Chủ đề này có 6 trả lời

[hxthanh]

Cho $$f(x)=\dfrac{\left\lfloor x\right\rfloor\left(2x-1-\left\lfloor x\right\rfloor\right)}{2}$$

• Chứng minh hàm số trên liên tục $\forall x\in \mathbb{R}$
• Hãy dùng định nghĩa đạo hàm để tính $f\;'\;(x)$

__________________________
p/s Đây là một ví dụ cho hàm liên tục mà đạo hàm thì gián đoạn

[E. Galois]

1) Ta có: $y = [x]$ liên tục trên từng khoảng $(n;n+1), \forall n \in \mathbb{Z}$, Do đó hàm số $f(x)$ liên tục trên từng khoảng $(n;n+1), \forall n \in \mathbb{Z}$ (Vì tổng, hiệu, tích, thương các hàm liên tục là một hàm liên tục).
Xét tại điểm $x_0 = n \in \mathbb{Z}$ ta có:
$$\lim_{x \to n^- }f(x)=\lim_{x \to n^- }\dfrac{[x](2x-1-[x])}{2}=\dfrac{(n-1)(2n-1-(n-1))}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$$
$$\lim_{x \to n^+ }f(x)=\lim_{x \to n^+ }\dfrac{[x](2x-1-[x])}{2}=\dfrac{n(2n-1-n)}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$$
Suy ra:
$$\lim_{x \to n }f(x)=\dfrac{n(n-1)}{2} = f(n)$$
Vậy hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_0 = n \in \mathbb{Z}$.
KL: Hàm số $f(x)$ liên tục trên $ \mathbb{R}$.

2)
Ta tính đạo hàm của $f(x)$ tại $x_0 \in (n;n+1), \forall n \in \mathbb{Z}$. Cho $x_0$ số gia $\triangle x$, ta có:
$$\triangle y= f(x_0+\triangle x)-f(x_0)$$
$$=\dfrac{[x_0+\triangle x](2x_0+2\triangle x-1-[x_0+\triangle x])-[x_0](2x_0-1-[x_0])}{2}$$
$$=\dfrac{n(2x_0+2\triangle x - 1 - n)-n(2x_0-1-n)}{2}$$
Do đó:
$$\lim_{\triangle x \rightarrow 0}\dfrac{n(2x_0+2\triangle x - 1 - n)-n(2x_0-1-n)}{2 \triangle x} = n$$
Vậy
$$f'(x) = n, \forall x \in (n;n+1), n \in \mathbb{Z}$$
Xét tại điểm $x_0 = n \in \mathbb{Z}$ ta có:
$$\dfrac{\triangle y}{\triangle x}=\dfrac{[n+\triangle x](2n+2\triangle x-1-[n+\triangle x])-[n](2n-1-[n])}{2\triangle x}$$
Do đó:
$$\lim_{\triangle x \rightarrow 0^+}\dfrac{\triangle y}{\triangle x}=\lim_{\triangle x \rightarrow 0^+}\dfrac{n(2n+2\triangle x-1-n)-n(2n-1-n)}{2\triangle x} = n$$

$$\lim_{\triangle x \rightarrow 0^-}\dfrac{\triangle y}{\triangle x}=\lim_{\triangle x \rightarrow 0^-}\dfrac{(n-1)(2n+2\triangle x-1-n+1)-n(2n-1-n)}{2\triangle x} = n-1 \neq n$$

Vậy $f'(n)$ không tồn tại, $\forall n \in \mathbb{Z}$.

Đúng như anh Thanh nói, $f(x)$ là hàm liên tục nhưng hàm $f'(x)$ gián đoạn tại vô số điểm.

p/s: Nhà toán học Weierstrass còn đưa ra hàm số Weierstrass liên tục tại mọi điểm và không có đạo hàm tại mọi điểm (không đâu khả vi)


$$w(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x) $$

trong đó $0<a<1,b$ là số nguyên lẻ và

$$ ab>1+\frac{3}{2}\pi$$

[hxthanh]

Bài làm của Thế rất chi tiết và chính xác!

Ở bài toán này mình xin bàn ngoài lề một chút:

Từ kết quả $$f\;'(x)=n;\;\forall x \in(n,n+1);\;n\in\mathbb{Z}$$

ta thấy rằng $f\;'(x)=n=\lfloor x\rfloor \forall x\in(n,n+1);\;n\in\mathbb{Z}$ và gián đoạn tại các điểm nguyên

Mặt khác do hàm $\lfloor x\rfloor$ cũng gián đoạn tại các điểm nguyên.

Vậy ta có thể kết luận hàm $f(x)=\dfrac{\left\lfloor x\right\rfloor\left(2x-1-\left\lfloor x\right\rfloor\right)}{2}$ chính là nguyên hàm của $\left\lfloor x\right\rfloor$ (!được không?)

Ví dụ xét tích phân sau $$I=\int\limits_{\sqrt{3}}^{\sqrt{5}} \left\lfloor x\right\rfloor\;dx$$

Với kết quả trên ta dễ dàng tính được $I=\dfrac{\left\lfloor x\right\rfloor\left(2x-1-\left\lfloor x\right\rfloor\right)}{2}\;\left|\begin{matrix}\sqrt{5} \\ \\ \sqrt{3} \end{matrix}\right.=2\sqrt{5}-\sqrt{3}-2 $

Kết quả này hoàn toàn phù hợp với diện tích hình cần tính (Thế vẽ hộ mình cái hình biểu diễn tích phân trên)
________________________________________________________________________
P/S Bài toán này ra đời trong hoàn cảnh mình đi tìm nguyên hàm cho hàm phần nguyên.
Hàm số tìm được ở trên còn có thể biểu diễn dưới dạng

$$f(x)=\dfrac{\left\lfloor x\right\rfloor\left(2x-1-\left\lfloor x\right\rfloor\right)}{2}=f(x)=\dfrac{\left\lfloor x\right\rfloor\left(x+\{x\}-1\right)}{2}$$

[E. Galois]

Dưới đây là hình vẽ về phần diện tích tương ứng với tích phân trên:


Ý tưởng của anh Thanh thật hay, đúng là hàm phần nguyên rất phổ biến mà lại chưa thấy tài liệu nào bàn về đạo hàm của nó.

Theo em chỉ có thể nói hàm $f(x)$ đang xét là nguyên hàm của $y=[x]$ trong từng khoảng $(n;n+1)$ thôi.

Nếu gọi $F(x)$ là nguyên hàm của $y=[x]$ thì$$F(x)=\int_{0}^{x}[t]dt=\int_{0}^{[x]}[t]dt+\int_{[x]}^{x}[t]dt$$
$$=\sum_{n=0}^{[x]-1}n+[x](x-[x])= \dfrac{([x]-1)[x]}{2}+[x](x-[x]) =\dfrac{[x](2x-1-[x])}{2}$$

[hxthanh]

Cảm ơn E.Galois về bài phân tích rất sâu sắc!

[E. Galois]

Nhưng mà anh Thanh này, việc hàm số $y = [x]$ gián đoạn tại mọi $x_0= n \in \mathbb{Z}$ mà em lại tách tích phân$\int_{0}^{x}[t]dt$ thành các tích phân trong các đoạn $[0;1]; [1;2], ... [[x];x]$
Có ổn ko nhỉ

[hxthanh]

Phải chuyển qua tích phân suy rộng trên từng khoảng, lúc đó sẽ ổn mà!
(Thực ra anh cũng không rõ nữa!)
Quan sát cái máy tính nó tính này: http://www.wolframal..._2^4 floor(x)dx

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 29-11-2011 - 20:28