Chủ đề này có 1 trả lời

[alex_hoang]

Cho $a,b$ là 2 số thực thuộc khoảng $(0,1)$, dãy số $(u_n),(n=0,1,2,3...,n)$ được xác định như sau:

$$u_0=a,u_1=b; {u_{n + 2}} = \dfrac{1}{{2010}}u_{n + 1}^4 + \dfrac{{2009}}{{2010}}\sqrt[4]{{{u_n}}}, \forall n \geq 1 $$

Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 27-04-2014 - 10:50

[Trung Gauss]

Bằng qui nạp dễ CM được $(u_n)\in (0;1)$. Xét dãy $(v_n)$: $$\begin{cases} v_0=\min \{a, b\}\\ v_{n+1}=\dfrac{1}{2010}v^4_n+\dfrac{2009}{2010}\sqrt[4]{v_n}, \forall n\in\mathbb{N} \end{cases}$$  Theo AM-GM: $$v_{n+1}=\dfrac{1}{2010}v^4_n+\dfrac{2009}{2010}\sqrt[4]{v_n}\ge\sqrt[2010]{v_n^4.\sqrt[4]{v_n}} > v_n$$ Dễ thấy $v_n\in (0;1)$ Từ đó suy ra $\lim v_n=1$. 

Bằng qui nạp, dễ thấy: $v_n\le \min\{ u_{2n}, u_{2n+1}\}, u_{2n+3}\ge v_{n+1}\Rightarrow v_{n+1}\le\min\{u_{2n+2}, u_{2n+3}\}$. Do đó: $$v_n\le \min\{u_{2n}, u_{2n+1}\}\le \max\{u_{2n}, u_{2n+1}\}<1$$ Theo nguyên lý  kẹp, ta được: $$1<u_n<1\Rightarrow \lim u_n =1$$

Vậy, $$\boxed{\lim u_n =1}$$