Xin lỗi mod vì đã post bài trùng lặp với bài trong
http://diendantoanho...30 nhưng em vẫn để như này vì nhiều người sẽ truy cập vào VMF hơn !!!
> Bạn có biết:
Cách giải phương trình bậc 4 bằng máy tính Giải phương trình bậc 4Phương trình bậc 4___________________________________________________
(Bài viết của nthoangcute (Bùi Thế Việt), 9a6, THCS Lương Thế Vinh, TP.Thái Bình, Thái Bình dành cho VMF)___________________Thêm một phương pháp "tủ" của mình, đó là cách chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm ! (Ai không hiểu gì cứ pmmmm nha, nhưng cũng hơi đau đầu đấy)_________________________
Xét PT $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ với $d>0$ và $a,b,c$ là các hệ số.
Khi bạn giải mãi cái này mà không ra nghiệm (Can't solve), bạn hãy chứng minh phương trình vô nghiệm
Ví dụ 1: Giải phương trình: $x^4-6x^3+16x^2-22x+16=0$
Cách 1: Cách ăn may: đó chính là $f(x)$ phân tích thành 2 cái bậc 2 cộng với một hệ số tự do không âm,
giống như $f(x)=x^4-6x^3+16x^2-22x+16$
Khi đó $f(x)=(x^2-2x+3)(x^2-4x+5)+1>0$
[?] Vậy tại sao lại có thể phân tích thành cái này, đó là câu hỏi khó ?Cách làm ở đây là đặt $f(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)+e$
Suy ra $f(x)=x^4+(a+c)x^3+(d+ac+b)x^2+(bc+ad)x+bd+e$
Đồng nhất với đa thức ban đầu là $f(x)=x^4-6x^3+16x^2-22x+16$
Ta có:
$$\left\{\begin{matrix}
a+c=-4\\
d+ac+b=16\\
bc+ad=-22\\
bd+e=16
\end{matrix}\right.$$
Từ đó dễ dàng suy ra $a=-2, \;b=3, \;c=-4, \; d=5, \; e=1$ nhờ phương pháp mò
(Vì đây là cách ăn may mà)Cách 2: (Cách này ảo nhất, bây giờ tui mới phát hiện ra)Cũng từ: $A=f(x)=x^4-6x^3+16x^2-22x+16$
Ta sẽ chứng minh $f(x)>0$ bằng cách đặt $x=y-\frac{a}{4}$, để mất đi hệ số của $y^3$
Đặt $x=y+\frac{3}{2}$Biểu thức đã cho trở thành:
$$A=y^4+\frac{5y^2}{2}-y+\frac{61}{16}=y^4-m y^2+m^2+(m+\frac{5}{2})y^2-y+\frac{61}{16}-m^2$$
(Chỗ này khá ảo, nhưng hay)
Cần tìm $m > -\frac{5}{2}$ để PT $(m+\frac{5}{2})y^2-y+\frac{61}{16}-m^2$ vô nghiệm (khi đó nó mới >0)
Thì $\Delta = 4m^3+10m^2-\frac{61}{4}m-\frac{297}{8}<0$
Tìm bất kì số $m$ nào thỏa mãn BĐT kia và phải thỏa mãn $m> \frac{5}{2}$Có nhiều $m$ thỏa mãn lắm, VD: $m=0$ hoặc $m=-1$ hoặc $m=1$ là đẹp mắt nhất
Chọn một cái và làm !Giả sử:a) $m=-1$ thì $A=(y^2+1)^2+\frac{3}{2}(y-\frac{1}{3})^2+\frac{175}{48}$Suy ra $A= (x^2-3x+\frac{13}{4})^2+\frac{3}{2}(x-\frac{11}{6})^2+\frac{175}{48}>0$b) $m=0$ thì $A=y^4+\frac{5}{2}(y-\frac{1}{5})^2 +\frac{297}{80}$Suy ra $A=(x-\frac{3}{2})^4+\frac{5}{2}(x-\frac{17}{10})^2 +\frac{297}{80}>0$c) $m=1$ thì $A=(y^2-1)^2+\frac{7}{2}(y-\frac{1}{7})^2+\frac{419}{112}$Suy ra $A=(x^2-3x+\frac{5}{4})^2+\frac{7}{2}(x-\frac{23}{14})^2+\frac{419}{112}$_______________________
Nhận xét: Nhưng các bạn cũng không nên lợi dụng nó quá, giống như minhtuyb đã nhận xét:
"Mình cũng chia sẻ chút chỗ này :
Khi đã ra $A=y^4+\frac{5y^2}{2}-y+\frac{61}{16}$ thì trước khi chọn hệ số $m$ thích hợp như trên nên kiểm tra xem tam thức bậc hai $\frac{5y^2}{2}-y+\frac{61}{16}$ có vô nghiệm hay không:
+) Nếu vô nghiệm $(\Delta <0)$ thì ta phân tích thẳng luôn: $A=y^4+\frac{5}{2}(y-\frac{1}{5})^2+\frac{297}{80}$, tức là chọn $m=0$ để đỡ mất công cho phần sau
+) Nếu có nghiệm thì lại phải lục cục đi tìm $m$ thôi "________________________
Để không phải xét như thế, mình post một VD khác để có thể áp dụng hoàn toàn :Ví Dụ 2: Giải phương trình $12x^4-108x^3+312x^2+183x+119=0$
___________
Nhận xét: Trước khi bắt tay vào giải phương trình, các bạn phải kiểm chứng rằng phương trình có nghiệm hay không !!!
Mình khuyên các bạn nên dùng Máy Tính Bỏ túi Casio để giải phương trình, nếu nó báo Can't solve thì chắc là phương trình không có nghiệmHướng làm: (Cái này trong nháp)Ta thấy $12x^4-108x^3+312x^2+183x+119=0 \Leftrightarrow {x}^{4}-9\,{x}^{3}+26\,{x}^{2}+{\frac {61}{4}}\,x+{\frac {119}{12}}=0$
Đặt $A={x}^{4}-9\,{x}^{3}+26\,{x}^{2}+{\frac {61}{4}}\,x+{\frac {119}{12}}$
Giống như phương trình bậc 4 tổng quát có dạng $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ thì bạn đặt $x=y-\frac{a}{4}$ rồi rút gọn lại
Vậy đặt $x=y-\frac{-9}{4}$
Suy ra $$A=(y-\frac{-9}{4})^4-9(y-\frac{-9}{4})^3+26(y-\frac{-9}{4})^2+\frac{61}{4}(y-\frac{-9}{4})+\frac{119}{12}$$
$$={y}^{4}+9\,{y}^{3}+{\frac {243}{8}}\,{y}^{2}+{\frac {729}{16}}\,y+{
\frac {6561}{256}} -9\,{y}^{3}-{\frac {243}{4}}\,{y}^{2}-{\frac {2187}{16}}\,y-{\frac {
6561}{64}}+26\,{y}^{2}+117\,y+{\frac {1053}{8}}+{\frac {61}{4}}\,y+{\frac {2123}{48}}$$
$$={y}^{4}-{\frac {35}{8}}\,{y}^{2}+{\frac {329}{8}}\,y+{\frac {76007}{
768}}$$
Bước tiếp theo là cộng hệ số thích hợp:$$A={y}^{4}-{\frac {35}{8}}\,{y}^{2}+{\frac {329}{8}}\,y+{\frac {76007}{
768}}$$
$$=y^4-2my^2+m^2+ \left( 2\,m-{\frac {35}{8}} \right) {y}^{2}+{\frac {329}{8}}\,y-{m}^{
2}+{\frac {76007}{768}}$$
Để $A>0$ thì ta sẽ tìm $m> \frac{35}{16}$ để phương trình $ \left( 2\,m-{\frac {35}{8}} \right) {y}^{2}+{\frac {329}{8}}\,y-{m}^{
2}+{\frac {76007}{768}}=0$ vô nghiệm
Hay $\Delta ={\frac {108241}{64}}-4\, \left( 2\,m-{\frac {35}{8}} \right) \left( -
{m}^{2}+{\frac {76007}{768}} \right) =8\,{m}^{3}-{\frac {35}{2}}\,{m}^{2}-{\frac {76007}{96}}\,m+{\frac {
5258029}{1536}} <0$
(Nếu bạn muốn tìm nhanh mà không mất công rút gọn biểu thức thì hãy nhập $\Delta$ vào máy tính Casio rồi ấn Calc.
Máy hỏi M? Ấn thử xem với $M$ bằng bao nhiêu thi kết quả là một số âm)Có nhiều giá trị của $m$ thỏa mãn BĐT đấy, ta chọn lấy cái đẹp nhất nhưng mà thỏa mãn $m > \frac{35}{16}$
VD: Ta lấy $m$ bất kì chỉ cần thỏa mãn $\frac{51}{10} \leq m \leq \frac{39}{5}$ là BĐT kia đúng !!!
(Cách tìm $m$ nhanh mà không phải mò !... Vào mode EQN, ấn cách hệ số của PT bậc 3 vào lần lượt $a, \; b, \;c$ rồi máy sẽ tính được 3 nghiệm, rồi lập bảng xét dấu là xong)Cho $m=6$ hay $m=7$ thì ta được:Nếu $m=6$ thì $ \left( 2\,m-{\frac {35}{8}} \right) {y}^{2}+{\frac {329}{8}}\,y-{m}^{
2}+{\frac {76007}{768}}={\frac {61}{8}}\,{y}^{2}+{\frac {329}{8}}\,y+{\frac {48359}{768}}={\frac {61}{8}}\, \left( y+{\frac {329}{122}} \right) ^{2}+{\frac {
352115}{46848}}$
Do đó $A=(y^2-6)^2+{\frac {61}{8}}\, \left( y+{\frac {329}{122}} \right) ^{2}+{\frac {
352115}{46848}} = ({x}^{2}-\frac{9}{2}\,x-{\frac {15}{16}})^2+{\frac {61}{8}}\, \left( x+{\frac {109}{244}} \right) ^{2}+{\frac {
352115}{46848}}>0$
Nếu $m=7$ thì $\left( 2\,m-{\frac {35}{8}} \right) {y}^{2}+{\frac {329}{8}}\,y-{m}^{
2}+{\frac {76007}{768}}={\frac {77}{8}}\,{y}^{2}+{\frac {329}{8}}\,y+{\frac {38375}{768}}={\frac {77}{8}}\, \left( y+{\frac {47}{22}} \right) ^{2}+{\frac {51013
}{8448}}$
Do đó $A=(y^2-7)^2+{\frac {77}{8}}\, \left( y+{\frac {47}{22}} \right) ^{2}+{\frac {51013
}{8448}}=({x}^{2}-\frac{9}{2}\,x-{\frac {31}{16}})^2+{\frac {77}{8}}\, \left( x-{\frac {5}{44}} \right) ^{2}+{\frac {51013}
{8448}}>0$
Do đó có nhiều cách chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm, nhưng lời giải thì rất ngắn gọn:Lời giải 1: (cái làm làm luôn vào bài)Ta có: $12x^4-108x^3+312x^2+183x+119=0$
$\Leftrightarrow 12\, \left( {x}^{2}-\frac{9}{2}\,x-{\frac {15}{16}} \right) ^{2}+{\frac {183}{
2}}\, \left( x+{\frac {109}{244}} \right) ^{2}+{\frac {352115}{3904}}=0$
Vô lý do VT > 0 với mọi $x$
Lời giải 2:Ta có: $12x^4-108x^3+312x^2+183x+119=0$
$\Leftrightarrow 12\, \left( {x}^{2}-\frac{9}{2}\,x-{\frac {31}{16}} \right) ^{2}+{\frac {231}{
2}}\, \left( x-{\frac {5}{44}} \right) ^{2}+{\frac {51013}{704}}=0$
Vô lý do VT > 0 với mọi $x$
__________________________________
Nhận xét: 2 lời giải trên thật ngắn gọn, nhưng lại phải có một "công trình" nghiên cứu như trên, nhưng còn với phương trình bậc 6, 8, ... thì lại phải làm một hướng khác !
Vì dụ ở dưới sẽ giúp bạn thành thạo hơn !!!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 20-06-2012 - 15:58