\[9(a^3+b^3+c^3)+17(ab^2+bc^2+ca^2)+33abc\ge 37(a^2b+b^2c+c^2a)\]
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 06-01-2012 - 12:31
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 06-01-2012 - 12:31
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
Cho $a,b,c \in [1, 2]$ là các số thực. Chứng minh rằng
\[9(a^3+b^3+c^3)+17(ab^2+bc^2+ca^2)+33abc\ge 37(a^2b+b^2c+c^2a)\]
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Không mất tính tổng quát, giả sử $a=\min \{ a,b,c \}$
Khi đó, đặt $b=a+x$ và $c=a+y$ thì $x,y\geq 0$ , khai triển bậc 3 khá dễ, ta có :
$\textrm{BĐT}\Leftrightarrow 7a(x^2-xy+y^2)+9x^3-37x^2y+17x^2y+9y^3=f(a)\geq 0$
Vì $x^2-xy+y^2\geq 0$ và $a\geq 1$ nên $f(a)\geq f(1)$
Vì vậy ta chỉ cần chứng minh :
$9x^3+(7-37y)x^2+(17y^2-7y)x+9y^3+7y^2=g(x)\geq 0$
Có $g'(x)=27x^2+x(14-74y)+y(-7+17y)$
Xét $\Delta _{g'(x)}=28(130y^2-47y+7)>0$ nên $g'(x)>0$
$\Rightarrow$ $g(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Rightarrow$ $g(x)\geq g(0)=9y^3+7y^2\geq 0$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=0$ hay $a=b=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Long Le: 29-10-2015 - 21:43
Bài này còn có cách giải khác bằng S-O-S kèm theo chia để trị, $a,b,c\in [1,2]$ ta có thể coi $a,b,c$ như là ba cạnh của một tam giác. Từ đó đánh giá dễ hơn.
hông hiểu
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh