BỔ ĐỀ CHO CÂU 6------------------------------Cho tập $E=\{1,2,..,n\};\;\;(n\le 9)$. Mỗi tổ hợp gồm $i;\;(1\le i\le n)$ phần tử của $E$ là $\{a_1,...,a_i\}$ được sắp tăng dần $(a_1<...<a_i)$ để tạo thành số $\overline{a_1...a_i}$.
Gọi $S_{i,n}$ là tổng của tất cả các số đó.
Chứng minh rằng:
$\boxed{S_{i,n}=\overline{1...i}C_{n+1}^{i+1}}\;\;\;(*)$
------------------------------
Lời giải: Ta sẽ CM (*) bằng quy nạp theo $i$
- Với $i=1$, thì (*) trở thành $S_{1,n}=1.C_{n+1}^2=\dfrac{(n+1)n}{2}=1+...+n$ Vậy (*) đúng.
- Giả sử (*) đúng với $i-1$, ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với $i$
Ta tính tổng $S_{i,n}$ bằng cách phân ra các số có tận cùng là $k,\;\;(i\le k\le n)$
Nếu số có tận cùng là $k$ thì $i-1$ chữ số đầu sẽ có các chữ số nhỏ hơn $k$, nghĩa là nó là một tổ hợp $i-1$ phần tử của tập $\{1,...,k-1\}$ được sắp thứ tự tăng dần.
Có $C_{k-1}^{i-1}$ số như vậy. Do đó ta có:
$\Rightarrow S_{i,n}=\sum\limits_{k=i}^n\left(10S_{i-1,k-1}+kC_{k-1}^{i-1}\right)$
$\Rightarrow S_{i,n}=\sum\limits_{k=i}^n\left(10.\overline{1...i-1}C_k^i+iC_k^i\right)$ (Theo giả thiết quy nạp)
$\Rightarrow S_{i,n}=\sum\limits_{k=i}^n\left(\overline{1...(i-1)0}C_k^i+iC_k^i\right)$
$\Rightarrow S_{i,n}=\sum\limits_{k=i}^n\left(\overline{1...i}C_k^i\right)$
$\Rightarrow S_{i,n}=\overline{1...i}\sum\limits_{k=i}^n\left(C_{k+1}^{i+1}-C_k^{i+1}\right)$
$\Rightarrow S_{i,n}=\overline{1...i}C_{n+1}^{i+1}$
Theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh.
-----------------------------
Nếu Câu 6 của đội Beta được hiểu là:
Câu 6:
Tìm tổng tất cả các số tự nhiên có n chữ số và các chữ số tạo thành dãy tăng (nghiêm ngặt)
Thì đáp án là:$\boxed{S=S_{n,9}=\overline{1...n}*C_{10}^{n+1};\;\;\; (2\le n\le 9)}$
-----------------------------
@ BETA & PSW cần xác minh lại đề bài, tránh tình trạng người làm hiểu không đúng! PSW : 8/8 điểm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 28-10-2011 - 09:27