5 replies to this topic

[ChuDong2008]

Tìm cặp số nguyên dương x, y sao cho $\dfrac{x^3+x}{xy-1}$ là số nguyên dương.

[hxthanh]

Vì $gcd(x,x^2+1)=1$ suy ra
Hoặc $xy-1\; |;x$ hoặc $xy-1\; | \;x^2+1$
Trường hợp 1 ta có: $\begin{Bmatrix}x-1\le xy-1 \le x \\ xy-1\; | \;x\end{Bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix}xy-1 &=x \\ xy-1 &=1 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix}x(y-1) &=1 \\ xy &=2 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix}x=1;\;\;\; y=2 \\ x=2;\;\;\; y=1 \end{bmatrix}$

Trường hợp 2 xét modulo $x$ ta có: $\begin{Bmatrix}xy-1 &\equiv -1 \pmod{x} \\ x^2+1 &\equiv 1 \pmod{x} \end{Bmatrix}\Rightarrow -1\equiv 1 \pmod{x}\Rightarrow 2\equiv 0 \pmod{x}\Rightarrow x=1 \text{ hoặc } x=2$

Thay các giá trị $x$ vào biểu thức ta tìm được $y$

Cuối cùng các giá trị phải tìm là $(x,y)\in\{(1,2);(1,3);(2,1);(2,3)\}$
--------------------------------

Edited by Cao Xuân Huy, 10-11-2011 - 20:44.

[hxthanh]

Bạn Huy hiểu sai rồi, tớ có nói $xy-1$ chia hết cho $x$ đâu?
Mà là $xy-1$ là ước của $x$ - Thế ký hiệu là $xy-1\;|\;x$ không phải sao bạn ???
Trong các sách nước ngoài họ không hề dùng ký hiệu $\vdots$ đâu bạn.
_________

Mình muốn bạn giải thích lý do bạn sửa bài của mình?
--------------------------
C.X.H: Sorry nhé. Mình không biết kí hiệu đó. Thành thật xin lỗi bạn. Mình sẽ edit lại

Edited by Cao Xuân Huy, 10-11-2011 - 20:43.

[Zaraki]

Bài toán thiếu nghiệm $(x,y) \in \{ (1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2) \}$.
Chú ý rằng $x$ và $xy-1$ nguyên tố cùng nhau.

Edited by Phạm Quang Toàn, 10-11-2011 - 20:27.

[ngochapid]

Vì $gcd(x,x^2+1)=1$ suy ra
Hoặc $xy-1\; |;x$ hoặc $xy-1\; | \;x^2+1$
Trường hợp 1 ta có: $\begin{Bmatrix}x-1\le xy-1 \le x \\ xy-1\; | \;x\end{Bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix}xy-1 &=x \\ xy-1 &=1 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix}x(y-1) &=1 \\ xy &=2 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix}x=1;\;\;\; y=2 \\ x=2;\;\;\; y=1 \end{bmatrix}$

Trường hợp 2 xét modulo $x$ ta có: $\begin{Bmatrix}xy-1 &\equiv -1 \pmod{x} \\ x^2+1 &\equiv 1 \pmod{x} \end{Bmatrix}\Rightarrow -1\equiv 1 \pmod{x}\Rightarrow 2\equiv 0 \pmod{x}\Rightarrow x=1 \text{ hoặc } x=2$

Thay các giá trị $x$ vào biểu thức ta tìm được $y$

Cuối cùng các giá trị phải tìm là $(x,y)\in\{(1,2);(1,3);(2,1);(2,3)\}$
--------------------------------

Tại sao từ cái này có thẻ suy ra được cái này hả thầy? 

Tại vì ví dụ như $gcd(2,3)=1$ nhưng $ 6| 2.3$ mà đâu phải $6|2$ hay $6|3$ đâu  ạ? 

[tranphongk33]

Tìm cặp số nguyên dương x, y sao cho $\dfrac{x^3+x}{xy-1}$ là số nguyên dương.

Một cách giải:

Xét $x=1$, suy ra: $\dfrac{2}{y-1}\in\mathbb N$, từ đó có $y=2\vee y=3$.

Xét $y=1$, suy ra: $\dfrac{x^3+x}{x-1}=x^2+x+2+\dfrac{2}{x-1}\in\mathbb N$, từ đó có: $x=2\vee x=3$.

Xét $x\ge 2$ hoặc $y\ge 2$. Ta có: $(x,xy-1)=1$. Do đó:

$xy-1|x^3+x\Rightarrow xy-1|x^2+1\Rightarrow xy-1|x+y$. 

Suy ra: $x+y\ge xy-1\Rightarrow (x-1)(y-1)\le 2$. Từ đó có: $(x-1)(y-1)=1\ \vee (x-1)(y-1)=2$ suy ra: $x=y=2$ (loại) hoặc $x=2,y=3$ hoặc $x=3,y=2$.

Vậy các cặp số $(x,y)$ thỏa mãn là: $(1;2),(2;1),(1;3),(3;1),(2;3),(3;2)$.