C, D là các số dương và $\dfrac{a}{A}=\dfrac{b}{B}=\dfrac{c}{C}=\dfrac{d}{D}$

CMR:$\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{(a+b+c+d)(A+B+C+D)}$

Mình làm bài này nhé.

Đặt $\dfrac{a}{A} = \dfrac{b}{B} = \dfrac{c}{C} = \dfrac{d}{D} = \dfrac{{a + b + c + d}}{{A + B + C + D}} = k$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a = k.A;b = k.B;c = k.C;d = k.D\\a + b + c + d = k(A + B + C + D)\end{array} \right.$

Do đó: $VT = \sqrt {aA} + \sqrt {bB} + \sqrt {cC} + \sqrt {dD} = \sqrt k (A + B + C + D)$

$VP = \sqrt {(a + b + c + d)(A + B + C + D)} = \sqrt k .(A + B + C + D)$

Suy ra $VT=VP$.

Vậy ta có điều phải chứng minh

[Cao Xuân Huy]

Bài 1:
a)Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{2} + \dfrac{1}{y^{2}} + \dfrac{x}{y} = 12\\ x + \dfrac{1}{y} + \dfrac{x}{y} = 8\\ \end{matrix}\right.$

Đặt $t = x + \dfrac{1}{y} \Rightarrow {t^2} = {x^2} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + 2.\dfrac{x}{y}$

$hpt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t^2} - \dfrac{x}{y} = 12\\t + \dfrac{x}{y} = 8\end{array} \right. \Rightarrow {t^2} + t - 20 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\\t = - 5\end{array} \right.$
Từ đó suy ra các giá trị$\dfrac{x}{y}$ tương ứng là: $4$ và $13$.
Ta được:

$\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 4y\\
x + \dfrac{1}{y} = 4
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = 13y\\
x + \dfrac{1}{y} = - 5
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.$
----------------------------------
@sokkonthongminh : Tối nay mình post tiếp bài còn lại cho

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 12-12-2011 - 17:31

[Zaraki]

Tặng mọi người bài này

Cho $a,b,c,x,y,z \in \mathbb{R}$ sao cho $ax + by + cz = 0$ và $a+b+c = \dfrac{1}{2011}$. Tính giá trị của
$$P = \dfrac{{a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}}}{{bc{{(y - z)}^2} + ac{{(x - z)}^2} + ab{{(x - y)}^2}}}$$

[hoa_giot_tuyet]

Tặng mọi người bài này

Cho $a,b,c,x,y,z \in \mathbb{R}$ sao cho $ax + by + cz = 0$ và $a+b+c = \dfrac{1}{2011}$. Tính giá trị của
$$P = \dfrac{{a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}}}{{bc{{(y - z)}^2} + ac{{(x - z)}^2} + ab{{(x - y)}^2}}}$$

$(ax+by+cz) = 0 \Rightarrow a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2 = -2(axby+bycz+axcz)$
Xét mẫu
$(bc(y-z)^2+ac(x-z)^2+ab(x-y)^2 $ $=bcy^2+bcz^2+acx^2+acz^2+abx^2+aby^2+a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2) $
$= a(cz^2+by^2+ax^2)+b(cz^2+ax^2+by^2)+c(by^2+ax^2+cz^2)$
$ = (ax^2+by^2+cz^2)(a+b+c)$

$\Rightarrow \dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{(bc(y-z)^2+ac(x-z)^2+ab(x-y)^2} = \dfrac{1}{a+b+c} = 2011$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoa_giot_tuyet: 18-12-2011 - 17:48