Chủ đề này có 5 trả lời

[hai_ddt_311]

Giúp em với:
Cho các số thực $x>0,y>0,z>0$ thoả mãn xyz+x+z=y
Tìm MAX của biểu thức:$S=\dfrac{2}{1+x^2}-\dfrac{2}{1+y^2}+\dfrac{3}{1+z^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hai_ddt_311: 18-11-2011 - 15:51

[alex_hoang]

Giúp em với:
Cho các số thực $x>0,y>0,z>0$ thoả mãn xyz+x+z=y
Tìm MAX của biểu thức:$S=\dfrac{2}{1+x^2}-\dfrac{2}{1+y^2}+\dfrac{3}{1+z^2}$

Giải


Đây là bài toán thi Olympic của Việt Nam năm 2002 và lời giải của nó có thể sử dụng lượng giác hoặc sử dụng BĐT Cauchy Schwarz mình sẽ trình bày lời giải giác (Cho ngắn )
Đặt \[a = \tan \alpha ,c = \tan \beta \Rightarrow b = \frac{{a + c}}{{1 - ac}} = \tan (\alpha + \beta )\]
Vì $a,b,c>0$ nên có thể xem $\alpha > 0,\beta > 0,\alpha + \beta < \frac{\pi }{2}$ khi đó
\[P = 2{\cos ^2}\alpha - 2{\cos ^2}(\alpha + \beta ) + 3{\cos ^2}\beta = \frac{{10}}{3} - 3{\left[ {\sin \beta - \frac{1}{3}\sin (2\alpha + \beta )} \right]^2} - \frac{1}{3}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}(2\alpha + \beta ) \le \frac{{10}}{3}\]
Dấu bằng bạn tự tìm
Bạn thử xem xem cách giải đại số như thế nào nha

[Crystal]

Giúp em với:
Cho các số thực $x>0,y>0,z>0$ thoả mãn xyz+x+z=y
Tìm MAX của biểu thức:$S=\dfrac{2}{1+x^2}-\dfrac{2}{1+y^2}+\dfrac{3}{1+z^2}$

Bài này có thể sử dụng phương pháp hàm số nhưng hơi dài và không hay cho lắm .

[NiQaTu96]

Bài này tôi có cách không dùng tan hay hàm số nè:
$xyz+x+z=y$ hay $ 1+ \dfrac{1}{yz} + \dfrac{1}{xy} = \dfrac{1}{xz} $
Đặt $\dfrac{1}{x} = a$ tương tự b,c đấy . . . .. . .
Ta có $1 + bc + ab = ac$ (1)
và $S =\dfrac{2a^2}{1+a^2} - \dfrac{2b^2}{1+b^2} + \dfrac{3c^2}{1+c^2}$ (2)

Thay (1) vào (2):
$S = \dfrac{2a^2}{a^2+ac-bc-ab} - \dfrac{2b^2}{b^2+ac-bc-ab} + \dfrac{3c^2}{c^2+ac-bc-ab}$
Phân tích đa thức thành nhân tử:
$S = \dfrac{2a^2}{(a+c)(a-b)} - \dfrac{2b^2}{(a-b)(c-b)} + \dfrac{3c^2}{(a+c)(c-b)}$
Đến đây thỳ ok rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NiQaTu96: 18-11-2011 - 19:57

[hai_ddt_311]

Giải


Đây là bài toán thi Olympic của Việt Nam năm 2002 và lời giải của nó có thể sử dụng lượng giác hoặc sử dụng BĐT Cauchy Schwarz mình sẽ trình bày lời giải giác (Cho ngắn )
Đặt \[a = \tan \alpha ,c = \tan \beta \Rightarrow b = \dfrac{{a + c}}{{1 - ac}} = \tan (\alpha + \beta )\]
Vì $a,b,c>0$ nên có thể xem $\alpha > 0,\beta > 0,\alpha + \beta < \dfrac{\pi }{2}$ khi đó
\[P = 2{\cos ^2}\alpha - 2{\cos ^2}(\alpha + \beta ) + 3{\cos ^2}\beta = \dfrac{{10}}{3} - 3{\left[ {\sin \beta - \dfrac{1}{3}\sin (2\alpha + \beta )} \right]^2} - \dfrac{1}{3}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}(2\alpha + \beta ) \le \dfrac{{10}}{3}\]
Dấu bằng bạn tự tìm
Bạn thử xem xem cách giải đại số như thế nào nha

Cảm ơn anh, em hiểu rồi ạ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hai_ddt_311: 21-11-2011 - 16:20

[baopbc]

.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 14-12-2016 - 12:38