chứng minh bất đẳng thức schur khi r=1 bằng bất đẳng thức cô si hộ em với.Em xin cảm ơn ạ.
chứng minh bất đẳng thức schur khi r=1 bằng bất đẳng thức cô si hộ em với
Bắt đầu bởi thieunangtritue, 19-01-2012 - 20:58
#1
Đã gửi 19-01-2012 - 20:58
#2
Đã gửi 19-01-2012 - 21:24
Chứng minh như thế này, cái khó chủ yếu là biến đổi thôi.
BĐT Schur: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
$\Leftrightarrow abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$ (1)
Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$ ta có:
Th1 $b+c-a< 0$ suy ra (1) đúng.
Th2 $b+c-a\geq 0$, áp dụng BĐT côsi ta có:
$(a+b-c)(b+c-a)\leq \left ( \frac{(a+b-c)+(b+c-a)}{2} \right )^{2}=b^{2}$
Tương tự $(b+c-a)(c+a-b)\leq \left ( \frac{(c+a-b)+(b+c-a)}{2} \right )^{2}=c^{2}$
$(a+b-c)(c+a-b)\leq \left ( \frac{(a+b-c)+(c+a-b)}{2} \right )^{2}=a^{2}$
Nhân theo từng vế ta có ĐPCM
BĐT Schur: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
$\Leftrightarrow abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$ (1)
Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$ ta có:
Th1 $b+c-a< 0$ suy ra (1) đúng.
Th2 $b+c-a\geq 0$, áp dụng BĐT côsi ta có:
$(a+b-c)(b+c-a)\leq \left ( \frac{(a+b-c)+(b+c-a)}{2} \right )^{2}=b^{2}$
Tương tự $(b+c-a)(c+a-b)\leq \left ( \frac{(c+a-b)+(b+c-a)}{2} \right )^{2}=c^{2}$
$(a+b-c)(c+a-b)\leq \left ( \frac{(a+b-c)+(c+a-b)}{2} \right )^{2}=a^{2}$
Nhân theo từng vế ta có ĐPCM
- tantientran, sudenhapmon và Hero Crab thích
#3
Đã gửi 19-01-2012 - 21:27
Schur : $\forall a,b,c \geq 0 ; r \in R : a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^k(c-a)(c-b) \geq 0 $
Proof :
WLOG assume $a \geq b \geq c $
$LHS = c^r(a-c)(b-c)+(a-b)\left [ a^r(a-c)-b^r(b-c) \right ] \geq 0 $
Equation holds if and only if $a=b=c$ or $a=b , c=0$ and permutations .
Proof :
WLOG assume $a \geq b \geq c $
$LHS = c^r(a-c)(b-c)+(a-b)\left [ a^r(a-c)-b^r(b-c) \right ] \geq 0 $
Equation holds if and only if $a=b=c$ or $a=b , c=0$ and permutations .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 19-01-2012 - 21:32
- 01634908884 và Hero Crab thích
#4
Đã gửi 20-01-2012 - 18:20
Tại sao lại phải giả sử như thế này trong khi chúng ta chỉ cần chia trường hợp để giải quyết là được rồiKhông mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$ ta có:
@PRONOOB: Đây là topic sử dụng ngôn ngữ thuần Việt,mong bạn hãy trân trọng điều đó.
This is a Vietnamese-topic,so please appreciate it.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 20-01-2012 - 18:23
- HÀ QUỐC ĐẠT, shinichikudo2106, Nguyen Huy Hoang và 2 người khác yêu thích
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
#5
Đã gửi 21-01-2012 - 22:27
May em hong vietkey anh thong camTại sao lại phải giả sử như thế này trong khi chúng ta chỉ cần chia trường hợp để giải quyết là được rồi
@PRONOOB: Đây là topic sử dụng ngôn ngữ thuần Việt,mong bạn hãy trân trọng điều đó.
This is a Vietnamese-topic,so please appreciate it.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh