Chủ đề này có 24 trả lời

[minhtuyb]

Cuộc thì này là Marathon for Secondary school, các em lớp 7,8 muốn thi vượt cấp thì chấp nhận học trước thôi, đâu thể trách ai đc :-S
Thôi không bàn chuyện này ở đây nữa, có phần không phù hợp
Huy ngày hôm nay chưa onl thì phải, mong sẽ có đáp án sớm, sốt ruột quá

[perfectstrong]

Đáp án cho phần phản đảo (do anh tìm thấy, chứ không phải do Huy)
Lời giải:
Giả sử M không thuộc 1 trong 3 trục đối xứng $AH_A;BH_B;CH_C$ mà có tính chất bài toán (với $H_A;H_B;H_C$ là trung điểm các cạnh BC,CA,AB).
Gọi H là trực tâm $\vartriangle ABC$ và không mất tính tổng quát, giả sử M nằm trong $\vartriangle BHH_A$. Gọi O là giao điểm của AM và $BH_B$.
Ta có:
$\angle OAC+\angle OBC+\angle OCA=90^o$
$\angle MAB+\angle MBC+\angle MCA=90^o$
nên suy ra:
$\angle OAB+\angle OBM+\angle MBC+\angle OCA=\angle MAB+\angle MBC+\angle MCO+\angle OCA$
$\Rightarrow \angle OBM=\angle MCO$ (1)

do B,C nằm khác phía nhau đối với OM nên B,C nằm trên 2 đường tròn đối xứng nhau qua OM, tức là nếu B' là điểm đối xứng của B qua OM thì $B' \in (C_1)$ là đường tròn ngoại tiếp $\vartriangle MOC$ (*)
Gọi N là giao điểm của AM và $CH_C$, do điểm N khác O và
$\angle NAB+\angle NBO+\angle OBC+\angle NCA=90^o=\angle OAB+\angle OCN+\angle OBC+\angle NCA$
$\Rightarrow \angle NBO=\angle NCO$ (2)
$(1),(2) \Rightarrow \angle NBM=\angle NCM$, do đó, điểm B cũng thuộc đường tròn $(C_2)$ ngoại tiếp $\vartriangle MCN$ (**)
Từ (*) và (**) suy ra:
- Nếu điểm B' khác điểm C thì $(C_1);(C_2)$ trùng nhau, khi đó 3 điểm thẳng hàng M,O,N cùng thuộc 1 đường tròn: Vô lý!
- Nếu điểm B' trùng với điểm C thì M phải thuộc trục đối xứng $AH_A$, trái gt về điểm M ban đầu.
Tóm lại, ta có điều giả sử lại sai nên suy ra M phải thuộc 1 trong 3 trục đối xứng của $\vartriangle ABC$.

[perfectstrong]

Nhận xét về MSS lần này của mình:
Đáng tuyên dương các bạn giải tốt. Các bạn chú ý về khâu trình bày trong bài làm, không chỉ riêng về quỹ tích mà còn các dạng toán khác.
Đề lần này rất hay. Chính mình cũng vất vả mới làm ra. Bài toán có 3 cách mở rộng độc lập nhau như sau:
- Thay giả thiết $\vartriangle ABC$ đều bằng $\vartriangle ABC$ thường.
- Thay giả thiết $\angle MAB+\angle MBC+\angle MCA=90^o$ bằng $\angle MAB+\angle MBC+\angle MCA=\alpha$.
- Thay giả thiết $\vartriangle ABC$ đều bằng đa giác n-cạnh đều.
Và đáng tiếc, các mở rộng này, theo kiến thức của mình, THCS không thể chứng minh nổi. Hẹn lời giải của các bạn khi lên cấp 3!!!

P/S: Lần này, MSS02 Cao Xuân Huy sẽ bị trừ điểm do không cung cấp đáp án kịp thời.

[E. Galois]

TỔNG HỢP ĐIỂM TRẬN 2

MSS01: SubjectMath:
MSS02: Cao Xuân Huy 42.5
MSS03: yeutoan11: 69.5
MSS04: nguyenta98ka
MSS05: Secrets In Inequalities VP
MSS06: maikhaiok
MSS07: cvp
MSS08: bong hoa cuc trang 0
MSS09: minhtuyb: 53.1
MSS10: duongld: 41.7
MSS11: tuilatrai123
MSS12: Nguyễn Văn Bảo Kiên
MSS13: nguyentrunghieua
MSS14: daovuquang
MSS15: HVADN
MSS16: Nguyễn Hữu Huy: 48.3
MSS17: princeofmathematics
MSS18: hola0905

[perfectstrong]

Trọng tài chính có ý kiến 1 chút đây:
Các em nên tự đưa đề của mình ra thì hay hơn là đi thu thập đề đấy.
Đề mình tự đưa ra đơn giản là các mở rộng hoặc sửa đổi. Sẽ thú vị hơn nhiều đấy!