Tổng hợp các bài toán Tích phân
#1
Đã gửi 05-01-2012 - 17:32
Xin được mượn quy định của anh E.Galois:
- Nguyên tắc: "ăn một quả, trả cục vàng". Nếu bạn giải được 1 bài, bạn hãy đưa thêm 1 đề
- Đề bài cần được đánh số thứ tự nghiêm túc, lời giải rõ ràng; khuyến khích giải bằng nhiều cách.
- Cấm spam dưới mọi hình thức
Hi vọng topic sẽ nhận được sự ủng hộ của mọi người (toán Đại học ít người tham gia nên đành phải lôi kéo các em THPT mới được )
Bài toán mở đầu (dễ):
Bài 1: Tính tích phân bất định sau: $$I = \int {\dfrac{1}{{{x^2}}}\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} } dx$$
- E. Galois, vietfrog, funcalys và 6 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 06-01-2012 - 16:50
#3
Đã gửi 07-01-2012 - 19:36
#4
Đã gửi 07-01-2012 - 20:10
Đặt $t=\sqrt{\dfrac{x+1}{x}}=\sqrt{1+\dfrac{1}{x}} \rightarrow 2tdt=-\dfrac{dx}{x^2}$Bài 2: Tính tích phân bất định: $${I_2} = \int {\dfrac{1}{{{x^2}}}} \sqrt {\dfrac{{x + 1}}{x}} dx$$
Vậy:
$$I_2=\int {-2t^2dt}=\dfrac{-2t^3}{3}+C=\dfrac{-2}{3}\sqrt{\left(1+\dfrac{1}{x} \right)^3}+C$$
Bài 1 làm giống bài 2
Ta có:Bài 3: Tính tích phân bất định sau: $${I_3} = \int {\sin x{e^x}dx} $$
$$I_3=\int {\sin{x}d(e^{x})}=e^{x}\sin{x}+C-\int {e^{x}\cos{x}dx}$$
Xét $J_3=\int {\cos{x}e^{x}dx}=\int {\cos{x}d(e^{x})}=e^{x}\cos{x}+C+\int {e^{x}\sin{x}dx}$
Vậy dựa vào 2 tích phân bất định ở trên,ta tính được:
$$I_3=\dfrac{e^{x}(\sin{x}-\cos{x})}{2}+C$$
Ủng hộ bài mới
Bài 4: Tính:
$$I_4=\int {\dfrac{2-\cos{x}}{2+\sin{x}}dx}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 07-01-2012 - 20:18
#5
Đã gửi 08-01-2012 - 17:16
Bài 5: Tính tích phân: $$I_{5}=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$$
#6
Đã gửi 10-01-2012 - 21:40
Bài 7: Tính tích phân: $${I_7} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 2x + \sin x}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}dx} $$
#7
Đã gửi 11-01-2012 - 19:01
#8
Đã gửi 14-01-2012 - 19:23
Bài 10: ${I_{10}} = \int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{{\ln x}}{{x + 1}}} \right)}^2}dx} $
Bài 11: ${I_{11}} = \int {\frac{{dx}}{{x + {x^{10}}}}} $
#9
Đã gửi 14-01-2012 - 20:08
Đặt $x = \sin t\left( {t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]} \right)$Bài 5: Tính tích phân: $$I_{5}=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$$
$dx = \cos tdt \Rightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = dt$
Đổi cận:
- Với x = 1 thì $t = \frac{\pi }{2}$
- Với x = -1 thì $t = - \frac{\pi }{2}$
Ta có:
${I_5} = \int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {dt = t\left| \begin{array}{l}
\pi /2\\
- \pi /2
\end{array} \right. = \pi } $
Bài 12: Tính tích phân: ${I_{12}} = \int\limits_0^{2004\pi } {\sqrt {1 - \cos 2x} dx} $
- Zaraki yêu thích
THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT
LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN
Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa
#10
Đã gửi 14-01-2012 - 21:16
Ta có:Bài 6: Tính tích phân: $${I_6} = \int {\frac{{dx}}{{4\cos x + 3\sin x + 5}}} $$
${I_6} = \int {\frac{{dx}}{{4\cos x + 3\sin x + 5}} = \int {\frac{{dx}}{{5\sin \left( {x + \alpha } \right)}}} } $
Với:
$\left\{ \begin{array}{l}
\sin \alpha = \frac{4}{5}\\
\cos \alpha = \frac{3}{5}
\end{array} \right.$
${I_6} = \frac{1}{5}\int {\frac{{\sin \left( {x + \alpha } \right)dx}}{{{{\sin }^2}\left( {x + \alpha } \right)}} = \frac{1}{5}\int {\frac{{d\left( {\cos \left( {x + \alpha } \right)} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {x + \alpha } \right) - 1}} = \frac{1}{{10}}\ln \left| {\frac{{\cos \left( {x + \alpha } \right) - 1}}{{\cos \left( {x + \alpha } \right) + 1}}} \right| + C} } $
THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT
LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN
Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa
#11
Đã gửi 15-01-2012 - 20:31
Bài này không đơn giản thế đâu Hãy để ý 2 cận $-1$ và $1$ đã làm cho biểu thức không xác định.Đặt $x = \sin t\left( {t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]} \right)$
$dx = \cos tdt \Rightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = dt$
Đổi cận:
- Với x = 1 thì $t = \frac{\pi }{2}$
- Với x = -1 thì $t = - \frac{\pi }{2}$
Ta có:
${I_5} = \int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {dt = t\left| \begin{array}{l}
\pi /2\\
- \pi /2
\end{array} \right. = \pi } $
Bài 7: Dạng cơ bản Đặt $t=\cos{x} \rightarrow dt=-\sin{x}dx$
$x=0 \rightarrow t=1$
$x=\frac{\pi}{2} \rightarrow t=0$
Suy ra:
$$I_7=\int_{0}^{1}\frac{(1+2t)dt}{\sqrt{1+3t}}=\int_{0}^{1}\left(\sqrt{1+3t}-\frac{t}{\sqrt{1+3t}} \right)dt=\frac{2}{9}(1+3t)^{\frac{3}{2}}\Big |_{0}^{1} -\int_{0}^{1}\frac{tdt}{\sqrt{1+3t}}$$
Xét $K=\int_{0}^{1}\frac{tdt}{\sqrt{1+3t}}$
Đổi biến $u=\sqrt{1+3t} \rightarrow 2udu=3dt;t=\frac{u^2-1}{3}$
$t=0 \rightarrow u=1$
$t=1 \rightarrow u=2$
Suy ra:
$$K=\frac{2}{9}\int_{1}^{2}(u^2-1)du=\frac{2}{9}\left(\frac{u^3}{3}-u \right)\Big |_{1}^{2}=\frac{8}{27}$$
Suy ra:
$$I_7=\frac{14}{9}-\frac{8}{27}=\frac{34}{27}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 15-01-2012 - 21:20
#12
Đã gửi 15-01-2012 - 20:40
$x=\frac{1}{2} \rightarrow t=2$
$x=1 \rightarrow t=1$
Suy ra:
$$I_8=\int_{1}^{2}\frac{tdt}{t^2\sqrt{\left(3+\frac{4}{t} \right)\left(3-\frac{2}{t} \right)}}=\int_{1}^{2}\frac{dt}{\sqrt{(3t+4)(3t-2)}}=\int_{1}^{2}\frac{dt}{\sqrt{(3t+1)^2-9}}$$
Tiếp tục đặt $u=3t+1+\sqrt{(3t+1)^2-9} \rightarrow \frac{du}{3u}=\frac{dt}{\sqrt{(3t+1)^2-9}}$
$t=1 \rightarrow u=4+\sqrt{7}$
$t=2 \rightarrow u=7+2\sqrt{10}$
Suy ra:
$$I_8=\frac{1}{3}\int_{4+\sqrt{7}}^{7+2\sqrt{10}}\frac{du}{u}=\frac{1}{3}\ln{u}\Big|_{4+\sqrt{7}}^{7+2\sqrt{10}}=\frac{1}{3}\ln{\left(\frac{7+2\sqrt{10}}{4+\sqrt{7}} \right)}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 15-01-2012 - 21:21
- Zaraki yêu thích
#13
Đã gửi 15-01-2012 - 21:33
Bài 9: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần,ta có:Bài 9: Tính tích phân: ${I_9} = \int {\frac{{\sqrt {\sin x} }}{{{{\cos }^3}x}}dx} $
Bài 11: ${I_{11}} = \int {\frac{{dx}}{{x + {x^{10}}}}} $
$$I_9=\int{\frac{\sqrt{\sin{x}}}{\cos{x}}d(\tan{x})}=\tan{x}\frac{\sqrt{\sin{x}}}{\cos{x}}+C-\int{\tan{x}d\left(\frac{\sqrt{\sin{x}}}{\cos{x}} \right)}=\tan{x}\frac{\sqrt{\sin{x}}}{\cos{x}}+C-\frac{1}{2}I_9$$
Suy ra:
$$I_9=\frac{2}{3}\tan{x}\frac{\sqrt{\sin{x}}}{\cos{x}}+C$$
Bài 11: Đặt $t=\frac{1}{x} \rightarrow dx=\frac{-dt}{t^2}$
Suy ra:
$$I_11=-\int{\frac{tdt}{t^2\left(1+\frac{1}{t^9} \right)}}=-\int{\frac{t^8dt}{1+t^9}}=-\frac{1}{9}\int{\frac{d(t^9)}{t^9+1}}=-\frac{1}{9}\ln{|t^9+1|}+C$$
- Mrnhan yêu thích
#14
Đã gửi 16-01-2012 - 22:29
Bài 13: Tính tích phân: ${I_{13}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left[ {\frac{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^{1 + \cos x}}}}{{1 + \sin x}}} \right]dx} $
#15
Đã gửi 16-01-2012 - 22:43
Sau đây là một cách khác cho bài 7, sử dụng phương pháp tích phân từng phần.Bài 7: Tính tích phân: $${I_7} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 2x + \sin x}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}dx} $$
Ta có: $${I_7} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2\sin x\cos x + \sin x}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x\left( {2\cos x + 1} \right)}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}} } dx$$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = 2\cos x + 1\\
dv = \frac{{\sin x}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}dx = - \frac{{d\left( {1 + 3\cos x} \right)}}{{3\sqrt {1 + 3\cos x} }}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = - 2\sin xdx\\
v = - \frac{2}{3}\sqrt {1 + 3\cos x}
\end{array} \right.$
Khi đó: $${I_7} = \left. { - \frac{2}{3}\left( {2\cos x + 1} \right)\sqrt {1 + 3\cos x} } \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \frac{4}{3}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x\sqrt {1 + 3\cos x} } dx$$
$$ = \frac{2}{3} + \frac{4}{9}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 + 3\cos x} } d\left( {1 + 3\cos x} \right) = \frac{2}{3} + \left. {\frac{8}{{27}}\sqrt {{{\left( {1 + 3\cos x} \right)}^3}} } \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \boxed{\frac{{34}}{{27}}}$$
- hoainamcx yêu thích
#16
Đã gửi 18-01-2012 - 11:41
#17
Đã gửi 21-01-2012 - 07:17
Sử dụng tính chất $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$,ta có:Bài 13: Tính tích phân: ${I_{13}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left[ {\frac{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^{1 + \cos x}}}}{{1 + \sin x}}} \right]dx} $
$$I_{13}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} {\ln \left[\frac{ \left(1+\cos{x} \right)^{1+\cos{x}}}{1+\sin{x}} \right]dx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \left[\frac{(1+\sin{x})^{1+\sin{x}}}{1+\cos{x}} \right]dx$$
Suy ra:
$$2I_{13}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \left[(1+\cos{x})^{\cos{x}}(1+\sin{x})^{\sin{x}} \right]dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{x}\ln{(1+\cos{x})}dx+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{x}\ln{(1+\sin{x})}dx$$
Đặt $J=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{x}\ln{(1+\cos{x})}dx;K=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{x}\ln{(1+\sin{x})}dx$.
*Với J,sử dụng công thức tích phân từng phần,ta có:
$$J=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln{(1+\cos{x})}d(\sin{x})=\left[\sin{x}.\ln{(1+\cos{x})} \right]\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2{x}}{1+\cos{x}}dx$$
Xét :
$$J_1=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2{x}}{1+\cos{x}}dx=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2{\frac{x}{2}}dx=x\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\sin{x}\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}-1$$
Suy ra:
$$J=\frac{\pi}{2}-1$$
*Với K,cũng sử dụng công thức tích phân từng phần,ta có:
$$K=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln{(1+\sin{x})}d(-\cos{x})=\left[-\cos{x}.\ln{(1+\sin{x})} \right]\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^2{x}}{1+\sin{x}}dx=J_1=\frac{\pi}{2}-1$$
Vậy:
$$2I_{13}=J+K=2\left(\frac{\pi}{2}-1 \right) \Rightarrow I_{13}=\frac{\pi}{2}-1$$
P/s:@Anh Thành:Anh rảnh thì post lời giải câu 10 giùm em,cảm ơn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 21-01-2012 - 07:21
- nguyenthanhthi12a4 yêu thích
#18
Đã gửi 21-01-2012 - 11:20
Bài 5: Tính tích phân: $$I_{5}=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$$
Đây là lời giải cho bài này.
Ta có: $${I_5} = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} = 2\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} = 2\mathop {\lim }\limits_{b \to {1^ - }} \left( {\int\limits_0^b {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} } \right)$$
$$ = \left. {2\mathop {\lim }\limits_{b \to {1^ - }} \arcsin x} \right|_0^b = 2\mathop {\lim }\limits_{b \to {1^ - }} \arcsin b = \boxed\pi $$
- caybutbixanh yêu thích
#19
Đã gửi 21-01-2012 - 19:53
----------------------------
P/s: các bạn giải xong nhớ để lại một bài nhé.
#20
Đã gửi 22-01-2012 - 07:47
Không biết điều kiện của $n$ như thế nào vậy anh ? Em cho đại là $n \in \mathbb{N^*}$ nhéBài 15: $\text{Tính tích phân:}\,\,\,\mathbf{{I_{15}} = \int {{x^n}\ln xdx} }$
----------------------------
P/s: các bạn giải xong nhớ để lại một bài nhé.
Xét $I_{15}=I_{n}=\int{x^{n}\ln{x}dx}=\int{x^{n}d(x\ln{x}-x)}$
Theo công thức nguyên hàm từng phần thì:
$$I_{n}=x^{n+1}\ln{x}-x^{n+1}-n\int{(x\ln{x}-x)x^{n-1}dx}=x^{n+1}\ln{x}-x^{n+1}-n\int{x^{n}\ln{x}dx}+n\int{x^{n}dx}$$
$$=x^{n+1}\ln{x}-x^{n+1}-nI_{n}+\frac{n.x^{n+1}}{n+1}=x^{n+1}\ln{x}-\frac{x^{n+1}}{n+1}-nI_{n}$$
Suy ra:
$$I_{15}=I_{n}=\frac{x^{n+1}\left(\ln{x}-\frac{1}{n+1} \right)}{n+1}$$
Ủng hộ bài mới
Bài 16: Cho $t \in \mathbb{R};n \in \mathbb{N^*}$.Tính:$I_{16}=\int_{0}^{t}\frac{(t-x)^{n}}{n!}e^{x}dx$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 04-02-2012 - 19:57
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh