Đến nội dung

Hình ảnh

Chuyên đề số phức luyện thi Đại Học

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 51 trả lời

#1
alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Số phức là phần quan trọng và rất hay gặp trong các kì thi .Chủ đề này được lập ra để trao đổi về các vấn đề về số phức phần luyện thi Đại Học.Ta không bàn đến việc sử dụng số phức để giải các bài toán tập hợp ,phương trình nghiệm nguyên.......
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#2
alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
Bài 1Tìm số phức $z$ biết :
$$\overline z - \dfrac{{5 + i\sqrt 3 }}{z} - 1 = 0$$
Bài 2Tìm phần thực và phần ảo của số phức
$$z = {\left( {\dfrac{{1 + i\sqrt 3 }}{{1 + i}}} \right)^3}$$
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#3
alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết

Bài 1Tìm số phức $z$ biết :
$$\overline z - \dfrac{{5 + i\sqrt 3 }}{z} - 1 = 0$$

Mình làm bài 1 vậy mong các bạn tích cực trao đổi hơn nữa
Số phức $z$ có dạng $a+bi$ với a,b là các số thực sao cho chúng không đồng thời bằng $0$
Vậy thì
$$\overline z - \frac{{5 + i\sqrt 3 }}{z} - 1 = 0 \Leftrightarrow a - bi - \frac{{5 + i\sqrt 3 }}{{a + bi}} - 1 = 0$$
$$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 5 - i\sqrt 3 - a - bi = 0$$
$$ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2} - 5 - a} \right) - (b + \sqrt 3 )i = 0$$
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {b^2} - 5 - a = 0}\\{b + \sqrt 3 = 0}\end{array}} \right.$$
Từ đây ta dễ dàng tìm được $a,b$
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#4
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Bài 2Tìm phần thực và phần ảo của số phức
$$z = {\left( {\dfrac{{1 + i\sqrt 3 }}{{1 + i}}} \right)^3}$$


Ủng hộ topic của Hoàng. Hướng dẫn bài 2.

Cách 1: Dùng biến đổi đại số.

Cách 2. Chuyển về dạng lượng giác của các số phức ở tử và mẫu sau đó dùng công thức Moivre.

Bài 3: Tìm tất cả số phức thỏa mãn điều kiện: $\mathbf{{z^3} = 18 + 26i}$

Bài 4: Giải hệ phương trình sau trên $\mathbb{C}$: $\left\{ \begin{gathered}
{x^2} + x - \frac{6}{{{x^2} + x}} = 5 \\
{x^2}{y^2} + x{y^2} + y\left( {{x^2} + x} \right) - 6 = 0 \\
\end{gathered} \right.$

#5
funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết
$z = {\left( {\dfrac{{1 + i\sqrt 3 }}{{1 + i}}} \right)^3}$
$=\left (\frac{(1+ i\sqrt 3)(1-i)}{2}\right)^3$
=$\left (\frac{\sqrt 3 +1 + i(\sqrt 3 -1)}{2}\right)^3$
= $(\left \frac{ |z| e^{i3\theta}}{8} \right)$
Với $\theta$=$arctan(\frac{\sqrt3 - 1}{\sqrt3 +1 })$=$arctan(2-\sqrt 3)$=$\frac{1}{12}\pi $
= $(2\sqrt2)^3\frac{1}{8}(cos\frac{1}{4}\pi + isin\frac{1}{4}\pi)$
=$2 + 2i$
Vậy $Rez=Imz=2$
:icon6:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 20-01-2012 - 17:45


#6
funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết
Bài 3: Tìm tất cả số phức thỏa mãn điều kiện: $\mathbf{{z^3} = 18 + 26i}$
Ta chuyển về tìm các căn bậc 3 của $z = 18 + 26i$
Đặt $18 + 26i = w$
ta có $\left | w \right |= \sqrt{18^2 + 26^2}=10\sqrt{10}$
$\arg w=\phi =\arctan \frac{13}{9}$
Đặt các giá trị căn bậc 3 của $z$ là $\omega _{k}, k=1,2,3$
Áp dụng c/tv de Moivre:
ta có:

$\omega _{1}= \sqrt[3]{10\sqrt{10}}e^{\frac{1}{3}i(\phi + 2\pi)}=
\sqrt[3]{10\sqrt{10}}(cos(\frac{1}{3}\arctan(\frac{13}{9} + 2\pi ))+isin(\frac{1}{3}\arctan(\frac{13}{9} + 2\pi ))$

$\omega _{2}= \sqrt[3]{10\sqrt{10}}e^{\frac{1}{3}i(\phi + 4\pi)}=
\sqrt[3]{10\sqrt{10}}(cos(\frac{1}{3}\arctan(\frac{13}{9} + 4\pi ))+isin(\frac{1}{3}\arctan(\frac{13}{9} + 4\pi ))$
$\omega _{3}= \sqrt[3]{10\sqrt{10}}e^{\frac{1}{3}i(\phi + 6\pi)}=
\sqrt[3]{10\sqrt{10}}(cos(\frac{1}{3}\arctan(\frac{13}{9} + 6\pi ))+isin(\frac{1}{3}\arctan(\frac{13}{9} + 6\pi ))=3 + i$
P/S: Sao pic vắng thế này:-? :blink:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bbvipbb: 26-01-2012 - 11:12


#7
Pham Quoc Khanh

Pham Quoc Khanh

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết
Bài 5:
$\left\{ \begin{array}{l}
\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| = 1 \\
{z_1} + {z_2} + {z_3} = 1 \\
{z_1}.{z_2}.{z_3} = 1 \\
\end{array} \right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 27-03-2012 - 20:23


#8
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
:wacko: Mấy bài trên có vẻ khó hơn những bài số phức trong các kì thi ĐH - CĐ thì phải
Bài 6:Cho số phức $z=\frac{1-i}{1+i}$ tính giá trị $z^2-|z|^2$
Bài 7: Cho số phức $z=\frac{5+3\sqrt{3}i}{1-2\sqrt{3}i}$. Tính $z^{12}$


Mọi người tham gia tích cực nhé :namtay

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 27-03-2012 - 20:25

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#9
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Bài 3: Tìm tất cả số phức thỏa mãn điều kiện: $\mathbf{{z^3} = 18 + 26i}$
\end{gathered} \right.$

Viết $z=x+yi$ ta có
$ (x+yi)^3=18+26i$
$\left\{ \begin{array}{l}
x^3 - 3xy^2 = 18 \\
3x^2 y - y^3 = 26 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow 18(3x^2 y - y^3 ) = 26(x^3 - 3xy^2 )$

Nhận xét x =0 không phải là nghiệm của phương trình nên đặt $y=tx$ tìm được $t = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 3;y = 1 \Rightarrow z = 3 + i$

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#10
funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết

Viết $z=x+yi$ ta có
$ (x+yi)^3=18+26i$
$\left\{ \begin{array}{l}
x^3 - 3xy^2 = 18 \\
3x^2 y - y^3 = 26 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow 18(3x^2 y - y^3 ) = 26(x^3 - 3xy^2 )$

Nhận xét x =0 không phải là nghiệm của phương trình nên đặt $y=tx$ tìm được $t = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 3;y = 1 \Rightarrow z = 3 + i$

IG làm thiếu rồi , căn bậc n 1 số phức phải có đúng n giá trị chứ :wacko:

#11
funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết

Bài 3: Tìm tất cả số phức thỏa mãn điều kiện: $\mathbf{{z^3} = 18 + 26i}$
Ta chuyển về tìm các căn bậc 3 của $z = 18 + 26i$
Đặt $18 + 26i = w$
ta có $\left | w \right |= \sqrt{18^2 + 26^2}=10\sqrt{10}$
$\arg w=\phi =\arctan \frac{13}{9}$
Đặt các giá trị căn bậc 3 của $z$ là $\omega _{k}, k=1,2,3$
Áp dụng c/tv de Moivre:
ta có:

$\omega _{1}= \sqrt[3]{10\sqrt{10}}e^{\frac{1}{3}i(\phi + 2\pi)}=
\sqrt[3]{10\sqrt{10}}(cos(\frac{1}{3}\arctan(\frac{13}{9} + 2\pi ))+isin(\frac{1}{3}\arctan(\frac{13}{9} + 2\pi ))$

$\omega _{2}= \sqrt[3]{10\sqrt{10}}e^{\frac{1}{3}i(\phi + 4\pi)}=
\sqrt[3]{10\sqrt{10}}(cos(\frac{1}{3}\arctan(\frac{13}{9} + 4\pi ))+isin(\frac{1}{3}\arctan(\frac{13}{9} + 4\pi ))$
$\omega _{3}= \sqrt[3]{10\sqrt{10}}e^{\frac{1}{3}i(\phi + 6\pi)}=
\sqrt[3]{10\sqrt{10}}(cos(\frac{1}{3}\arctan(\frac{13}{9} + 6\pi ))+isin(\frac{1}{3}\arctan(\frac{13}{9} + 6\pi ))=3 + i$

Sr, bài này thiếu k=3 :wacko:
$\omega _{3}=\sqrt[3]{10\sqrt{10}}e^{\frac{1}{3}i(\phi + 6\pi)$=$3+i$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bbvipbb: 29-03-2012 - 12:53


#12
funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết

:wacko: Mấy bài trên có vẻ khó hơn những bài số phức trong các kì thi ĐH - CĐ thì phải
Bài 6:Cho số phức $z=\frac{1-i}{1+i}$ tính giá trị $z^2-|z|^2$
Bài 7: Cho số phức $z=\frac{5+3\sqrt{3}i}{1-2\sqrt{3}i}$. Tính $z^{12}$


Mọi người tham gia tích cực nhé :namtay

Bài 6:$z=\frac{1-i}{1+i}=-i$
Vậy $z^2-|z|^2$=$(-i)^2 -|-i|^2 = -2$
Bài 7: $z=\frac{5+3\sqrt{3}i}{1-2\sqrt{3}i}=-1+\sqrt{3}i$
|z|=2
$Argz= arctan\frac{\sqrt{3}}{-1}=\frac{-/pi}{3}$
$z^{12}=|z|^12.e^{12iArgz}=4096[cos(12Argz) + isin(12Argz)=4096$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bbvipbb: 29-03-2012 - 14:17


#13
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Bài 5:
$\left\{ \begin{array}{l}
\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| = 1 \\
{z_1} + {z_2} + {z_3} = 1 \\
{z_1}.{z_2}.{z_3} = 1 \\
\end{array} \right.$

Viết $1-z_1=z_2+z_3$
Nếu $z_1=1$ thì $z_2+z_3=0$
Nếu $z_1$ khác 1 thì $1-z_1$ khác 0, điểm P biểu diễn số $1+(-z_1)=z_2+z_3$ không trùng 0 nên đo $1=|-z_1|=|z_2|=|z_3|$, đường trung trực của OP cắt đường tròn đơn vị tại 2 điểm biểu diễn 1, $-z_1$ và cũng là 2 điểm biểu diễn $z_3;z_2$. Vậy $z_2=1, z_3=-z_1$ hoặc $z_2=-z_1, z_3=1$
Tóm lại hoặc $z_1=1$ hoặc $z_2=1$ hoặc $z_3=1$ (và tổng 2 số z còn lại bằng 0)
Từ 2 phương trình đầu của hệ theo trên có thể coi $z_1=1, z_2+z_3=0$. Khi đó điều kiện $z_1z_2z_3=1$ kéo theo hoặc $z_2=i,z_3=-i$ hoặc $z_2=-i,z_3=i$. Suy ra hệ có 6 nghiệm do đổi chỗ các phần tử của bộ 3 $(1;i;-i)$

Nguồn:Bài tập giải tích 12 nâng cao
Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ tìm tập hợp hợp điểm biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn $|z-(3-4i)|=2$

Khối D -2009

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#14
funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết

Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ tìm tập hợp hợp điểm biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn $|z-(3-4i)|=2$
Khối D -2009

Trên $\mathbb{C},|z-(3-4i)|= d(z,3-4i)$
Vậy $d(z,3-4i)=2$
Ý nghĩa hh: tập các điểm z cách đều điểm $(3,-4)$ một khoảng =2
Vậy tập các z thỏa mãn là đường tròn tâm $(3,-4)$ với $r=2$
:)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bbvipbb: 30-03-2012 - 12:00


#15
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Bài 9: Rút gợn biểu thức $\frac{1}{{z_1 + z_2 }}\left( {\frac{1}{{z_1^2 }} + \frac{1}{{z_2^2 }}} \right) + \frac{2}{{\left( {z_1 + z_2 } \right)^2 }}\left( {\frac{1}{{z_1 }} + \frac{1}{{z_2 }}} \right)$ với $z_1 \ne 0;z_2 \ne 0$

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#16
funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết
Bài 10: Tìm tất cả các số phức thỏa
$Z^4= 2-i\sqrt{12}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bbvipbb: 01-04-2012 - 08:59


#17
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Bài 11: Tính căn bậc 2 số phức $z=\frac{(3-i)^2}{1+i}$
Đề thi thử ĐH môn toán chuyên Lê Quý Đôn Vũng Tàu

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#18
funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết

Bài 11: Tính căn bậc 2 số phức $z=\frac{(3-i)^2}{1+i}$
Đề thi thử ĐH môn toán chuyên Lê Quý Đôn Vũng Tàu

Ta có $z=\frac{(3-i)^2}{1+i}=\frac{(8-6i)^2}{1+i}=\frac{2-14i}{2}=1-7i$
$\left | z \right |=\sqrt{50}=2\sqrt{5}$
$Argz=arctan(-7)$
Vậy các căn bậc 2 của z là
$a_{k}=\left | z \right |^{\frac{1}{2}}e^{i(\frac{1}{2}Argz+k\pi)}$
Với $k \in \left \{ 1,2 \right \}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bbvipbb: 05-04-2012 - 05:53


#19
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Bài 12: Tìm số phức $z$ thỏa mãn $(2z+i)(1-i)+\frac{\overline{z}-1}{i+1}=1$
Đề thi thử ĐH năm 2012 chuyên Phan Bội Châu Nghệ an
Bài 13: Trong mặt phẳng $Oxy$ , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $w=z+2i$ biết rằng $|z-i|=z(1-i)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 05-04-2012 - 12:33

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#20
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Bài 14: Chứng minh rằng, nếu $z+z^{-1}=\sqrt{3}$ thì ta có $$z^{2020}+z^{-2020}=-1.$$
Đề thi thử trường Trần Quốc Tuấn lần 3 2012

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 11-04-2012 - 01:07

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh