Chủ đề này có 4 trả lời

[thieunangtritue]

chứng minh bất đẳng thức schur khi r=1 bằng bất đẳng thức cô si hộ em với.Em xin cảm ơn ạ.

[le_hoang1995]

Chứng minh như thế này, cái khó chủ yếu là biến đổi thôi.

BĐT Schur: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

$\Leftrightarrow abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$ (1)

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$ ta có:

Th1 $b+c-a< 0$ suy ra (1) đúng.

Th2 $b+c-a\geq 0$, áp dụng BĐT côsi ta có:

$(a+b-c)(b+c-a)\leq \left ( \frac{(a+b-c)+(b+c-a)}{2} \right )^{2}=b^{2}$

Tương tự $(b+c-a)(c+a-b)\leq \left ( \frac{(c+a-b)+(b+c-a)}{2} \right )^{2}=c^{2}$

$(a+b-c)(c+a-b)\leq \left ( \frac{(a+b-c)+(c+a-b)}{2} \right )^{2}=a^{2}$

Nhân theo từng vế ta có ĐPCM

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Schur : $\forall a,b,c \geq 0 ; r \in R : a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^k(c-a)(c-b) \geq 0 $
Proof :
WLOG assume $a \geq b \geq c $
$LHS = c^r(a-c)(b-c)+(a-b)\left [ a^r(a-c)-b^r(b-c) \right ] \geq 0 $
Equation holds if and only if $a=b=c$ or $a=b , c=0$ and permutations .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 19-01-2012 - 21:32

[dark templar]

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$ ta có:

Tại sao lại phải giả sử như thế này trong khi chúng ta chỉ cần chia trường hợp để giải quyết là được rồi
@PRONOOB: Đây là topic sử dụng ngôn ngữ thuần Việt,mong bạn hãy trân trọng điều đó.
This is a Vietnamese-topic,so please appreciate it.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 20-01-2012 - 18:23

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Tại sao lại phải giả sử như thế này trong khi chúng ta chỉ cần chia trường hợp để giải quyết là được rồi
@PRONOOB: Đây là topic sử dụng ngôn ngữ thuần Việt,mong bạn hãy trân trọng điều đó.
This is a Vietnamese-topic,so please appreciate it.

May em hong vietkey anh thong cam