69 replies to this topic

[reddevil123]

Phân tích đa thức thành nhân tử là 1 kiến thức cơ bản của chương trình Toán lớp 8. Đây là dạng toán tương đối khó và khá phức tạp. Trong các kì thi HSG, thi chuyển cấp, thi chuyên Toán, ... đều có các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử. Vì vậy mình lập pic này để mọi người cùng nhau trao đổi kiến thức, nâng cao khả năng của mỗi người.
Mong các bạn tham gia tích cực và tuyệt đối không Spam

Một số bài toán :

Bài 1: a, $ab(a+b)-bc(b+c)+ca(c+a)+abc$

b, $a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)+2abc$

[trandat]

Mình có một số bài toán mong mọi người cùng giải
a, $4x^4+y^4$
b, $x^5+x^4+1$
c, $4x^4+1$
d, $x^8+x^7+1$
e, $x^7+x^5+1$
f, $x^8+x^{491}$
g, $4x^4+4x^3+5x^2+2x+1$
h, $x^4-7x^3+14x-7x+1$

Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 13-11-2011 - 07:33.

[funcalys]

Bài 1: a, $ab(a+b)-bc(b+c)+ca(c+a)+abc$

Ta có:$abc = abc - abc + abc$
Viết lại: $ab(a+b)+abc - bc(b+c) - abc +ac(c+a) + abc$
$=ab(a+b+c) -bc(a+b+c) + ac(a+b+c)$
$=(a+b+c)(ab-bc+ac)$

Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 13-11-2011 - 07:30.

[Phạm Hữu Bảo Chung]

a, $4x^4 + y^4 = (2x^2)^2 + 4x^2y^2 + (y^2)^2 - 4x^2y^2 $

$= (2x^2 + y^2)^2 - (2xy)^2 = (2x^2 + y^2 - 2xy)(2x^2 + y^2 + 2xy)$

c, $4x^4 + 1 = (2x^2 - 2x + 1)(2x^2 + 2x +1)$
(Áp dụng câu a với y = 1)
Tổng quát
Với những biểu thức có dạng:

$A^{4m} + B^{4n}$

Ta phân tích như sau:

$A^{4m} + B^{4n} $

$= (A^{2m})^2 + 2.A^{2m}.B^{2n} + (B^{2n})^2 - 2.(A^{m}.B^{n})^2$

$= (A^{2m} + B^{2n} )^2 - (\sqrt{2}.A^{m}.B^{n})$

$= (A^{2m } - \sqrt{2}.A^{m}.B^{n} + B^{2n})(A^{2m} + \sqrt{2}.A^{m}.B^{n} + B^{2n})$

Câu a áp dụng với A = $\sqrt{2}x$; B = y; m = 1; n = 1.
Câu c áp dụng với A = $\sqrt{2}x$; B = 1; m = 1; n = 1

b, $x^5 + x^4 + 1 = (x^5 + x^4 + x^3) - (x^3 + x^2 + x) + x^2 + x + 1$

$= x^3(x^2 + x + 1) - x(x^2 + x + 1) + x^2 + x + 1$

$= (x^2 + x + 1)(x^3 - x + 1)$

d, $x^8 + x^7 + 1 $

$= (x^8 + x^7 + x^6) - (x^6 + x^5 + x^4) + x^5 + x^4 + x^3 - (x^3 - 1)$

$ = (x^6 - x^4 + x^3)( x^2 + x + 1) - (x - 1)(x^2 + x + 1)$

$ = (x^2 + x + 1)(x^6 - x^4 + x^3 - x + 1)$

e, $x^7 + x^5 + 1 $

$ = (x^7 + x^6 + x^5 ) - (x^6 - 1) = x^5(x^2 + x + 1) - (x^3 - 1)(x^3 + 1)$

$= x^5(x^2 + x + 1) - [(x - 1)(x^3 + 1)](x^2 + x + 1)$

$= (x^2 + x + 1)(x^5 - x^4 + x^3 - x + 1)$

Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 13-11-2011 - 08:23.

[Crystal]

Góp cho pic một số bài.

$1.\,\,{x^4} + 2012{x^2} + 2011x + 2012$

$2.\,\,{x^8} + 98{x^4}$

$3.\,\,x\left( {x + 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x + 10} \right) + 128$

$4.\,\,\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right){\left( {x + y + z} \right)^2} + {\left( {xy + yz + zx} \right)^2}$

$5.\,\,2\left( {{x^4} + {y^4} + {z^4}} \right) - \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right){\left( {x + y + z} \right)^2} + {\left( {x + y + z} \right)^4}$

$6.\,\,{\left( {x + y + z} \right)^3} - 4\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) - 12xyz$

[perfectstrong]

phân tích bằng 2 cách đa thức sau thành nhân tử

$x^3-7x-6$

Nhẩm được nghiệm của đa thức là 3;-1;-2 nên ta phân tích được ngay:
$x^3-7x-6=(x-3)(x+1)(x+2)$

[reddevil123]

Phân tích thành nhân tử:

$a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+c(a+b-c)^2+(a+b-c)+(b+c-a)+(c+a-b)$

[LuongDucTuanDat]

3.
$x(x+4)(x+6)(x+10)+128 $
$= (x^{2}+10x)(x^{_{2}}+10x+24)$ + 128
$= (x^{2}+10x+12)^{2}-16$
$=(x^{2}+10x+16)(x^{2}+10x+8)$

Edited by LuongDucTuanDat, 25-01-2012 - 21:55.

[Dung Dang Do]

phân tích bằng 2 cách đa thức sau thành nhân tử

$x^3-7x-6$

Cách 1 anh Hân đạ giải anh xin giả cách 2
$x^{3}-7x-6=x^{3}-2x^{2}+2x^{2}-3x-4x-6=(x^{2}-2x-3)(x+2)=(x-3)(x+1)(x+2)$

[Dung Dang Do]

Chém câu 2 của anh Nguyễn Sinh Thành:
$x^{8}+98x^{4}=x^{8}+98x^{4}+49^{2}-49^{2}=(x^{4}-
49)^{2}-49^{2}=x(x^{4}-98)$

------

Tên của anh đâu phải thế em Nguyễn Sanh Thành mà.

[thedragonknight]

Bổ sung cho mọi người 1 bài phân tích đa thức thành nhân tử rất hay dùng:
a³+b³+c³-3abc

[Dung Dang Do]

Cái này nên đưa về để sau này áp dụng vào chứng minh các bài toán khác>
$\frac{1}{2}(x+y+z)\left [ (x-y)^2+(x-z)^2+(z-y)^2 \right ]$

[nguyenhuuhoa]

Mình xin góp 1bài
a,$$x^8+14x^4+1$$
b,$$x^8+98x^4+1$$

Edited by yeutoan11, 01-04-2012 - 15:52.
Em chú ý gõ Tiếng việt có dấu và $\LaTeX$ công thức kẹp giữa $

[yeutoan11]

Xin chém luôn
a/$$x^8+14x^4+1=x^8+14x^4+49-48=(x^4+7)^2-\sqrt{48}^2=(x^4+7-\sqrt{48})(x^4+7+\sqrt{48})$$
b/$$x^8+98x^4+1=(x^8+98x^4+2401)-2400$$
đến đây rồi làm như câu $a$

Edited by yeutoan11, 15-05-2012 - 19:11.

[minhtuyb]

$A=x^8+14x^4+1=(x^8+4x^6+6x^4+4x^2+1)-(4x^6-8x^4+4x^2)$
-Áp dụng hằng đẳng thức: $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$, ta có:
$A=(x^2+1)^4-[(2x^3)^2-2.2x^3.2x+(2x)^2]$
$=(x^4+2x^2+1)^2-(2x^3-2x)^2$
$=(x^4+2x^2+1-2x^3+2x)(x^4+2x^2+1+2x^3-2x)$


$x^8+98x^4+1$
$=(x^8+64x^4+1+2.8x^6+2.8x^2+2.x^4)-(16x^6-32x^2+16x^2)$
$= (x^4+8x^2+1)^2-(4x^3-4x)^2$
$=(x^4+8x^2+1-4x^3+4x)(x^4+8x^2+1+4x^3-4x)$
Có thể phân tích tiếp, nhưng lại ra căn nên thôi
P/S: Có phải bé nào bên hm ko )

Edited by minhtuyb, 01-04-2012 - 16:25.

[nguyenhuuhoa]

Tính giá trị biểu thức:$S=1^3+2^3+3^3+...+n^3$

Edited by perfectstrong, 01-04-2012 - 20:09.

[NLT]

Tính giá trị biểu thức:$S=1^3+2^3+3^3+...+n^3$

Ta chứng minh bằng quy nạp: ${1^3} + {2^3} + ... + {n^3} = {\left[ {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right]^2}$ (n tự nhiên, n>0)
------------------
Dễ thấy mệnh đề đúng với n=1.
Gỉa sử mệnh đề đúng với n=k tức là:
${1^3} + {2^3} + ... + {k^3} = {\left[ {\frac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2}} \right]^2}$
Cần chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1 tức là chứng minh:
${1^3} + {2^3} + ... + {k^3} + {\left( {k + 1} \right)^3} = {\left[ {\frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}} \right]^2}$
$ \Leftrightarrow {\left[ {\frac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2}} \right]^2} + {\left( {k + 1} \right)^3} = {\left[ {\frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}} \right]^2}$ (*)
Ta có: ${\left[ {\frac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2}} \right]^2} + {\left( {k + 1} \right)^3} = {\left( {k + 1} \right)^2}\left[ {\frac{{{k^2}}}{4} + k + 1} \right] = {\left[ {\frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}} \right]^2}$
=> $(*):True$
Do đó mệnh đề cần chứng minh đúng, vậy ta có công thức tính như sau:
${1^3} + {2^3} + ... + {n^3} = {\left[ {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right]^2}$ (n tự nhiên, n>0)

Edited by Nguyen Lam Thinh, 15-05-2012 - 18:24.

[nthoangcute]

Giờ mình mới biết là có topic này.

Sau đây là kết quả của các bài toán trên:

Bài 1: a, $ab(a+b)-bc(b+c)+ca(c+a)+abc$
b, $a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)+2abc$

a) $(c+b+a)(ab-bc+ca)$
b) $(b+c)(c+a)(a+b)$

a, $4x^4+y^4$
b, $x^5+x^4+1$
c, $4x^4+1$
d, $x^8+x^7+1$
e, $x^7+x^5+1$
f, $x^8+x^{491}$
g, $4x^4+4x^3+5x^2+2x+1$
h, $x^4-7x^3+14x-7x+1$

a) $(2x^2-2xy+y^2)(2x^2+2xy+y^2)$
b) $(x^2+x+1)(x^3-x+1)$
c) $(2x^2-2x+1)(2x^2+2x+1)$
d) $(x^2+x+1)(x^6-x^4+x^3-x+1)$
e) $(x^2+x+1)(x^5-x^4+x^3-x+1)$
f) $x^8(x+1)(1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6)(1-x+x^2)(1+x-x^3-x^4+x^6-x^8-x^9+x^11+x^12)$
$(1-x+x^2-x^3+...+x^22)(1+x-x^8-x^7+x^28-x^35+x^42-...+x^15+x^14)(1+x-x^4-x^3+...-x^10-x^9)$
$(1-x+x^2-x^8+x^7-...-x^111-x^118+x^22-x^21+x^9)$
g) $(1+x+2x^2)^2$
h) Anh viết nhầm rồi: $x^4-7x^3+14x^2-7x+1=(x^2-4x+1)(x^2-3x+1)$

$1.\,\,{x^4} + 2012{x^2} + 2011x + 2012$
$2.\,\,{x^8} + 98{x^4}$
$3.\,\,x\left( {x + 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x + 10} \right) + 128$
$4.\,\,\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right){\left( {x + y + z} \right)^2} + {\left( {xy + yz + zx} \right)^2}$
$5.\,\,2\left( {{x^4} + {y^4} + {z^4}} \right) - \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right){\left( {x + y + z} \right)^2} + {\left( {x + y + z} \right)^4}$
$6.\,\,{\left( {x + y + z} \right)^3} - 4\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) - 12xyz$

1. $(x^2+x+1)(x^2-x+2012)$
2. $x^4(x^4+98)$
3. $(x+8)(x+2)(x^2+10x+8)$
4. $(x^2+xy+y^2+zx+yz+z^2)^2$
5. Anh chép sai đề: $2(x^4+y^4+z^4)-(x^2+y^2+z^2)^2-(2(x^2+y^2+z^2))(x+y+z)^2+(x+y+z)^4$
$=8xyz(x+y+z)$
6. $-3(y+x-z)(-y+x-z)(-y+x+z)$

[nthoangcute]

$a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+c(a+b-c)^2+(a+b-c)+(b+c-a)+(c+a-b)$

Bạn chép sai đề: $a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+c(a+b-c)^2+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=4abc$

$a^3+b^3+c^3-3abc$

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

a,$x^8+14x^4+1$
b,$x^8+98x^4+1$

a) $(x^4-2x^3+2x^2+2x+1)(x^4+2x^3+2x^2-2x+1)$
b) $(x^4-4x^3+8x^2+4x+1)(x^4+4x^3+8x^2-4x+1)$

[nthoangcute]

Mình có vài bài phân tích đa thức thành nhân tử, post lâu rồi:
________________________________________________

Bạn cho thử cái VD xem

Sau đây là các VD bạn có thể sử dụng:( không làm được câu nào cứ hỏi mình nhé)
${x}^{4}+3\,{x}^{3}-4\,{x}^{2}-11\,x+5=0$
${x}^{4}+12\,{x}^{3}+21\,{x}^{2}-24\,x+5=0$
${x}^{4}-6\,{x}^{3}-132\,{x}^{2}+885\,x+500=0$
$10\,{x}^{4}+27\,{x}^{3}-16\,{x}^{2}-45\,x+28=0$
$10\,{x}^{4}+27\,{x}^{3}+245\,{x}^{2}+306\,x+1288=0$
${x}^{4}+9\,{x}^{3}+20\,{x}^{2}+9\,x+1=0$
Sau đây khó hơn nè:
${x}^{4}+4\,{x}^{3}+7\,{x}^{2}+10\,x+3=0$
${x}^{4}+19\,{x}^{3}+109\,{x}^{2}+181\,x+90=0$
${x}^{4}+{x}^{3}+2\,{x}^{2}\sqrt {2}+\sqrt {2}{x}^{3}+3\,x+{x}^{2}+\sqrt {2}=0$
${x}^{4}+2\,{x}^{3}+5\,{x}^{2}+\sqrt {2}{x}^{3}+2\,{x}^{2}\sqrt {2}+6\, \sqrt {2}x-2\,x-6=0$
$2\,{x}^{4}+3\,\sqrt {2}{x}^{3}+5\,{x}^{2}\sqrt {2}+2\,{x}^{2}+4\,x-6=0$
${x}^{6}+4\,{x}^{5}+7\,{x}^{4}+6\,{x}^{3}+{x}^{2}-2\,x-2=0$
$80\,{x}^{6}+306\,{x}^{5}+15\,{x}^{4}-774\,{x}^{3}-21\,{x}^{2}+702\,x- 280=0$
$40\,{x}^{9}-22\,{x}^{6}+133\,{x}^{8}+76\,{x}^{5}+96\,{x}^{7}+106\,{x}^{4}-60\,{x}^{3}-57\,{x}^{2}+10\,x+2=0$
____________________________________________________
Thế là đủ rùi đó