Khi học phương trình vô tỉ ở lớp 8, trong vấn đề phương trình quy về bậc 2 các bạn đã làm quen với một loại phương trình mới,hiểu rõ hơn về biến đổi tương đương, được củng cố về phương trình bậc hai, ôn lại khái niệm căn số học và biến đổi căn thức, rèn luyện tính toán bằng số. Các bạn, ngay ở lớp 8, đã biết các phương pháp như: cô lập căn thức, nâng lên lũy thừa, nhân với nhân tử liên hợp, thông qua việc giải các bài tập trong sgk Đại số lớp 8, các bạn biết thêm được một số phương pháp nữa là phương pháp đánh giá hai vế. Sau đây xin trình bày để các bạn biết được một vài phương pháp để giải phương trình vô tỉ nữa.
1. Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1: Giải phương trình
$15x-2x^2-5=\sqrt{2x^2-15x+11}$
Phương trình trên tương đương với
$(2x^2-15x+5)+\sqrt{2x^2-15x+11}=0$
Ta đặt $t=\sqrt{2x^2-15x+11}$ (ở đây vì $t$ là giá trị căn số học nên $t \ge 0$). Ta có $t^2+t-6=0 \Rightarrow t_1=2; t_2=-3$ (loại).
Với $t=2$, ta có:
$\sqrt{2x^2-15x+11}=2$
$2x^2-15x+7=0$
$x_1=7;x_2=1/2$.
Sau khi thử nghiệm ta thấy $x_1=7$ và $x_2=1/2$ đúng là nghiệm của phương trình đã cho.
Nếu không dùng phương pháp đặt ẩnn phụ thì các bạn sẽ phải bình phương một đa thức và phải giải một phương trình bậc 4.
Ví dụ 2: Giải phương trình
$\sqrt{x-1+2\sqrt{x-2}}+\sqrt{7+x+6\sqrt{x-2}}=2$
Ta có $\sqrt{(x-2)+2\sqrt{x-2}+1}+\sqrt{(x-2)+2.3\sqrt{x-2}+9}=2$.
Đặt $t=\sqrt{x-2}(t \ge 0)$, ta sẽ viết được:
$\sqrt{t^2+2t+1}+\sqrt{t^2+6t+9}=2$
$\sqrt{(t+1)^2}+\sqrt{(t+3)^2}=2$
Ở đây, vì $t$ dương nên $t+1$ và $t+3$ cũng đều dương, và ta có:
$(t+1)+(t+3)=2 \Rightarrow t=-1$
Như vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
2. Phương pháp phản chứng
Các bạn đã biết phương pháp phản chứng ngay từ khi học lớp 6. Dùng phương pháp phản chứng để giải phương trình vô tỉ nhiều khi khá tốt. Chẳng hạn ta có thể giải phương trình đã cho trong ví dụ 2 ở trên bằng phương pháp phản chứng.
Đầu tiên, ta thấy, nếu phương trình có nghiệm là $x_0$ thì $x_0 \ge 2$ để cho $x_0-2 \ge 0$ (số dưới căn bậc hai).
Ta có:
$\sqrt{x_0-1+2\sqrt{x_0-2}}+\sqrt{7+x_0+6\sqrt{x_0-2}} > \sqrt{7+x_0+6\sqrt{x_0-2}}>\sqrt{7}>2$
Điều này trở nên vô lí, vì nếu $x_0$ là nghiệm thì vế trái của phương trình phải bằng vế phải. Do đó, phương trình đã cho vô nghiệm.3. Phương pháp hệ
Phương pháp hệ dùng để giải phương trình vô tỉ có dạng
$\sqrt{ax+b} \ \pm \ \sqrt{cx+d} =k \ \ \ \ \ \ \ (1)$
Ta có thể thử được dễ dàng đẳng thức sau đây:
$\left ( \sqrt{ax+b} \ \pm \ \sqrt{cx+d} \right )^2=k^2=\left ( \sqrt{\dfrac{c}{a}}.\sqrt{ax+b} \ \pm \ \sqrt{\dfrac{a}{c}}.\sqrt{cx+d} \right )^2+\left ( a-c \right )\left ( \dfrac{b}{a}-\dfrac{d}{c} \right ) \ \ \ \ \ \ \ (2)$
Như vậy, việc giải $(1)$ ta được đưa đến việc giải hệ:
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{ax+b} \ \pm \sqrt{cx+d}=k & & \\ \sqrt{\dfrac{c}{a}}.\sqrt{ax+b} \ \pm \ \sqrt{\dfrac{a}{c}}.\sqrt{cx+d}=l & & \end{matrix}\right.$
Ta sẽ tìm được $ax+b$ hoặc $cx+d$ và do đó sẽ xác định được $x$. Trong thức hành, khi đã quen thì việc thành lập $(2)$ khá nhanh gọn.
Ví dụ 3: Giải phương trình $\sqrt{x+3} \ + \ \sqrt{2x-1}=4$.
Phân tích $\left ( \sqrt{2x-1} \ + \ \sqrt{x+3} \right )^2=\left (\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2x-1} \ + \ \sqrt{2}.\sqrt{x+3} \right )^2-3,5=16.$
Từ đó ta viết được:
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2x-1} \ + \sqrt{2}.\sqrt{x+3}=\sqrt{19,5}.$
Sau khi nhân cả hai vế với $\sqrt{2}$, ta có:
$\sqrt{2x-1} \ +\sqrt{x+3} \ + \ \sqrt{x+3}=\sqrt{39}$
$4+ \ \sqrt{x+3}= \sqrt{39} \Rightarrow x=(52-8\sqrt{39})$.
Thử lại phương trình đã cho, ta có $x=(52-8\sqrt{39})$ là nghiệm.
Ngoài ra, phương trình đã cho không có nghiệm nào khác vì
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2x-1}\ +\sqrt{2}.\sqrt{x+3}=-\sqrt{19,5}$
là phương trình vô nghiệm (tổng của hai số dương không thể nào là số âm).
Ví dụ 4: Giải phương trình: $\sqrt{4x-2} \ + \ \sqrt{4x+2}=4$.
Đây là trường hợp $a=c$, nên ta có:
$\dfrac{4}{\sqrt{4x+2} \ - \ \sqrt{4x-2}}=4 \Rightarrow \sqrt{4x+2} \ - \ \sqrt{4x-2}=1$
Cộng vế phương trình này với vế phương trình đã cho, ta có:
$2\sqrt{4x+2}=5 \rightarrow x= \dfrac{17}{16}.$
(Còn nữa...)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 12-08-2011 - 09:30