Lời giải cho bài toán này.$\fbox{2}$. $P(x)=ax^2+bx+c, \ a \ne 0$.
Chứng minh rằng $\forall m \in \mathbb{R}$, ta có
$$P(m) = P\left( { - m - \dfrac{b}{a}} \right). $$
Từ đó tính giá trị biểu thức
$$(\sqrt {2009} - \sqrt {2008} )x^2 - (\sqrt 2 008 - \sqrt {2007} )x + 6\sqrt {2008} - 2\sqrt {2007}$$
với $x = \dfrac{2 \sqrt{2009}- 3\sqrt{2008}+ \sqrt{2007}}{ \sqrt{2008}- \sqrt{2009}}$.
Ta có
$P= \left( -m- \dfrac{b}{a} \right) = a \left( -m- \dfrac{b}{a} \right) ^2 +b \left( -m- \dfrac{b}{a} \right) +c$
$=a \left( m^2+ \dfrac{2bm}{a}+ \dfrac{b^2}{a^2} \right) -bm - \dfrac{b^2}{a}+c$
$=am^2+bm+c=P(m)$
Vậy $P \left( -m - \dfrac{b}{a} \right)=P(m), \ \forall m \in \mathbb{R}$.
Đặt $P(x)=ax^2+bx+c$, với $a= \sqrt{2009}- \sqrt{2008}, \ b= \sqrt{2007}- \sqrt{2008}, \ c= 6\sqrt{2008} - 2 \sqrt{2007}$.
Ta có $- \dfrac{b}{a} = \dfrac{ \sqrt{2008}- \sqrt{2007}}{ \sqrt{2009}- \sqrt{2008}}$ và
$$-x- \dfrac{b}{a}= \dfrac{2 \sqrt{2009}-3 \sqrt{2008} + \sqrt{2007}}{ \sqrt{2009}- \sqrt{2008}} + \dfrac{ \sqrt{2008}- \sqrt{2007}}{ \sqrt{2009}- \sqrt{2008}}= \dfrac{2 ( \sqrt{2009}- \sqrt{2008})}{\sqrt{2009}- \sqrt{2008}}=2$$
Do đó giá trị biểu thức đã cho bằng
$P(2)=4a+2b+c= 4( \sqrt{2009} - \sqrt{2008})+ 2( \sqrt{2007}- \sqrt{2008})+ 6 \sqrt{2008}- 2 \sqrt{2007}= 4 \sqrt{2009}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 01-10-2011 - 20:37