Chủ đề này có 47 trả lời

[PSW]

2 đội chuẩn bị thi đấu nhé

Đấy hứa hẹn là trận đấu vô tiền khoáng hậu . PSW đang thực hiện những công đoạn cuối cùng để trận đấu bắt đầu

Rất tiếc ; hôm nay 2 đội hàon tất việc nộp đề lúc 9h 30 . Nên chừng đ1o thời gian al2 chưa đủ để PSW kiểm tra tính khoa học của đề . Do đó ; xin áp dụng quy chế của giải : hoãn trận đấu lại 1 ngày

Do tính quan trọng của trận đấu này nên PSW nghĩ : việc kiểm tra cần làm kĩ hơn như thế

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 11-04-2012 - 16:02

[hxthanh]

ĐỀ THI ĐẤU CỦA GAMMA

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 16-12-2011 - 13:11

[PSW]

Đây là đề của Delta cho Gama :

Câu 1 : THCS

Tồn tại chăng các số hữu tỷ $x ; y ; z$ thoả mãn :

$2x^2 + y^2 + 4z^2 -2x+10z+3y-2xy+7=0$

Câu 2 : THCS

Cho tao giác ABC với $ (O) ; (I)$ lần lượt là các đường tròn ngoại tiếp ; nội tiếp . $(I)$ tiếp xúc $BC$tại $M$ . Đường tròn $(O')$ cũng tiếp xúc $BC$tại $M$ và tiếp xúc trong với $(O)$ tại $K$ .

Tính $\measuredangle AKI$

Câu 3 : THPT

Cho dãy số $a_n$ xác định bởi :

$a_0 = 0 ; a_{n+1} = \left [ \sqrt[3]{a_n +n} \right ]^{3} \forall n \ge 0$

a/ Tính $a_n$ theo $n$

b/ Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $a_n = n$

Câu 4 (THPT)

Tìm tất cả các đa thức $P(x)\in \mathbb{R} [x]$ sao cho tồn tại duy nhất đa thức $ Q(x)$ với hệ số thực thoả mãn :$Q(0)=0 ; x+ Q(y+P(x))= y + Q(x+P(y)) \forall x;y \in \mathbb{R}$

Câu 5 : THPT :

Cho tứ giác lồi $ABCD$ có : $ H ;K$ là trung điểm $ AC ; BD$ . Biết :

$\measuredangle AKB = \measuredangle CKB ; \angle BHC = \measuredangle DHC ( \ne 90^{0})$

Chứng minh rằng : $KA + KC = HB + HD$

Câu 6 Olympiad :

Trong phân tích nguyên tố ; nếu

$n= p^k$ . ta cho tương ứng : $f(n) = n+1$

Còn nếu $n= p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdots p_r^{k_r} ( r>1)$

thì $f(n)= p_1^{k_1} + p_2^{k_2} +\cdots + p_r^{k_r}$

Với $m>1$ là số nguyên dương cho trước ; ta lập dãy $a_n$ như sau :

$a_0 = m ; a_{j+1} = f(a_j) ( j \ge 0)$

Kí hiệu $g(m)$ là phần tử nhỏ nhất của dãy . Tính $g(m)$

Còn đây là đề của Gama cho delta :

File gửi kèm

•  Đề thách đấu Gama gởi Delta.pdf   125.67K   340 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 16-12-2011 - 12:21

[PSW]

mọi thắc mắc về đề bài : vui lòng nêu thẳng ra ở đây càng sớm càng tốt

[anh qua]

Câu 2 đề của GAMA nếu tam giác ABC cân ở A thì hiển nhiên GI vuông góc với BC.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 16-12-2011 - 01:59

[anh qua]

Mình nổ phát đạn đầu tiên cho DELTA!!!!
Câu 1:
Ta có: $\sqrt{x^5+x^3+x} \leq \sqrt{(x^2+1)^3} - \sqrt{x^2(x^2-x+1)}$ ( ĐK: $x \geq 0$)
Ta sẽ cm: $\sqrt{x^5+x^3+x} \leq \sqrt{(x^2+1)^3} - \sqrt{x^2(x^2-x+1)}$ đúng với mọi $x \geq 0$.
tương đương với: $\sqrt{x^5+x^3+x}+\sqrt{x^2(x^2-x+1)} \leq \sqrt{(x^2+1)^3}$
hay: $\sqrt{x^2-x+1}.\sqrt{x}.(\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x}) \leq \sqrt{(x^2+1)^3}$
Theo ông Cauchy ta cóa:
$\sqrt{x^2-x+1}.\sqrt{x} \leq \dfrac{x^2+1}{2}$.(1)
$\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x}) \leq \sqrt{2(x+1)^2} \leq \sqrt{4(x^2+1)}$. (2)
Từ (1) và (2) ta có ĐPCM .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là các số thực $\geq 0$.

PSW : Tốt

6/6 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 26-01-2012 - 22:49

[hxthanh]

Vậy là DELTA 1 - 0 GAMMA rồi! anh qua không nhường các em THCS à? (À mà có thể đội DELTA không có)
________
Lăn tăn câu 3 của DELTA một chút!
Trọng tài post ở trên là

Câu 3 : THPT

Cho dãy số $a_n$ xác định bởi :

$a_0 = 0 ; a_{n+1} = \left [ a_n +n \right ]^3 \forall n \ge 0$

a/ Tính $a_n$ theo $n$

b/ Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $a_n = n$

Nếu đề đúng như vậy thì câu hỏi b/ có vẻ thừa quá, chỉ có $a_0=0$ thôi mà

[PSW]

Chết chết ; trọng tài lẩm cẩm ghõ sai đề ; dc sửa rồi nha :">

[Cao Xuân Huy]

Câu 2 đề của GAMA nếu tam giác ABC cân ở A thì hiển nhiên GI vuông góc với BC.

Ở trong đề ghi là tam giác ABC không cân mà anh.

[hxthanh]

Chết chết ; trọng tài lẩm cẩm ghõ sai đề ; dc sửa rồi nha :">

Chính vì lý do này nên hxthanh của đội GAMMA quyết định "chém" bài này trước!

Câu 3: (THPT)
Cho dãy số $\{a_n\}$ xác định bởi:
$$a_0=0;\;a_{n+1}=\left\lfloor\sqrt[3]{a_n+n}\right\rfloor^3\;\;\forall n\ge 0$$
a/ Tính $a_n$ theo $n$
b/ Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $a_n=n$

Ta có: $a_1=\left\lfloor\sqrt[3]{a_0+0}\right\rfloor^3=0$

$\boxed{\text{ Xét với } n\ge 2}$
Ta có: $a_2=\left\lfloor\sqrt[3]{a_1+1}\right\rfloor^3=1$
Nhận xét rằng $a_n$ là lập phương của 1 số nguyên dương, nên ta đặt $a_n=k^3,\;k\in \mathbb{N}^{*}\;(1)$ và tìm tất cả các giá trị của $n$ thoả mãn điều này.
- Giả sử $n$ là số nguyên lớn nhất thoả mãn (1), nghĩa là:
$\begin{cases} a_n=k^3 \\ a_{n+1}=\left\lfloor\sqrt[3]{a_n+n}\right\rfloor^3=(k+1)^3\end{cases}\Rightarrow \max(n)=3k^2+3k+1$
- Tương tự, giả sử $n$ là số nguyên nhỏ nhất thoả mãn (1), nghĩa là:

$\begin{cases} a_{n-1}=(k-1)^3 \\ a_n=\left\lfloor\sqrt[3]{a_{n-1}+n-1}\right\rfloor^3=k^3\end{cases}\Rightarrow \min(n)=3k^2-3k+2$
- Như vậy, ta có:
$$3k^2-3k+2\le n < 3k^2+3k+2;\;\forall k \ge 1 \Rightarrow a_n=k^3$$
$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{12n-15}-3}{6}<k\le\dfrac{\sqrt{12n-15}+3}{6}\Rightarrow k=\left\lfloor\dfrac{\sqrt{12n-15}+3}{6}\right\rfloor$
a/ Kết quả là: $$a_0=a_1=0;\;a_n=\left\lfloor\dfrac{\sqrt{12n-15}+3}{6}\right\rfloor^3\;\;\forall n\ge 2$$
b/ Xét phương trình:
$a_{x^3}=\left\lfloor\dfrac{\sqrt{12x^3-15}+3}{6}\right\rfloor^3=x^3$, với $x\ge 2, x \in \mathbb{N}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x\ge 2, x \in \mathbb{N}\\ x\le \dfrac{\sqrt{12x^3-15}+3}{6}<x+1\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x\ge 2, x \in \mathbb{N}\\ x^3-3x^2+3x+2\ge 0 \\ x^3-3x^2-3x-2<0\end{cases}\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=2 \\ \begin{cases}x\ge 3, x \in \mathbb{N}\\ f(x)=x^3-3x^2-3x-2<0\end{cases}\end{matrix}\right.$
Ta có:
$f\,'(x)=3x^2-6x-3=3(x-1)^2-6>0,\forall x\ge 3\Rightarrow $ $f(x)$ tăng $\forall x\ge 3$
$f(3)=-11<0;\; f(x)\ge f(4)=2>0;\forall x\ge 4$
Do đó chỉ có 2 nghiệm thoả mãn đó là $x=2$ và $x=3$, tương ứng: $a_8=8$ và $a_{27}=27$
Chút nữa thì quên mất rằng $a_0=0$
________________________________
Bài của DELTA khó thật

PSW : 7/7 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 26-01-2012 - 22:50

[PSW]

Trọng tài đã có 1 trách nhiệm như sau : cố gắng cân bằng độ khó ở 2 đề để đảm bảo công bằng

[anh qua]

Anh PSW có thể xem lại đề bài 2 của GAMA được không ạ, em biến đổi nhưng ra kết quả:
AB+AC=2BC.
------------------------------------------------
Tỉ số là: 1-1. Anh em DELTA cố lên!!!!

[Cao Xuân Huy]

Anh PSW có thể xem lại đề bài 2 của GAMA được không ạ, em biến đổi nhưng ra kết quả:
AB+AC=2BC.
------------------------------------------------
Tỉ số là: 1-1. Anh em DELTA cố lên!!!!

Em người ngoài cho em nói tí nhé.
Chắc anh qua biến đổi nhầm rồi chứ bài này em đã làm ra nên em thấy đề không sai

[PSW]

Xuân Huy vi phạm quy định VMFnhé ; lần đầu anh nhắc nhở ; lần sau xoá bài

[nguyen thai phuc]

Ngồi ham hố thì làm được bài olympiad
NTP đội gama giải bài 6 đội delta
Thế $m=2$,thì $g(m)=2$
$m=3$ thì $g(m)=3$;
$m=4$ thì $g(m)=4$;
$m \in \left\{ {5;6} \right\}$ thì $g(m)=5$
$m=7$ thì dãy là vòng tuần hoàn 7,8,9,10 nên $g(m)=7$
Ta chứng minh bằng quy nạp rằng với $m>6$ thì dãy sẽ toàn các số lớn hơn 6 và $g\left( m \right) = 7$ (*)
Giả sử (*) đúng tới $b-1$, ta sẽ chứng minh nó đúng với b
Ta có các nhận xét sau:
NX1: ${a_k} > 2$ khi m>6, đó là do tính chất của 2 phép biến đổi.
NX2: quá trình biến đổi ${a_{n + 1}} = {a_n} + 1$ không thể liên tiếp quá 3 lần với $m>6$
Chứng minh: giả sử quá trình đó bắt đầu từ ${a_k}$, liên tiếp 4 lần tới ${a_{k + 4}}$, khi đó ${a_k},{a_{k + 1}},{a_{k + 2}},{a_{k + 3}}$ là 4 số tự nhiên liên tiếp và đều là lũy thừa của một số nguyên tố, nhưng trong đó lại có 2 số chẵn liên tiếp và lớn hơn 2, tức là có một số chia 4 dư 2, không thể là lũy thừa của 1 số nguyên tố. Ta có đpcm.
NX3: $a;b>1$ thì $\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) \ge 1 \Rightarrow ab \ge a + b$
Bây giờ thay $m=b$, giả sử M là số đầu tiên sử dụng phép biến đổi 2, do NX2, ta thấy $b \le M \le b + 3$
mặt khác
\[M = {p_1}^{{k_1}}{p_2}^{{k_2}}.....{p_n}^{{k_n}} \Rightarrow f\left( M \right) = {p_1}^{{k_1}} + {p_2}^{{k_2}} + ..... + {p_n}^{{k_n}} \le {p_1}^{{k_1}} + {p_2}^{{k_2}}.....{p_n}^{{k_n}} = {p_1}^{{k_1}} + \dfrac{M}{{{p_1}^{{k_1}}}}\]
Với ${p_1}$ là số nguyên tố nhỏ nhất mà M chia hết.
Ta sẽ chứng minh $\left( {{p_1}^{{k_1}} - 1} \right)\left( {\dfrac{M}{{{p_1}^{{k_1}}}} - 1} \right) \ge 5$
Một chú ý : \[\left( {{p_1}^{{k_1}};\dfrac{M}{{{p_1}^{{k_1}}}}} \right) = 1,\dfrac{M}{{{p_1}^{{k_1}}}} > 2\]
Ta chứng minh bằng phản chứng
Với ${p_1}^{{k_1}} = 2 \Rightarrow \dfrac{M}{{{p_1}^{{k_1}}}} \le 6,\dfrac{M}{{{p_1}^{{k_1}}}} \ne 2n\Rightarrow \dfrac{M}{{{p_1}^{{k_1}}}} = 3 \Rightarrow M = 6 < 7 < b$ (loại)
hoặc $\dfrac{M}{{{p_1}^{{k_1}}}} = 5 \Rightarrow M = 10 \Rightarrow f\left( M \right) = 7$ (đúng với đpcm)
Với ${p_1}^{{k_1}} = 3 \Rightarrow \dfrac{M}{{{p_1}^{{k_1}}}} \le 3,5 \Rightarrow \dfrac{M}{{{p_1}^{{k_1}}}} = 2$ (loại)
Với ${p_1}^{{k_1}} \ge 4 \Rightarrow \dfrac{M}{{{p_1}^{{k_1}}}} \le \dfrac{5}{3}+1 \Rightarrow \dfrac{M}{{{p_1}^{{k_1}}}} = 2$ (loại)
Vậy $f\left( M \right) \le b - 1$, theo giả thuyết quy nạp, các số của dãy từ M trở đi sẽ đều lớn hơn 7, và sẽ có lúc chạm tới 7, tạo thành 1 vòng tuần hoàn 7,8,9,10 từ đó $g(m)=7$
kết luận
$g(m)=m$ với $m \in \left\{ {2;3;4} \right\}$
$g(m)=5$ với $m \in \left\{ {5;6} \right\}$
$g(m)=7$ với $m>6$

PSW : Good

8/8 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 11-02-2012 - 00:00

[nguyen thai phuc]

Ham hố thêm một chút nữa thì làm được bài đa thức:
NTP đội gama giải bài 4 đội delta
cho x=0 ta được:
\[Q\left( {y + P\left( 0 \right)} \right) = y + Q\left( {P\left( y \right)} \right)(*)\]
Bậc của P(y) là m, của Q(y) là n thì vế trái có bậc là n, vế phải có bậc là mn.hoặc 1(hoặc 0)
Nếu m=0 => P(y)=b,khi đó \[Q\left( {y + b} \right) = y + Q\left( b \right)\] hay
\[Q\left( y \right) = a.y + p\].
Do \[Q\left( 0 \right) = 0\] nên p=0, thay lại vào pt trên ta được \[Q\left( y \right) = y\] duy nhất
nếu m>0 thì n>0 . Khi đó VP có bậc là mn, vậy m=1.\[P\left( y \right) = ay + b\]
Ta được
\[Q\left( {y + b} \right) = y + Q\left( {ay + b} \right)\]
Nếu a=1=> y=0, vô lý
Nếu \[a \ne \pm 1\], nếu n>1, xét hệ số bậc cao nhất ở VT và VP của (*) là \[{a_k}{y^k};{a_k}{\left( {ay} \right)^k}\], mà chúng không bằng nhau, vô lý
vậy n=1, khi đó Q(y)=py(do Q(0)=0), thay vào (*) ta được:
\[p\left( {y + b} \right) = y + p\left( {ay + b} \right) \Rightarrow p = \dfrac{{ - 1}}{{a - 1}}\]
xđ duy nhất
Nếu a=-1
---Nếu b=0 thì ta được \[Q\left( y \right) = y + Q\left( { - y} \right)\], có tập đa thức \[Q\left( y \right) = \dfrac{y}{2} + k{y^2}\], thay vào đề bài đều thỏa mãn
---Nếu b khác 0, ta được \[Q\left( {y + b} \right) = y + Q\left( {b - y} \right)\], có 2 đa thức (thực ra có cả tập, nhưng mà ngại liệt kê) là
\[Q\left( y \right) = \dfrac{{{y^2}}}{{4b}}\] và \[Q\left( y \right) = \dfrac{{{y^2}}}{{8b}} + \dfrac{y}{4}\]
Vậy các giá trị của P(x) là P(x)=a,P(x)=ax+b với a khác -1 và 1

PSW : 7/7 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 11-02-2012 - 00:00

[hxthanh]

Cướp ! Bớ người ta! (Có mỗi quả penalty (Câu 6) mà các cầu thủ GAMMA tranh nhau sút! Tuy nhiên tiền đạo nguyen thai phuc sút chuẩn hơn )

[taminhhoang10a1]

taminhhoang10a1 giải bài 2 của GAMA
Gọi H là tiếp điểm của BC và đường tròn nội tiếp, M là trung điểm của BC, K là chân đường vuông góc từ A xuống BC.
Suy ra GH vuông góc với BC
$ \Rightarrow \dfrac{{MG}}{{MA}} = \dfrac{{MH}}{{MK}} = \dfrac{1}{3}$
$ \Leftrightarrow MK = 3(MB - BH)$
$ \Leftrightarrow MK = 3(\dfrac{a}{2} - \dfrac{{a + c - b}}{2}) = \dfrac{3}{2}(b - c)$ (1)
Lại có:
$MK^2 = MA^2 - AK^2 = \dfrac{{2b^2 + 2c^2 - a^2 }}{4} - \dfrac{{4p(p - a)(p - b)(p - c)}}{{a^2 }}$
$ \Leftrightarrow MK^2 = \dfrac{{(b^2 - c^2 )^2 }}{{4a^2 }}$ (2)
Từ 1 và 2 $ \Rightarrow \dfrac{3}{2}(b - c) = \dfrac{{b^2 - c^2 }}{{2a}}$
$ \Leftrightarrow 3a = b + c$ (dpcm)

PSW : Tốt

6/6 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 26-01-2012 - 22:50

[PSW]

Haha ; Real đang dẫn 3-2 .

[taminhhoang10a1]

trận này DELTA chỉ thi đấu với 4 cầu thủ, hơn nữa GAMA lại vừa nhận thêm 2 cầu thủ nữa ngang tầm MESSI nên DELTA hơi thiệt thòi