Tổng hợp các bài toán Tích phân
#1
Posted 05-01-2012 - 17:32
Xin được mượn quy định của anh E.Galois:
- Nguyên tắc: "ăn một quả, trả cục vàng". Nếu bạn giải được 1 bài, bạn hãy đưa thêm 1 đề
- Đề bài cần được đánh số thứ tự nghiêm túc, lời giải rõ ràng; khuyến khích giải bằng nhiều cách.
- Cấm spam dưới mọi hình thức
Hi vọng topic sẽ nhận được sự ủng hộ của mọi người (toán Đại học ít người tham gia nên đành phải lôi kéo các em THPT mới được )
Bài toán mở đầu (dễ):
Bài 1: Tính tích phân bất định sau: $$I = \int {\dfrac{1}{{{x^2}}}\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} } dx$$
#2
Posted 06-01-2012 - 16:50
#3
Posted 07-01-2012 - 19:36
#4
Posted 07-01-2012 - 20:10
Đặt $t=\sqrt{\dfrac{x+1}{x}}=\sqrt{1+\dfrac{1}{x}} \rightarrow 2tdt=-\dfrac{dx}{x^2}$Bài 2: Tính tích phân bất định: $${I_2} = \int {\dfrac{1}{{{x^2}}}} \sqrt {\dfrac{{x + 1}}{x}} dx$$
Vậy:
$$I_2=\int {-2t^2dt}=\dfrac{-2t^3}{3}+C=\dfrac{-2}{3}\sqrt{\left(1+\dfrac{1}{x} \right)^3}+C$$
Bài 1 làm giống bài 2
Ta có:Bài 3: Tính tích phân bất định sau: $${I_3} = \int {\sin x{e^x}dx} $$
$$I_3=\int {\sin{x}d(e^{x})}=e^{x}\sin{x}+C-\int {e^{x}\cos{x}dx}$$
Xét $J_3=\int {\cos{x}e^{x}dx}=\int {\cos{x}d(e^{x})}=e^{x}\cos{x}+C+\int {e^{x}\sin{x}dx}$
Vậy dựa vào 2 tích phân bất định ở trên,ta tính được:
$$I_3=\dfrac{e^{x}(\sin{x}-\cos{x})}{2}+C$$
Ủng hộ bài mới
Bài 4: Tính:
$$I_4=\int {\dfrac{2-\cos{x}}{2+\sin{x}}dx}$$
Edited by dark templar, 07-01-2012 - 20:18.
#5
Posted 08-01-2012 - 17:16
Bài 5: Tính tích phân: $$I_{5}=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$$
#6
Posted 10-01-2012 - 21:40
Bài 7: Tính tích phân: $${I_7} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 2x + \sin x}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}dx} $$
#7
Posted 11-01-2012 - 19:01
#8
Posted 14-01-2012 - 19:23
Bài 10: ${I_{10}} = \int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{{\ln x}}{{x + 1}}} \right)}^2}dx} $
Bài 11: ${I_{11}} = \int {\frac{{dx}}{{x + {x^{10}}}}} $
#9
Posted 14-01-2012 - 20:08
Đặt $x = \sin t\left( {t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]} \right)$Bài 5: Tính tích phân: $$I_{5}=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$$
$dx = \cos tdt \Rightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = dt$
Đổi cận:
- Với x = 1 thì $t = \frac{\pi }{2}$
- Với x = -1 thì $t = - \frac{\pi }{2}$
Ta có:
${I_5} = \int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {dt = t\left| \begin{array}{l}
\pi /2\\
- \pi /2
\end{array} \right. = \pi } $
Bài 12: Tính tích phân: ${I_{12}} = \int\limits_0^{2004\pi } {\sqrt {1 - \cos 2x} dx} $
- Zaraki likes this
THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT
LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN
Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa
#10
Posted 14-01-2012 - 21:16
Ta có:Bài 6: Tính tích phân: $${I_6} = \int {\frac{{dx}}{{4\cos x + 3\sin x + 5}}} $$
${I_6} = \int {\frac{{dx}}{{4\cos x + 3\sin x + 5}} = \int {\frac{{dx}}{{5\sin \left( {x + \alpha } \right)}}} } $
Với:
$\left\{ \begin{array}{l}
\sin \alpha = \frac{4}{5}\\
\cos \alpha = \frac{3}{5}
\end{array} \right.$
${I_6} = \frac{1}{5}\int {\frac{{\sin \left( {x + \alpha } \right)dx}}{{{{\sin }^2}\left( {x + \alpha } \right)}} = \frac{1}{5}\int {\frac{{d\left( {\cos \left( {x + \alpha } \right)} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {x + \alpha } \right) - 1}} = \frac{1}{{10}}\ln \left| {\frac{{\cos \left( {x + \alpha } \right) - 1}}{{\cos \left( {x + \alpha } \right) + 1}}} \right| + C} } $
THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT
LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN
Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa
#11
Posted 15-01-2012 - 20:31
Bài này không đơn giản thế đâu Hãy để ý 2 cận $-1$ và $1$ đã làm cho biểu thức không xác định.Đặt $x = \sin t\left( {t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]} \right)$
$dx = \cos tdt \Rightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = dt$
Đổi cận:
- Với x = 1 thì $t = \frac{\pi }{2}$
- Với x = -1 thì $t = - \frac{\pi }{2}$
Ta có:
${I_5} = \int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {dt = t\left| \begin{array}{l}
\pi /2\\
- \pi /2
\end{array} \right. = \pi } $
Bài 7: Dạng cơ bản Đặt $t=\cos{x} \rightarrow dt=-\sin{x}dx$
$x=0 \rightarrow t=1$
$x=\frac{\pi}{2} \rightarrow t=0$
Suy ra:
$$I_7=\int_{0}^{1}\frac{(1+2t)dt}{\sqrt{1+3t}}=\int_{0}^{1}\left(\sqrt{1+3t}-\frac{t}{\sqrt{1+3t}} \right)dt=\frac{2}{9}(1+3t)^{\frac{3}{2}}\Big |_{0}^{1} -\int_{0}^{1}\frac{tdt}{\sqrt{1+3t}}$$
Xét $K=\int_{0}^{1}\frac{tdt}{\sqrt{1+3t}}$
Đổi biến $u=\sqrt{1+3t} \rightarrow 2udu=3dt;t=\frac{u^2-1}{3}$
$t=0 \rightarrow u=1$
$t=1 \rightarrow u=2$
Suy ra:
$$K=\frac{2}{9}\int_{1}^{2}(u^2-1)du=\frac{2}{9}\left(\frac{u^3}{3}-u \right)\Big |_{1}^{2}=\frac{8}{27}$$
Suy ra:
$$I_7=\frac{14}{9}-\frac{8}{27}=\frac{34}{27}$$
Edited by dark templar, 15-01-2012 - 21:20.
#12
Posted 15-01-2012 - 20:40
$x=\frac{1}{2} \rightarrow t=2$
$x=1 \rightarrow t=1$
Suy ra:
$$I_8=\int_{1}^{2}\frac{tdt}{t^2\sqrt{\left(3+\frac{4}{t} \right)\left(3-\frac{2}{t} \right)}}=\int_{1}^{2}\frac{dt}{\sqrt{(3t+4)(3t-2)}}=\int_{1}^{2}\frac{dt}{\sqrt{(3t+1)^2-9}}$$
Tiếp tục đặt $u=3t+1+\sqrt{(3t+1)^2-9} \rightarrow \frac{du}{3u}=\frac{dt}{\sqrt{(3t+1)^2-9}}$
$t=1 \rightarrow u=4+\sqrt{7}$
$t=2 \rightarrow u=7+2\sqrt{10}$
Suy ra:
$$I_8=\frac{1}{3}\int_{4+\sqrt{7}}^{7+2\sqrt{10}}\frac{du}{u}=\frac{1}{3}\ln{u}\Big|_{4+\sqrt{7}}^{7+2\sqrt{10}}=\frac{1}{3}\ln{\left(\frac{7+2\sqrt{10}}{4+\sqrt{7}} \right)}$$
Edited by dark templar, 15-01-2012 - 21:21.
- Zaraki likes this
#13
Posted 15-01-2012 - 21:33
Bài 9: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần,ta có:Bài 9: Tính tích phân: ${I_9} = \int {\frac{{\sqrt {\sin x} }}{{{{\cos }^3}x}}dx} $
Bài 11: ${I_{11}} = \int {\frac{{dx}}{{x + {x^{10}}}}} $
$$I_9=\int{\frac{\sqrt{\sin{x}}}{\cos{x}}d(\tan{x})}=\tan{x}\frac{\sqrt{\sin{x}}}{\cos{x}}+C-\int{\tan{x}d\left(\frac{\sqrt{\sin{x}}}{\cos{x}} \right)}=\tan{x}\frac{\sqrt{\sin{x}}}{\cos{x}}+C-\frac{1}{2}I_9$$
Suy ra:
$$I_9=\frac{2}{3}\tan{x}\frac{\sqrt{\sin{x}}}{\cos{x}}+C$$
Bài 11: Đặt $t=\frac{1}{x} \rightarrow dx=\frac{-dt}{t^2}$
Suy ra:
$$I_11=-\int{\frac{tdt}{t^2\left(1+\frac{1}{t^9} \right)}}=-\int{\frac{t^8dt}{1+t^9}}=-\frac{1}{9}\int{\frac{d(t^9)}{t^9+1}}=-\frac{1}{9}\ln{|t^9+1|}+C$$
- Mrnhan likes this
#14
Posted 16-01-2012 - 22:29
Bài 13: Tính tích phân: ${I_{13}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left[ {\frac{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^{1 + \cos x}}}}{{1 + \sin x}}} \right]dx} $
#15
Posted 16-01-2012 - 22:43
Sau đây là một cách khác cho bài 7, sử dụng phương pháp tích phân từng phần.Bài 7: Tính tích phân: $${I_7} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 2x + \sin x}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}dx} $$
Ta có: $${I_7} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2\sin x\cos x + \sin x}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x\left( {2\cos x + 1} \right)}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}} } dx$$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = 2\cos x + 1\\
dv = \frac{{\sin x}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}dx = - \frac{{d\left( {1 + 3\cos x} \right)}}{{3\sqrt {1 + 3\cos x} }}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = - 2\sin xdx\\
v = - \frac{2}{3}\sqrt {1 + 3\cos x}
\end{array} \right.$
Khi đó: $${I_7} = \left. { - \frac{2}{3}\left( {2\cos x + 1} \right)\sqrt {1 + 3\cos x} } \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \frac{4}{3}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x\sqrt {1 + 3\cos x} } dx$$
$$ = \frac{2}{3} + \frac{4}{9}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 + 3\cos x} } d\left( {1 + 3\cos x} \right) = \frac{2}{3} + \left. {\frac{8}{{27}}\sqrt {{{\left( {1 + 3\cos x} \right)}^3}} } \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \boxed{\frac{{34}}{{27}}}$$
- hoainamcx likes this
#16
Posted 18-01-2012 - 11:41
#17
Posted 21-01-2012 - 07:17
Sử dụng tính chất $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$,ta có:Bài 13: Tính tích phân: ${I_{13}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left[ {\frac{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^{1 + \cos x}}}}{{1 + \sin x}}} \right]dx} $
$$I_{13}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} {\ln \left[\frac{ \left(1+\cos{x} \right)^{1+\cos{x}}}{1+\sin{x}} \right]dx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \left[\frac{(1+\sin{x})^{1+\sin{x}}}{1+\cos{x}} \right]dx$$
Suy ra:
$$2I_{13}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \left[(1+\cos{x})^{\cos{x}}(1+\sin{x})^{\sin{x}} \right]dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{x}\ln{(1+\cos{x})}dx+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{x}\ln{(1+\sin{x})}dx$$
Đặt $J=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{x}\ln{(1+\cos{x})}dx;K=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{x}\ln{(1+\sin{x})}dx$.
*Với J,sử dụng công thức tích phân từng phần,ta có:
$$J=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln{(1+\cos{x})}d(\sin{x})=\left[\sin{x}.\ln{(1+\cos{x})} \right]\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2{x}}{1+\cos{x}}dx$$
Xét :
$$J_1=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2{x}}{1+\cos{x}}dx=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2{\frac{x}{2}}dx=x\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\sin{x}\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}-1$$
Suy ra:
$$J=\frac{\pi}{2}-1$$
*Với K,cũng sử dụng công thức tích phân từng phần,ta có:
$$K=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln{(1+\sin{x})}d(-\cos{x})=\left[-\cos{x}.\ln{(1+\sin{x})} \right]\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^2{x}}{1+\sin{x}}dx=J_1=\frac{\pi}{2}-1$$
Vậy:
$$2I_{13}=J+K=2\left(\frac{\pi}{2}-1 \right) \Rightarrow I_{13}=\frac{\pi}{2}-1$$
P/s:@Anh Thành:Anh rảnh thì post lời giải câu 10 giùm em,cảm ơn
Edited by dark templar, 21-01-2012 - 07:21.
- nguyenthanhthi12a4 likes this
#18
Posted 21-01-2012 - 11:20
Bài 5: Tính tích phân: $$I_{5}=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$$
Đây là lời giải cho bài này.
Ta có: $${I_5} = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} = 2\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} = 2\mathop {\lim }\limits_{b \to {1^ - }} \left( {\int\limits_0^b {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} } \right)$$
$$ = \left. {2\mathop {\lim }\limits_{b \to {1^ - }} \arcsin x} \right|_0^b = 2\mathop {\lim }\limits_{b \to {1^ - }} \arcsin b = \boxed\pi $$
- caybutbixanh likes this
#19
Posted 21-01-2012 - 19:53
----------------------------
P/s: các bạn giải xong nhớ để lại một bài nhé.
#20
Posted 22-01-2012 - 07:47
Không biết điều kiện của $n$ như thế nào vậy anh ? Em cho đại là $n \in \mathbb{N^*}$ nhéBài 15: $\text{Tính tích phân:}\,\,\,\mathbf{{I_{15}} = \int {{x^n}\ln xdx} }$
----------------------------
P/s: các bạn giải xong nhớ để lại một bài nhé.
Xét $I_{15}=I_{n}=\int{x^{n}\ln{x}dx}=\int{x^{n}d(x\ln{x}-x)}$
Theo công thức nguyên hàm từng phần thì:
$$I_{n}=x^{n+1}\ln{x}-x^{n+1}-n\int{(x\ln{x}-x)x^{n-1}dx}=x^{n+1}\ln{x}-x^{n+1}-n\int{x^{n}\ln{x}dx}+n\int{x^{n}dx}$$
$$=x^{n+1}\ln{x}-x^{n+1}-nI_{n}+\frac{n.x^{n+1}}{n+1}=x^{n+1}\ln{x}-\frac{x^{n+1}}{n+1}-nI_{n}$$
Suy ra:
$$I_{15}=I_{n}=\frac{x^{n+1}\left(\ln{x}-\frac{1}{n+1} \right)}{n+1}$$
Ủng hộ bài mới
Bài 16: Cho $t \in \mathbb{R};n \in \mathbb{N^*}$.Tính:$I_{16}=\int_{0}^{t}\frac{(t-x)^{n}}{n!}e^{x}dx$
Edited by dark templar, 04-02-2012 - 19:57.
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users