Đề bài :
Cho số phức $ z $ thỏa mãn $ z + \dfrac{1}{z}=1 $
Hãy tính giá trị $ S=z+z^2+z^3+..................+z^n+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^3}+............+\dfrac{1}{z^n} $
Đề bài :
Cho số phức $ z $ thỏa mãn $ z + \dfrac{1}{z}=1 $
Hãy tính giá trị $ S=z+z^2+z^3+..................+z^n+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^3}+............+\dfrac{1}{z^n} $
Đề bài :
Cho số phức $ z $ thỏa mãn $ z + \dfrac{1}{z}=1 $
Hãy tính giá trị $ S=z+z^2+z^3+..................+z^n+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^3}+............+\dfrac{1}{z^n} $
$z$ và $\frac{1}{z}$ là $2$ nghiệm của pt $z^2-z+1=0$.Có $2$ TH :
$a)$ $z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\ i=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}$ ; $\frac{1}{z}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\ i=\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3}$
$b)$ $z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\ i=\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3}$ ; $\frac{1}{z}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\ i=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}$
Do $z$ và $\frac{1}{z}$ có vai trò như nhau nên chỉ cần xét TH $a$ :
$z=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3} \Rightarrow z^k=\cos\frac{k\pi}{3}+i\sin\frac{k\pi}{3}$
$\frac{1}{z}=\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3} \Rightarrow \frac{1}{z^k}=\cos\frac{k\pi}{3}-i\sin\frac{k\pi}{3}$
Từ đó suy ra : $S=2\left ( \cos\frac{\pi}{3}+\cos\frac{2\pi}{3}+...+\cos\frac{n\pi}{3} \right )$
Đặt $T_n=\cos\frac{\pi}{3}+\cos\frac{2\pi}{3}+...+\cos\frac{n\pi}{3}$, ta nhận xét :
$T_1=\frac{1}{2};T_2=0;T_3=-1;T_4=-\frac{3}{2};T_5=-1;T_6=0$ và $T_{6k+m}=T_m$ ($k\in \mathbb{N};m\in \mathbb{N}^*;1\leqslant m\leqslant 6$)
Vậy :
+ $S=1$ nếu $n=6k+1$
+ $S=0$ nếu $n=6k+2$ hoặc $n=6k+6$
+ $S=-2$ nếu $n=6k+3$ hoặc $n=6k+5$
+ $S=-3$ nếu $n=6k+4$
($k\in \mathbb{N}$)
Edited by chanhquocnghiem, 17-08-2015 - 23:41.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Cho số phức $ z $ thỏa mãn $ z + \dfrac{1}{z}=1 $
Hãy tính giá trị $ S=z+z^2+z^3+..................+z^n+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^3}+............+\dfrac{1}{z^n} $
Đặt $z=r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)\implies z+\frac 1z=\frac{(r^3+1)\cos x+(r^3-1)\sin x}{r^2}=1\iff r^3-1=0\iff r=1$
Vì $\cos $ đối và có chu kỳ $2\pi$ nên ta chọn $\varphi=\frac\pi3$.
Ta có: $z^n+\frac1{z^n}=2\cos \frac{n\pi}{3}$ do đó:
$S=2\left(\cos\frac\pi3+\cdots+\cos\frac{n\pi}{3}\right)\\\iff\frac{\sqrt3}2\cdot S=\sin\frac\pi3\cdot 2\left(\cos\frac\pi3+\cdots+\cos\frac{n\pi}{3}\right) \\\iff \frac{\sqrt3}2\cdot S = \sin\frac{2\pi}3+\sin\frac{3\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{3}+\sin\frac{4\pi}{3}-\sin\frac{2\pi}3+\cdots+\sin\frac{(n+1)\pi}{3}-\sin\frac{(n-1)\pi}{3}\\ \iff \frac{\sqrt3}2\cdot S = -\sin\frac{\pi}{3}+ \sin\frac{n\pi}{3}+\sin\frac{(n+1)\pi}{3}\\ \iff \frac{\sqrt3}2\cdot S = -\frac{\sqrt3}2+\sqrt3\sin\frac{(2n+1)\pi}{6}\\ \iff S=-1+2 \sin\frac{(2n+1)\pi}{6}$
Vẽ đường tròn lượng giác, ta có:
Edited by LzuTao, 21-08-2015 - 14:48.
Đặt $z=\cos\varphi+i\sin\varphi\implies z+\frac 1z=2\cos\varphi=1$
Vì $\cos $ đối và có chu kỳ $2\pi$ nên ta chọn $\varphi=\frac\pi3$.
Ta có: $z^n+\frac1{z^n}=2\cos \frac{n\pi}{3}$ do đó:
$S=2\left(\cos\frac\pi3+\cdots+\cos\frac{n\pi}{3}\right)\\\iff\frac{\sqrt3}2\cdot S=\sin\frac\pi3\cdot 2\left(\cos\frac\pi3+\cdots+\cos\frac{n\pi}{3}\right) \\\iff \frac{\sqrt3}2\cdot S = \sin\frac{2\pi}3+\sin\frac{3\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{3}+\sin\frac{4\pi}{3}-\sin\frac{2\pi}3+\cdots+\sin\frac{(n+1)\pi}{3}-\sin\frac{(n-1)\pi}{3}\\ \iff \frac{\sqrt3}2\cdot S = -\sin\frac{\pi}{3}+ \sin\frac{n\pi}{3}+\sin\frac{(n+1)\pi}{3}\\ \iff \frac{\sqrt3}2\cdot S = -\frac{\sqrt3}2+\sqrt3\sin\frac{(2n+1)\pi}{6}\\ \iff S=-1+2 \sin\frac{(2n+1)\pi}{6}$
Vẽ đường tròn lượng giác, ta có:
- $n=6k, (k\in \mathbb{N}, n\neq 0)\implies S=-1+2\sin\frac{(12k+1)\pi}{6}=-1+2\sin\frac{\pi}{6}=0$
- $n=6k+1\implies S=-1+2 \sin\frac{(12k+3)\pi}{6}=1$
- $n=6k+2\implies S=-1+2\sin\frac{(12k+5)\pi}{6}=0$
- $n=6k+3\implies S=-1+2\sin\frac{(12k+7)\pi}6=-2$
- $n=6k+4\implies S=-1+2\sin\frac{(12k+9)\pi}6=-3$
- $n=6k+5\implies S=-1+2\sin\frac{(12k+11)\pi}6=-2.\blacksquare$
LZuTao muốn đặt z$z = cos\varphi +i.sin\varphi$ thì phải chi ra |z| = 1
Đề bài :
Cho số phức $ z $ thỏa mãn $ z + \dfrac{1}{z}=1 $
Hãy tính giá trị $ S=z+z^2+z^3+..................+z^n+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^3}+............+\dfrac{1}{z^n} $
Từ $z+\frac{1}{z}=1$ suy ra với mọi $k$ tự nhiên ta đều có:
*$z^{k+2}-z^{k+1}=-z^k$
*$\frac{1}{z^{k+2}}-\frac{1}{z^{k+1}}=-\frac{1}{z^k}$
Đặt $a_k=z^k+\frac{1}{z^k}$ suy ra $a_{k+2}-a_{k+1}=-a_k$
Như vậy $S=\sum a_k=-a_{n+2}+a_2$ (1).
Chú ý rằng từ tính truy hồi ở trên rút ra $a_{k+3}=a_{k+2}-a_{k+1}=(a_{k+1}-a_{k})-a_{k+1}=-a_k$ (2).
Từ (1), (2) suy ra $S=-1-{(-1)}^{q}.a_p$ với $p$ là số dư của $n+2$ khi chia cho 3 và $q$ là thương của phép chia.
Chẳng hạn $n=6m+4$ suy ra $p=0$ và $q$ chẵn, suy ra $S=-1-a_0=-3$.
Edited by HeilHitler, 30-01-2016 - 02:09.
0 members, 1 guests, 0 anonymous users