Chủ đề này có 47 trả lời

[PSW]

Trông chờ thangthan ghi bàn )

[Zaraki]

Đây là đề của Delta cho Gama :

Câu 1 : THCS

Tồn tại chăng các số hữu tỷ $x ; y ; z$ thoả mãn :

$2x^2 + y^2 + 4z^2 -2x+10z+3y-2xy+7=0 \ \ \ \ \ \ \ (1)$

Phạm Quang Toàn và Perfectstrong xin giải bài 1 đội Delta.

$$(1) \iff (2x-2y-3)^2+(2x+1)^2+(4z+5)^2=7$$

Đặt $$2x-2y-3= \dfrac{a_t}{a_m}, \ 2x+1= \dfrac{b_t}{b_m}, \ 4z+5= \dfrac{c_t}{c_m}$$

$$\begin{aligned}

(a_t,b_t,c_t,a_m,b_m,c_m \in \mathbb{Z}, & \gcd(|a_t|,|a_m|)=1 \\ & \gcd(|b_t|,|b_m|)=1 \\ & \gcd(|c_t|,|c_m|)=1 \\ & a_m,b_m,c_m \ne 0 )
\end{aligned}$$
Như vậy
$$\begin{aligned}

pt & \iff \dfrac{a_t^2}{a_m^2} + \dfrac{b_t^2}{b_m^2} + \dfrac{c_t^2}{c_m^2} = 7 \\ & \iff \left( a_tb_mc_m \right)^2 + \left( b_ta_mc_m \right)^2 + \left( c_ta_mb_m \right)^2 = 7{\left( a_mb_mc_m \right)^2}
\end{aligned}$$

Đặt $a_tb_mc_m=m, \ b_ta_mc_m=n, \ c_ta_mb_m=p, \ a_mb_mc_m=q \ \ (q \neq 0)$

Ta đưa về bài toán giải phương trình nghiệm nguyên $m^2+n^2+p^2=7q^2 \ \ \ \ \ \ (2)$

• Với $q \ \not\vdots 2 \rightarrow q^2 \equiv 1 \pmod{8} \rightarrow VP \equiv 7 \pmod{8}$. Mà $VT \equiv 3 \pmod{8}$, vô lí.

• Với $q \ \vdots 2 \rightarrow VP \ \vdots 4$.

Mà $a^2 \equiv 0 \pmod{4}$ hoặc $a^2 \equiv 1 \pmod{4} \ \ (a \in \mathbb{Z})$ nên $m^2,n^2,p^2 \ \vdots 4 \rightarrow m,n,p$ chẵn.
$\rightarrow m=2m_1,n=2n_1,p=2p_1,q=2q_1$
Thay vào phương trình $(2)$ ta thu được
$$m_1^2+n_1^2+p_1^2=7q_1^2$$
Lí luận tương tự ta được $m=2m_2,n=2n_2,p=2p_2,q=2q_2$.

Như vậy nếu $(m_1,n_1,p_1,q_1)$ là một nghiệm tùy ý của $(2)$ thì $\dfrac{m_1}{2^k}, \dfrac{n_1}{2^k}, \dfrac{p_1}{2^k}, \dfrac{q_1}{2^k}$ là các số nguyên với mọi $k=1,2,...$. Điều này chứng tỏ $m=n=p=q=0$, hiển nhiên vô lí vì $q \ne 0$.

$\boxed{ \text{Kết luận}}.$ Không tồn tại các số hữu tỉ $x,y,z$ thỏa mãn phương trình $(1)$.

PSW : 6/6 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 26-01-2012 - 22:51

[Zaraki]

Thừa cơ chém phát: 4-2 rồi, hai đội cùng cố lên.

[PSW]

Toàn giỏi quá

[thangthan]

Thangthan đội Delta xin giải câu 5 đội Gama:
Đầu tiên ta chứng minh nếu u là 1 nghiệm bất kì của P(x) thì $|u|>1$ (1)
Thật vậy giả sử ngược lại thì $|u|^{n-1}|u+a|=p|\leq |u|^{n-1}(|u|+|a|)<p,$vô lý.
Bây giờ giả sử $P(x)=g(x)h(x)$ với g và h là các đa thức với hệ số nguyên và có bậc lớn hơn 1.Suy ra g(0)h(0)=p nên |g(0)| hoặc |h(0)| bằng 1.Ko mất tính tổng quát giả sử |g(0)|=1.
Gọi $x_1,x_2,...,x_k$ là tất cả các nghiệm của g(x).Thế thì $|x_1...x_k|=g(0)=1$.
Theo (1) suy ra vô lý.
@@ mình không tham gia ra đề cho đội Delta lần này nên theo nhận xét của mình thì đề Gama khó hơn

PSW : Lời giải ngắn gọn ; hay

7/7 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 11-02-2012 - 00:02

[hxthanh]

Nói đề GAMMA khó, mà sao thành viên DELTA nào cũng giải mất khoảng 10 dòng là xong
Còn đề của DELTA dễ hơn, mà sao bài nào GAMMA giải cũng dài hơn rất nhiều
Từ đó kết luận rằng $$\boxed{\text{ Đẳng cấp}(DELTA)>>\text{ Đẳng cấp}(GAMMA)}$$
___

[taminhhoang10a1]

hai đội bám đuổi nhau rất sát. Tỉ số dâng là 4-3 nghiêng về GAMMA. Mặc dù với là những ngày đầu thi đấu nhung GAMMA đã giải quyết nhanh gọn câu 6 của DELTA. Rất khâm phục. Hai bên vẫn còn nhiều cầu thủ chưa ghi bàn. Mong là những ngày tới sẽ được chứng kiến nhiều bàn thắng đẹp và sự toả sáng của anh em bên DELTA

[thangthan]

Lời giải câu 4 của Gama:
Ta có 2 bổ đề sau (tương đối quen thuộc,mình xin phép ko cm ở đây )
Bổ đề 1:Cho tam giác A'B'C' với các cạnh B'C'=a',A'B'=c',C'A'=b',S là diện tích tam giác và x,y,z là các số thực dương bất kì.Khi đó:
$xa'^2+yb'^2+zc'^2\geq 4\sqrt{xy+yz+xz}S$
Bổ đề 2: Cho tam giác ABC và điểm M bất kì ,BC=a,AC=b,AB=c.Khi đó $\sum \dfrac{MA.MB}{CA.CB}\geq 1$
Back bài toán:
Áp dụng bổ đề 1 với $a'=\sqrt2,b'=sqrt3,c=2 thì S=2(2.3+3.4+4.2)-(4+9+16)=23 ,x=\dfrac{MA}{a},y=\dfrac{MB}{b},z=\dfrac{MC}{c}$,và kết hợp bổ đề 2 suy ra $dfrac{2MA}{a}+\dfrac{3MB}{b}+\dfrac{4MC}{c}\geq 2\sqrt23.$
nên max ${\dfrac{2MA}{a},\dfrac{3MB}{b},\dfrac{4MC}{c}\geq }\dfrac{2\sqrt23}{3}> \dfrac{2\sqrt6}{3}$

PSW : 3/7 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 11-02-2012 - 00:04

[hxthanh]

Lời giải câu 4 của Gama:
Ta có 2 bổ đề sau (tương đối quen thuộc,mình xin phép ko cm ở đây )
Bổ đề 1:Cho tam giác A'B'C' với các cạnh B'C'=a',A'B'=c',C'A'=b',S là diện tích tam giác và x,y,z là các số thực dương bất kì.Khi đó:
$a'^2+yb'^2+zc'^2\geq 4\sqrt{a'b'+b'c'+c'a'}S$
Bổ đề 2: Cho tam giác ABC và điểm M bất kì ,BC=a,AC=b,AB=c.Khi đó $\sum \dfrac{MA.MB}{CA.CB}\geq 1$
Back bài toán:
Áp dụng bổ đề 1 với $a'=\sqrt2,b'=sqrt3,c=2 thì S=2(2.3+3.4+4.2)-(4+9+16)=23 ,x=\dfrac{MA}{a},y=\dfrac{MB}{b},z=\dfrac{MC}{c}$,và kết hợp bổ đề 2 suy ra $dfrac{2MA}{a}+\dfrac{3MB}{b}+\dfrac{4MC}{c}\geq 2\sqrt23.$
nên max ${\dfrac{2MA}{a},\dfrac{3MB}{b},\dfrac{4MC}{c}\geq }\dfrac{2\sqrt23}{3}> \dfrac{2\sqrt6}{3}$

thangthan có thể sửa lại bài cho dễ đọc không? Hơn nữa 2 cái bổ đề bạn nêu ra mà không chứng minh thì không ổn!
(Xin lỗi vì mình đọc lời giải mà chẳng hiểu gì )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 18-12-2011 - 19:18

[thangthan]

Xin lỗi mọi người,mình gõ latex sai.Đã edit rồi đó.

[Dung Dang Do]

Tỉ số bây giờ là 4-4.Hai bên đều có một cú đúp.Bên real thì tiền đạo
nguyen thai phuc mang áo số 10.Còn barcelona thì tiền đạo thằng than mang áo số 01.Thời gian còn lại cho trận đấu là 11 ngày nữa.Cả hai đội cố lên.Lập một cú hattrick xem nào

[thangthan]

Thangthan đội Delta giải câu 6 của đội Gama:
Giả sử $n={x_kx_{k-1}...x_1x_0}_2 $là biểu diễn của n trong hệ cơ số 2.Đặt $f(n)=[\dfrac{n}{2}],f_k(n)=f(f(...f(n))))$ (k lần f)
$f(n)=x{_kx_{k-1}...x_1}_2,f(f(n))={x_kx_{k-1}...x_2}_2,...,f_k(n)={x_k}_2,f_{k+1}(n)=0.$
suy ra $a_n=a_{f(n)}+(-1)^{f(n)}=a_{f(f(n))}+(-1)^{f(n)}+(-1)^{f(f(n))}=...=...=a_{f_{k+1}(n)}+(-1)^{f_{k+1}(n)}++(-1)^{f_{k}(n)}+...+(-1)^{f_{1}(n)}$
Mà dễ có $f_{i}(n)=x_i (mod 2)$ nên
$a_n=(-1)^0+(-1)^{x_k}+...+(-1)^{x_1}$
Gọi $S_{2}(n)$ là tổng các chữ số khi biểu diễn n trong hệ cơ số 2.Dễ có $\varepsilon _{2}(n)=n-S_{2}(n)$
nên $a_n-2\varepsilon _{2}(n)=1+(-1)^{x_k}+...+(-1)^{x_1}-2n+2S_{2}(n)$

PSW : 4/8 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 11-02-2012 - 00:04

[hxthanh]

Vậy muốn tính $S_2(n)$ trực tiếp theo $n$ thì làm thế nào?
Hơn nữa với mỗi $n$ bạn lại phải tính các giá trị $x_i$. Vậy thì làm sao đáp ứng yêu cầu của đề là tính giá trị $U_n-2\varepsilon_2(n)$ trực tiếp theo $n$ được !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 19-12-2011 - 15:01

[thangthan]

Em nghĩ công thức đó cũng theo n mà.Vì với mỗi n thì đều tính được các số $x_i$!
Nếu đề bài yêu cầu tính ra 1 công thức mà chỉ có n thì đẻ em chỉnh lại ạ.

[PSW]

Mình nhớ là Seagame năm nay ; tiền đạo văn Thắng của Việt Nam đá rất dở mà nhỉ ; sao giờ lại nổi hứng ghi bàn viên tục )

[thangthan]

Ở câu 6 của đội Gama em nghĩ lời giải trên có thể chỉnh lại tý để theo n được.Vì rõ ràng là các giá trị $f_{i}(n)$ là theo n nên $a_n$ có thể tính theo n.còn $\varepsilon _{2}(n)=[\dfrac{n}{2}]+[\dfrac{n}{2^2}]+... cũng theo n $

[hxthanh]

Vậy với $n=1234^{4321^{1234^{4321}}}$
thì giá trị cần tính là bao nhiêu?
Cần bao nhiêu thời gian để tính giá trị đó theo cách của bạn?

[perfectstrong]

Post hộ anh Nguyễn Thái Phúc.
Nguyễn Thái Phúc đội Gama giải bài 2 của đội Delta
Ghi chú: Bổ sung giả thiết O' và A cùng phía đối với BC. kí hiệu arc(AB) là chỉ cung AB
Lời giải:

Ta sẽ chứng minh \[ \angle AKI=90^o (1) \]
Vẽ KM cắt (O) tại điểm thứ 2 là D; vẽ đường kính DE của (O). KE cắt MI tại H. DE cắt BC tại N.
DE là đường kính của (O) nên $\angle DKE=90^o$ và O là trung điêm DE.
$\angle HKM=\angle EKD=90^o$ nên MH là đường kính của (O'). Suy ra, O' là trung điểm MH.
Mà (O) và (O') tiếp xúc tại K nên O;O';K thẳng hàng.
$\vartriangle HKM$ vuông tại K, có trung tuyến KO' $\Rightarrow KO'=MO'$
Tương tự, ta cũng có $KO=OD \Rightarrow \dfrac{KO'}{MO'}=\dfrac{KO}{DO}=1 \Rightarrow MO' \parallel DO \Rightarrow DE \perp BC$.
Do đó, D,E là trung điểm các cung BC lớn và nhỏ và DE là trung trực của BC. Suy ra, N là trung điểm BC.
\[ DB=DC \Rightarrow arc(DB)=arc(DC) \Rightarrow \angle BAD=\angle CAD \Rightarrow \angle BAD=\dfrac{1}{2}\angle BAC=\angle BAI\]
$\Rightarrow$ A,I,D thẳng hàng.
Lại có:
\[ \angle DBI=\angle DBC+\angle IBC=\angle DAC+\angle IBA=\angle IAB+\angle IBA=\angle DIB \]
Nên $\vartriangle DBI$ cân tại D. Do đó
\[ DI=DB \Rightarrow DI^2=DB^2 (2)\]
Mà $\vartriangle DBE$ vuông tại B, đường cao BN nên $DB^2=DN.DE (3) $
$\angle EKM+\angle ENM=90^o+90^o=180^o \Rightarrow$ EKMN là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow DN.DE=DM.DK (4)$
\[ (2),(3),(4) \Rightarrow DI^2=DM.DK \Rightarrow \dfrac{DI}{DM}=\dfrac{DK}{DI} (5)\]
$\vartriangle DMI$ và $\vartriangle DIK$ có chung góc MDI nên kết hợp với (5), ta có:
\[ \vartriangle DMI \sim \vartriangle DIK (c.g.c) \Rightarrow \angle DIM=\angle DKI (6) \]
\[ MH \parallel DE \Rightarrow \angle DIM=\angle EDA=\angle AKE (7) \]
\[ (6),(7) \Rightarrow \angle DKI=\angle AKE \Rightarrow \angle AKI=\angle AKE+\angle EKI=\angle DKI+\angle EKI=\angle EKD=90^o \]
Do đó, (1) đúng.
KẾT LUẬN: \[ \angle AKI=90^o \]

PSW : 6/6 điểm Good !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 10-02-2012 - 23:58

[perfectstrong]

Thời gian thi đấu đã hết. Đây là đáp án đề nghị của đề đội GAMA
http://www.mediafire...eb8ig452lzwgwc8

[taminhhoang10a1]

hic trận này DELTA thua rồi