Cho tam giác đều $ABC$. Tìm quĩ tích các điểm $M$ trong tam giác sao cho $\widehat{MAB}+\widehat{MBC}+\widehat{MCA}=90^o$
Vẽ 3 đường cao AA' , BB' , CC' cắt nhau tại O , Quỹ tích của M là AA' , BB' , CC' . Chứng minh :
1) P.Đảo
Không mất tính tổng quát giả sử $M\epsilon AA'$
=> $\angle MAB=30^{\circ}$
$\angle MBC = \angle MCB$
$\Rightarrow \angle MAB+\angle MBC + \angle MCA = 90 ^{\circ}$
2)Phản đảo
Giả sử M không thuộc AA',BB',CC' vẫn thỏa $\angle MAB+\angle MBC + \angle MCA = 90 ^{\circ}$ . Ta sẽ CM điểu này vô lí
Không mất tính tổng quát giả sử M nằm trong $\Delta AOC'$
Lấy N đối xứng với M qua AA'
$\Rightarrow N$ nằm trong $\Delta OA'B\Rightarrow \angle NCA < 30^{\circ} (*)$
Theo giả thiết
$\angle MAB + \angle MBC + \angle MCA=90^{\circ}$
$\Rightarrow \angle NAC + \angle NCB + \angle MCA=90^{\circ}$ (1)
Lại có : $\angle OAN + \angle NAC +\angle MCA + \angle MCB = 90^{\circ}$ (2)
(1),(2) => $\angle NCB = \angle OAN + \angle MCB$
=> $\angle OAN = \angle MCN (3)$
Kéo dài AN căts BB' tại E, BC tại G , F đối xứng C qua AE, H là giao điểm của AE và CF
Vì BB' là trung trực nên $\angle OAE = \angle OCE$
Kết hợp với (3) => $\angle MCC'=\angle ECN$
Lại có $\angle MCC' = \angle NBB'$ và $\angle ECN = \angle EFN$
=> $\angle NBB' = \angle EFN$
=> NBFE nội tiếp
=> $\angle FBE = \angle FNE (4)$
Ta có : $\angle ABG = 60^{\circ}$
$\angle AFG = \angle ACG = 60^{\circ}$
=> ABFG nội tiếp
=> $\angle FBG = \angle FAG$
=> $\angle FAG = \angle FBE - 30^{\circ}$ (5)
(4) , (5) =>$\angle FNE-30^{\circ} = \angle FAG$
=> $90^{\circ}-\angle HFA=90^{\circ}-\angle HFN - 30^{\circ}$
=>$\angle HFA = \angle HFN + 30^{\circ}$
=> $\angle AFN=30^{\circ}$
=> $\angle NCA=30^{\circ}$
Kết hợp với (*) => vô lí => CM xong phản đảo
3) KL
Vậy quĩ tích của M trong tam giác đều ABC thỏa $\angle MAB+\angle MBC + \angle MCA=90^{\circ}$ là 3 đường cao AA',BB',CC'
Bài Mở Rộng Cho đa giác đều n cạnh với các đỉnh $A_1,A_2,...,A_n$ thì Quỹ tích của điểm M nằm trong đa giác thỏa $\angle MA_1A_2 + \angle MA_2A_3 +...+\angle MA_nA_1 =(n-2)90^{\circ}$ là các trục đối xứng của đa giác đó
Kết quả:D-B=8.5hE=10F=0S=69.5
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 29-02-2012 - 21:14