KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2012
Thời gian làm bài: 180 phút
-------- Ngày thi thứ nhất--------
Cho dãy số thực$(x_n)$ xác định bởi : $\begin{cases}
& x_1=3\\
& x_n = \dfrac{n+2}{3n} ( x_{n-1} + 2)
\end{cases}$ với mọi $n\geq 2$.
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi $n \to + \infty $ và tính giới hạn đó.
Bài 2: (5 điểm)
Cho các cấp số cộng $(a_n), \ (b_n)$ và số nguyên $m>2$. Xét $m$ tam thức bậc hai: $P_k(x) = x^2 + a_k x + b_k ,\ k=1,2,3,....,m$ .
Chứng minh rằng nếu hai tam thức $P_1(x),\ P_m(x)$ đều không có nghiệm thực thì tất cả các đa thức còn lại cũng không có nghiệm thực.
Bài 3: (5 điểm)
Trong mặt phẳng, cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ và có các cặp cạnh đối không song song. Gọi $M,N$ tương ứng là giao điểm của các đường thẳng $AB$ và $CD$, $AD$ và $BC$. Gọi $P, Q, S, T$ tương ứng là giao điểm các đường phân giác trong của các cặp $\angle MAN$ và $\angle MBN, \angle MBN$ và $\angle MCN, \angle MCN$ và $\angle MDN, \angle MDN$ và $\angle MAN$. Giả sử bốn điểm $P, Q, S, T$ đôi một phân biệt.
1) Chứng minh rằng bốn điểm $P, Q, S, T$cùng nằm trên một đường tròn. Gọi $I$ là tâm của đường tròn đó.
2) Gọi $E$ là giao điểm của các đường chéo $AC$ và $BD$. Chứng minh rằng ba điểm $E, O, I$ thẳng hàng.
Bài 4: (5 điểm)
Cho số nguyên dương $n$. Có $n$ học sinh nam và $n$ học sinh nữ xếp thành một hàng ngang, theo thứ tự tùy ý. Mỗi học sinh (trong số $2n$học sinh vừa nêu) được cho một số kẹo bằng đúng số cách chọn ra hai học sinh khác giới với X và đứng ở hai phía của $X$. Chứng minh rằng tổng số kẹo mà tất cả $2n$ học sinh nhận được không vượt quá $\frac{1}{3}n(n^2-1)$.
---------------------HẾT---------------------
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 11-01-2012 - 12:22
Visit my 
