[ĐẤU TRƯỜNG] Trận 4: ALPHA - GAMMA
#42
Đã gửi 04-12-2011 - 19:16
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#43
Đã gửi 04-12-2011 - 19:42
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
#45
Đã gửi 24-12-2011 - 11:16
Đáp án bài 2-THCS của đội ALPHA:
Gọi I là trung điểm BC,dựng $AH \perp BC(H \in BC)$.Đặt $\widehat{HMA}=\alpha\left(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2} \right)$.Qua O,kẻ $OP \perp AH$,suy ra $\widehat{OAP}=\alpha$.
Ta có:
$$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC=AH.IC=R\sin{\alpha}\sqrt{OC^2-OI^2}=R\sin{\alpha}\sqrt{R^2-HP^2}$$
Lại có:
$$HP=AH-AP=R(\sin{\alpha}-\cos{\alpha})$$.
Suy ra:
$$S_{ABC}=R\sin{\alpha}\sqrt{R^2-R^2(\sin{\alpha}-\cos{\alpha})^2}=R^2\sqrt{2}.\sqrt{\sin^3{\alpha}\cos{\alpha}}$$
Theo BĐT AM-GM,ta có:
$$\sin^3{\alpha}\cos{\alpha}=\sqrt{\sin^6{\alpha}\cos^2{\alpha}}=\sqrt{27\left(\dfrac{\sin^2{\alpha}}{3} \right)^3.\cos^2{\alpha}} \overset{AM-GM}{\le}\sqrt{27.\left(\dfrac{\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}}{4} \right)^4}=\dfrac{3\sqrt{3}}{16}$$
Do đó:
$$S_{ABC}=R^2\sqrt{2}.\sqrt{\sin^3{\alpha}\cos{\alpha}} \le \dfrac{\sqrt[4]{27}}{2\sqrt{2}}R^2$$.
Vậy $S_{ABC-\max}$ khi và chỉ khi $\dfrac{\sin^2{\alpha}}{3}=\cos^2{\alpha}$ hay $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$.
P/s:Bài 1 thì Hân giải hoàn toàn chuẩn rồi .Bài 6 thì để em post sau nhé PSW.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 24-12-2011 - 11:20
- Cao Xuân Huy yêu thích
#46
Đã gửi 24-12-2011 - 11:48
Có vẻ như lời giải sau đây không được THCS lắm! (hxthanh Gama xin giải câu 2 Alpha)
$\boxed{\text{ Lời giải 1 - Lượng Giác}}$
Ký hiệu như trong hình vẽ, ta có:
$\widehat{ACB}=\beta$ (cùng chắn cung AB)
Do đó $\triangle{ABM}\sim \triangle{CAM}$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BM}{AM}=\dfrac{AM}{MC}$
Theo định lý sin ta có: $AB=2R\sin{\beta};\;AC=2R\sin{(\alpha+\beta)};\;BC=2R\sin{(180^{\circ}-(\alpha+2\beta))}=2R\sin{(\alpha+2\beta)}$
Từ đẳng thức trên suy ra:
$\dfrac{MC}{R}=\dfrac{BC+BM}{R}=2\sin{(\alpha+2\beta)}+\dfrac{\sin{\beta}}{\sin{(\alpha+\beta)}}=\dfrac{R}{BM}=\dfrac{\sin{(\alpha+\beta)}}{\sin{\beta}}$
$\Rightarrow 2\sin{(\alpha+2\beta)}+\dfrac{\sin{\beta}}{\sin{(\alpha+\beta)}}=\dfrac{\sin{(\alpha+\beta)}}{\sin{\beta}}$
$\Rightarrow 2\sin{\beta}\sin{(\alpha+\beta)}\sin{(\alpha+2\beta)}+\sin^2{\beta}-\sin^2{(\alpha+\beta)}=0$
$\Rightarrow \sin{(\alpha+2\beta)}\left(\sin{\alpha}-\cos{\alpha}-\cos{(\alpha+2\beta)}\right)=0$
$\Rightarrow \cos{(\alpha+2\beta)}=\sin{\alpha}-\cos{\alpha}$
$\Rightarrow \sin{(\alpha+2\beta)}=\sqrt{\sin{2\alpha}}$
Do đó ta có:
$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}R\sin{\alpha}.2R\sqrt{\sin{2\alpha}}=R^2.\dfrac{\sqrt{2\tan^3{\alpha}}}{\tan^2{\alpha}+1}$
Với mọi k>0 ta có BĐT: $\dfrac{1}{9}(k-\sqrt{3})^2(9k^2+2\sqrt{3}k+3)\ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{2k^3}{(k^2+1)^2}\le \dfrac{\sqrt{27}}{8}$
Vậy $\max{(S_{ABC})}=R^2.\dfrac{\sqrt[4]{108}}{4}$ Dấu bằng đạt được tại $\tan{\alpha}=\sqrt{3}\Rightarrow \alpha=60^{\circ}$
________________________
Vẫn chưa có lời giải nào thực sự THCS
#47
Đã gửi 24-12-2011 - 11:51
Thât lòng mà nói thì bài 2 này chỉ đơn giản là cân bằng hệ số của BĐT AM-GM mà thôi,dựa trên đẳng thức hiển nhiên:$\sin^2{x}+\cos^2{x}=1,\forall x$.Em nghĩ bài này quá hợp với THCS ấy chứ.Lời giải của Phúc cho bài 2 nhìn còn chóng mặt hơn lời giải 1 của mình. (Nó có phù hợp với cấp THCS không?)
- hxthanh yêu thích
#48
Đã gửi 25-12-2011 - 18:18
Đáp án bài 6-Olympiad của đội ALPHA:
Gọi $d_{n};h_{n}$ tương ứng là đường kính đáy và đường sinh của hình trụ $T_{n}$.Dễ dàng có các hệ thức sau:
$$d_{n+1}=h_{n}$$
$$h^2_{n+1}=d^2_{n}-d^2_{n+1}$$
Suy ra:
$$h^2_{n+1}=d^2_{n}-h^2_{n}$$
Vậy với mỗi $n$ để tồn tại hình trụ $T_{n+1}$ nội tiếp ngang hình trụ $T_{n}$ thì $d^2_{n}-h^2_{n}>0$ hay $\dfrac{d^2_{n}}{h^2_{n}}>1$
Xét dãy $\{a_n \}$ trong đó $a_n=\dfrac{d^2_{n}}{h^2_{n}}$
Có:
$$\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{h^2_{n+1}}{d^2_{n+1}}=\dfrac{d^2_{n}-h^2_{n}}{h^2_{n}}=a_n-1$$
Suy ra:$a_n=1+\dfrac{1}{a_{n+1}},\forall n$
Vì hàm số $f(x)=1+\dfrac{1}{x}$ là hàm nghịch biến trên $(0;+\infty)$ nên:
$$a_n>1 \leftrightarrow f(a_n)<f(1) \leftrightarrow a_{n-1}<f(1) \leftrightarrow f(a_{n-2})>f(f(1)) \leftrightarrow a_{n-2}>f(f(1))....(*)$$
Đặt $b_1=1;b_2=f(1);b_3=f(f(1))...$
Từ (*) suy ra:
Nếu $n$ lẻ thì $ a_n>1 \leftrightarrow a_1>b_{n}$
Nếu $n$ chẵn thì $ a_n>1 \leftrightarrow a_1<b_{n}$
Vậy $a_n>1,\forall n \leftrightarrow b_{2n+1}<a_1<b_{2m}(\forall m,n \in \mathbb{N})$
Xét hàm số $g(x)=f(f(x))=2-\dfrac{1}{x+1}$ là hàm đồng biến trên $(0;+\infty)$.Vì $b_1=1<\dfrac{3}{2}=b_3 \rightarrow b_5=g(b_3)>g(b_1)=b_3...$ nên $b_1;b_3;b_5;...$ là dãy tăng.Tương tự như vậy thì $b_2;b_4;b_6...$ là dãy giảm.
Vì $f\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ và $b_{n}>1,\forall n$ nên ta có:
$$\left|\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-b_{n} \right|=\left|f\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)-f(b_{n-1}) \right|=\left|\dfrac{1}{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}-\dfrac{1}{b_{n-1}} \right|$$
$$=\dfrac{\left|\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-b_{n-1} \right|}{b_{n-1}\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)}<\dfrac{\left|\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-b_{n-1} \right|}{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}<....<\dfrac{\left|\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-b_1 \right|}{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1}}$$
Dễ dàng thấy rằng:
$$\lim_{n \to +\infty}\dfrac{1}{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1}}=0$$
$$\left|\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-b_1 \right|=const$$
Nên ta có:
$$\lim_{n \to +\infty}b_{n}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$$
Vậy :
$$b_{2n+1}<a_1<b_{2m}(\forall m,n \in \mathbb{N}) \leftrightarrow a_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$$
Như vậy:$T_1$ thỏa mãn yêu cầu đề bài khi và chỉ khi $\dfrac{d_1}{h_1}=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 25-12-2011 - 18:25
- perfectstrong và Zaraki thích
#50
Đã gửi 12-02-2012 - 16:56
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh